Grupo de clases de mapeo

Grupo de clases de isotopía de un grupo de automorfismos topológicos

En matemáticas , en el subcampo de la topología geométrica , el grupo de clases de aplicación es un invariante algebraico importante de un espacio topológico . En pocas palabras, el grupo de clases de aplicación es un grupo discreto determinado que corresponde a las simetrías del espacio.

Motivación

Consideremos un espacio topológico, es decir, un espacio con alguna noción de cercanía entre puntos en el espacio. Podemos considerar el conjunto de homeomorfismos del espacio en sí mismo, es decir, aplicaciones continuas con inversas continuas : funciones que estiran y deforman el espacio continuamente sin romper o pegar el espacio. Este conjunto de homeomorfismos puede ser pensado como un espacio en sí mismo. Forma un grupo bajo composición funcional. También podemos definir una topología en este nuevo espacio de homeomorfismos. Los conjuntos abiertos de este nuevo espacio de funciones estarán compuestos por conjuntos de funciones que mapean subconjuntos compactos K en subconjuntos abiertos U a medida que K y U se extienden a lo largo de nuestro espacio topológico original, completados con sus intersecciones finitas (que deben ser abiertas por definición de topología) y uniones arbitrarias (que nuevamente deben ser abiertas). Esto da una noción de continuidad en el espacio de funciones, de modo que podemos considerar la deformación continua de los homeomorfismos mismos: llamadas homotopías . Definimos el grupo de clases de mapeo tomando clases de homotopía de homeomorfismos e induciendo la estructura del grupo a partir de la estructura del grupo de composición funcional ya presente en el espacio de homeomorfismos.

Definición

El término grupo de clases de mapeo tiene un uso flexible. La mayoría de las veces se usa en el contexto de una variedad M . El grupo de clases de mapeo de M se interpreta como el grupo de clases de isotopía de automorfismos de M . Entonces, si M es una variedad topológica , el grupo de clases de mapeo es el grupo de clases de isotopía de homeomorfismos de M . Si M es una variedad suave , el grupo de clases de mapeo es el grupo de clases de isotopía de difeomorfismos de M . Siempre que el grupo de automorfismos de un objeto X tiene una topología natural , el grupo de clases de mapeo de X se define como , donde es el componente de trayectoria de la identidad en . (Observe que en la topología compacta-abierta, los componentes de trayectoria y las clases de isotopía coinciden, es decir, dos aplicaciones f y g están en la misma componente de trayectoria si y solo si son isotópicas ^{[ cita requerida ]} ). Para espacios topológicos, esta suele ser la topología compacta-abierta . En la literatura de topología de baja dimensión , el grupo de clases de mapeo de X usualmente se denota MCG( X ), aunque también se denota frecuentemente , donde uno sustituye por Aut el grupo apropiado para la categoría a la que pertenece X. Aquí denota el grupo de homotopía 0-ésimo de un espacio. ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)/\operatorname {Aut} _{0}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} _{0}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$ ${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {Aut} (X))}$ ${\displaystyle \pi _{0}}$

En general, hay una secuencia corta y exacta de grupos:

${\displaystyle 1\rightarrow \operatorname {Aut} _{0}(X)\rightarrow \operatorname {Aut} (X)\rightarrow \operatorname {MCG} (X)\rightarrow 1.}$

Con frecuencia esta secuencia no se divide . ^[1]

Si se trabaja en la categoría de homotopía , el grupo de clases de mapeo de X es el grupo de clases de homotopía de equivalencias de homotopía de X.

Existen muchos subgrupos de grupos de clases de mapeo que se estudian con frecuencia. Si M es una variedad orientada, serían los automorfismos que preservan la orientación de M y, por lo tanto, el grupo de clases de mapeo de M (como variedad orientada) sería el índice dos en el grupo de clases de mapeo de M (como variedad no orientada) siempre que M admita un automorfismo que invierte la orientación. De manera similar, el subgrupo que actúa como la identidad en todos los grupos de homología de M se llama grupo de Torelli de M. ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

Ejemplos

Esfera

En cualquier categoría (suave, PL, topológica, homotopía) ^[2]

${\displaystyle \operatorname {MCG} (S^{2})\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$

correspondiente a mapas de grado  ±1.

Toro

En la categoría de homotopía

${\displaystyle \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\simeq \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} ).}$

Esto se debe a que el toro n-dimensional es un espacio de Eilenberg-MacLane . ${\displaystyle \mathbf {T} ^{n}=(S^{1})^{n}}$

Para otras categorías si , ^[3] se tienen las siguientes secuencias exactas divididas: ${\displaystyle n\geq 5}$

En la categoría de espacios topológicos

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0}$

En la categoría PL

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0}$

(⊕ representa la suma directa ). En la categoría suave

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\oplus \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\Gamma _{i+1}\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0}$

donde están los grupos abelianos finitos de Kervaire-Milnor de esferas de homotopía y es el grupo de orden 2. ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Superficies

Los grupos de clases de aplicación de superficies han sido ampliamente estudiados y a veces se los llama grupos modulares de Teichmüller (nótese el caso especial de arriba), ya que actúan sobre el espacio de Teichmüller y el cociente es el espacio de módulos de superficies de Riemann homeomorfas a la superficie. Estos grupos exhiben características similares tanto a los grupos hiperbólicos como a los grupos lineales de rango superior ^{[ cita requerida ]} . Tienen muchas aplicaciones en la teoría de tres variedades geométricas de Thurston (por ejemplo, a los fibrados de superficies ). Los elementos de este grupo también han sido estudiados por sí mismos: un resultado importante es el teorema de clasificación de Nielsen-Thurston , y una familia generadora para el grupo está dada por los giros de Dehn que son en cierto sentido las clases de aplicación "más simples". Cada grupo finito es un subgrupo del grupo de clases de aplicación de una superficie cerrada y orientable; ^[4] De hecho, se puede realizar cualquier grupo finito como el grupo de isometrías de alguna superficie de Riemann compacta (lo que implica inmediatamente que se inyecta en el grupo de clases de aplicación de la superficie topológica subyacente). ${\displaystyle \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{2})}$

Superficies no orientables

Algunas superficies no orientables tienen grupos de clases de aplicación con presentaciones simples. Por ejemplo, todo homeomorfismo del plano proyectivo real es isotópico a la identidad: ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {MCG} (\mathbf {P} ^{2}(\mathbb {R} ))=1.}$

El grupo de clases de mapeo de la botella de Klein K es:

${\displaystyle \operatorname {MCG} (K)=\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}.}$

Los cuatro elementos son la identidad, un giro de Dehn en una curva de dos lados que no limita una banda de Möbius , el homeomorfismo y de Lickorish y el producto del giro y el homeomorfismo y. Es un buen ejercicio demostrar que el cuadrado del giro de Dehn es isotópico a la identidad.

Observamos también que el género cerrado de tres superficies no orientables N ₃ (la suma conexa de tres planos proyectivos) tiene:

${\displaystyle \operatorname {MCG} (N_{3})=\operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} ).}$

Esto se debe a que la superficie N tiene una clase única de curvas unilaterales de modo que, cuando N se corta a lo largo de dicha curva C , la superficie resultante es un toro con un disco eliminado . Como superficie no orientada, su grupo de clases de mapeo es . (Lema 2.1 ^[5] ). ${\displaystyle N\setminus C}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} )}$

3-Colectores

Los grupos de clases de mapeo de 3-variedades también han recibido un estudio considerable y están estrechamente relacionados con los grupos de clases de mapeo de 2-variedades. Por ejemplo, cualquier grupo finito puede realizarse como el grupo de clases de mapeo (y también el grupo de isometría) de una 3-variedad hiperbólica compacta. ^[6]

Mapeo de grupos de clases de pares

Dado un par de espacios (X,A), el grupo de clases de aplicación del par son las clases de isotopía de los automorfismos del par, donde un automorfismo de (X,A) se define como un automorfismo de X que preserva A , es decir, f : X → X es invertible y f(A ) = A.

Grupo de simetría de nudos y enlaces

Si K ⊂ S ³ es un nudo o un enlace , el grupo de simetría del nudo (resp. enlace) se define como el grupo de clase de aplicación del par ( S ³ , K ). Se sabe que el grupo de simetría de un nudo hiperbólico es diedro o cíclico ; además, cada grupo diedro y cíclico se puede realizar como grupos de simetría de nudos. Se sabe que el grupo de simetría de un nudo toroidal es de orden dos Z ₂ .

Grupo Torelli

Nótese que hay una acción inducida del grupo de clases de mapeo sobre la homología (y cohomología ) del espacio X. Esto se debe a que la (co)homología es funcional y Homeo ₀ actúa trivialmente (porque todos los elementos son isotópicos, por lo tanto homotópicos a la identidad, que actúa trivialmente, y la acción sobre la (co)homología es invariante bajo homotopía). El núcleo de esta acción es el grupo de Torelli , llamado así por el teorema de Torelli .

En el caso de superficies orientables, esta es la acción sobre la primera cohomología H ¹ (Σ) ≅ Z ^{2 g} . Las funciones que preservan la orientación son precisamente aquellas que actúan trivialmente sobre la cohomología superior H ² (Σ) ≅ Z . H ¹ (Σ) tiene una estructura simpléctica , que proviene del producto de copa ; dado que estas funciones son automorfismos, y las funciones preservan el producto de copa, el grupo de clases de funciones actúa como automorfismos simplécticos, y de hecho todos los automorfismos simplécticos se realizan, produciendo la secuencia exacta corta :

${\displaystyle 1\to \operatorname {Tor} (\Sigma )\to \operatorname {MCG} (\Sigma )\to \operatorname {Sp} (H^{1}(\Sigma ))\cong \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbf {Z} )\to 1}$

Esto se puede ampliar a

${\displaystyle 1\to \operatorname {Tor} (\Sigma )\to \operatorname {MCG} ^{*}(\Sigma )\to \operatorname {Sp} ^{\pm }(H^{1}(\Sigma ))\cong \operatorname {Sp} _{2g}^{\pm }(\mathbf {Z} )\to 1}$

El grupo simpléctico se entiende bien, por lo que comprender la estructura algebraica del grupo de clases de aplicación a menudo se reduce a preguntas sobre el grupo de Torelli.

Nótese que para el toro (género 1) la función del grupo simpléctico es un isomorfismo y el grupo de Torelli se desvanece.

Grupo de clases de mapeo estable

Se puede incrustar la superficie del género g y 1 componente de límite en colocando un agujero adicional en el extremo (es decir, pegando y ), y así los automorfismos de la superficie pequeña que fija el límite se extienden a la superficie más grande. Tomando el límite directo de estos grupos e inclusiones se obtiene el grupo de clase de mapeo estable, cuyo anillo de cohomología racional fue conjeturado por David Mumford (una de las conjeturas llamadas conjeturas de Mumford ). El anillo de cohomología integral (no solo racional) fue calculado en 2002 por Ib Madsen y Michael Weiss , lo que demuestra la conjetura de Mumford. ${\displaystyle \Sigma _{g,1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{g+1,1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{g,1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1,2}}$

Véase también

• Grupos de trenzas , los grupos de clases de mapeo de discos perforados
• Grupos de homotopía
• Grupos de homeotopía
• Relación de la linterna

Referencias

1. Morita, Shigeyuki (1987). "Clases características de los fibrados superficiales". Inventiones Mathematicae . 90 (3): 551–577. Bibcode :1987InMat..90..551M. doi :10.1007/bf01389178. MR  0914849.
2. Earle, Clifford J. ; Eells, James (1967), "El grupo de difeomorfismo de una superficie compacta de Riemann", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 73 (4): 557–559, doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11746-4 , MR  0212840
3. Hatcher, AE (1978). "Espacios de concordancia, teoría de homotopía simple superior y aplicaciones". Topología algebraica y geométrica (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Parte 1. Actas de simposios sobre matemáticas puras. Vol. 32. págs. 3–21. doi :10.1090/pspum/032.1/520490. ISBN 978-0-8218-9320-3.Sr. 0520490  .
4. Greenberg, Leon (1974). "Grupos máximos y firmas". Grupos discontinuos y superficies de Riemann: Actas de la Conferencia de 1973 en la Universidad de Maryland . Anales de estudios matemáticos. Vol. 79. Princeton University Press. págs. 207–226. ISBN 978-1-4008-8164-2.Sr. 0379835  .
5. Scharlemann, Martin (febrero de 1982). "El complejo de curvas en superficies no orientables". Journal of the London Mathematical Society . s2-25 (1): 171–184. CiteSeerX 10.1.1.591.2588 . doi :10.1112/jlms/s2-25.1.171. 
6. Kojima, S. (agosto de 1988). "Transformaciones isométricas de variedades 3-hiperbólicas". Topología y sus aplicaciones . 29 (3): 297–307. doi :10.1016/0166-8641(88)90027-2.

• Birman, Joan (1974). Trenzas, enlaces y mapeo de grupos de clases . Annals of Mathematical Studies. Vol. 82. Princeton, NJ: Princeton University Press . ISBN 978-0691081496.Sr. 0375281  .
• Casson, Andrew ; Bleiler, Steve (2014) [1988]. Automorfismos de superficies según Nielsen y Thurston. Cambridge University Press. ISBN 978-1-299-70610-1.
• Ivanov, Nikolai V. (2001). "9. Mapeo de grupos de clases y grupos aritméticos". Manual de topología geométrica . Elsevier. págs. 618–624. ISBN 978-0-08-053285-1.
• Farb, Benson ; Margalit, Dan (2012). Introducción al mapeo de grupos de clases. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14794-9.
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2007), Manual de la teoría de Teichmüller. Vol. I (PDF) , IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, vol. 11, European Mathematical Society (EMS), Zúrich, doi :10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6, Sr.  2284826
• Lawton, Sean; Peterson, Elisha (2009), Papadopoulos, Athanase (ed.), Manual de teoría de Teichmüller. Vol. II , IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, vol. 13, European Mathematical Society (EMS), Zúrich, arXiv : math/0511271 , doi :10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5, Sr.  2524085
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2012), Manual de teoría de Teichmüller. Vol. III , IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, vol. 17, European Mathematical Society (EMS), Zúrich, doi :10.4171/103, ISBN 978-3-03719-103-3, Sr.  2961353
• Papadopoulos, Athanase, ed. (2014), Manual de teoría de Teichmüller. Vol. IV , IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, vol. 19, European Mathematical Society (EMS), Zúrich, doi : 10.4171/117, ISBN 978-3-03719-117-0

Grupo de clases de mapeo estable

• Madsen, Ib ; Weiss, Michael (2007). "El espacio de módulos estable de superficies de Riemann: la conjetura de Mumford". Anales de Matemáticas . 165 (3): 843–941. arXiv : math/0212321 . CiteSeerX  10.1.1.236.2025 . doi :10.4007/annals.2007.165.843. JSTOR  20160047. S2CID  119721243.

Enlaces externos

• Seminario MCG Madsen-Weiss; numerosas referencias