grupo simétrico

En álgebra abstracta , el grupo simétrico definido sobre cualquier conjunto es el grupo cuyos elementos son todas las biyecciones del conjunto hacia sí mismo, y cuya operación de grupo es la composición de funciones . En particular, el grupo simétrico finito definido sobre un conjunto finito de símbolos consta de las permutaciones que se pueden realizar en los símbolos. ^[1] Dado que existen ( factoriales ) tales operaciones de permutación, el orden (número de elementos) del grupo simétrico es . $\mathrm {S} _{n}$ $n$ $n$ $n!$ $n$ $\mathrm {S} _{n}$ $n!$

Aunque los grupos simétricos se pueden definir en conjuntos infinitos , este artículo se centra en los grupos simétricos finitos: sus aplicaciones, sus elementos, sus clases de conjugación , una presentación finita , sus subgrupos , sus grupos de automorfismos y su teoría de representación . En el resto de este artículo, "grupo simétrico" significará un grupo simétrico en un conjunto finito.

El grupo simétrico es importante para diversas áreas de las matemáticas como la teoría de Galois , la teoría invariante , la teoría de la representación de grupos de Lie y la combinatoria . El teorema de Cayley establece que todo grupo es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico en (el conjunto subyacente de) . $G$ $G$

Definición y primeras propiedades.

El grupo simétrico en un conjunto finito es el grupo cuyos elementos son todos funciones biyectivas desde a y cuya operación de grupo es la de composición de funciones . ^[1] Para conjuntos finitos, "permutaciones" y "funciones biyectivas" se refieren a la misma operación, es decir, reordenamiento. El grupo simétrico de grado es el grupo simétrico del conjunto . $X$ $X$ $X$ $n$ $X=\{1,2,\ldots ,n\}$

El grupo simétrico en un conjunto se denota de varias maneras, incluidas , , , y . ^[1] Si es el conjunto , entonces el nombre puede abreviarse como , , o . ^[1] $X$ $\mathrm {S} _{X}$ ${\mathfrak {S}}_{X}$ $\Sigma _{X}$ $X!$ $\operatorname {Sym} (X)$ $X$ $\{1,2,\ldots ,n\}$ $\mathrm {S} _{n}$ ${\mathfrak {S}}_{n}$ $\Sigma _{n}$ $\operatorname {Sym} (n)$

Los grupos simétricos en conjuntos infinitos se comportan de manera muy diferente a los grupos simétricos en conjuntos finitos y se analizan en (Scott 1987, capítulo 11), (Dixon y Mortimer 1996, capítulo 8) y (Cameron 1999).

El grupo simétrico de un conjunto de elementos tiene orden (el factorial de ). ^[2] Es abeliano si y sólo si es menor o igual a 2. ^[3] Para y (el conjunto vacío y el conjunto singleton ), los grupos simétricos son triviales (tienen orden ). El grupo S _n tiene solución si y sólo si . Esta es una parte esencial de la demostración del teorema de Abel-Ruffini que muestra que para cada uno hay polinomios de grado que no se pueden resolver mediante radicales, es decir, las soluciones no se pueden expresar realizando un número finito de operaciones de suma, resta , multiplicación, división y extracción de raíces de los coeficientes del polinomio. $n$ $n!$ $n$ $n$ $n=0$ $n=1$ $0!=1!=1$ $n\leq 4$ $n>4$ $n$

Aplicaciones

El grupo simétrico en un conjunto de tamaño n es el grupo de Galois del polinomio general de grado n y juega un papel importante en la teoría de Galois . En la teoría invariante , el grupo simétrico actúa sobre las variables de una función multivariante, y las funciones que quedan invariantes son las llamadas funciones simétricas . En la teoría de la representación de grupos de Lie , la teoría de la representación del grupo simétrico juega un papel fundamental a través de las ideas de los functores de Schur .

En la teoría de los grupos de Coxeter , el grupo simétrico es el grupo de Coxeter de tipo An _y ocurre como el grupo de Weyl del grupo lineal general . En combinatoria , los grupos simétricos, sus elementos ( permutaciones ) y sus representaciones proporcionan una rica fuente de problemas que involucran cuadros de Young , monoides placticos y el orden de Bruhat . Los subgrupos de grupos simétricos se denominan grupos de permutación y se estudian ampliamente debido a su importancia para comprender las acciones grupales , los espacios homogéneos y los grupos de gráficos con automorfismo , como el grupo de Higman-Sims y el gráfico de Higman-Sims .

Propiedades de grupo y elementos especiales.

Los elementos del grupo simétrico en un conjunto X son las permutaciones de X.

Multiplicación

La operación de grupo en un grupo simétrico es la composición de funciones, denotada por el símbolo ∘ o simplemente por una composición de las permutaciones. La composición f ∘ g de permutaciones f y g , pronunciada " f de g ", asigna cualquier elemento x de X a f ( g ( x )). Concretamente, dejemos (ver permutación para una explicación de la notación):

f=(1\ 3)(2)(4\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\3&2&1&5&4\end{pmatrix}}

g=(1\ 2\ 5)(3\ 4)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}.

La aplicación de f después de g asigna 1 primero a 2 y luego 2 a sí mismo; 2 a 5 y luego a 4; 3 a 4 y luego a 5, y así sucesivamente. Entonces al componer f y g se obtiene

fg=f\circ g=(1\ 2\ 4)(3\ 5)={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&5&1&3\end{pmatrix}}.

Un ciclo de longitud L = k · m , elevado a la k- ésima potencia, se descompondrá en k ciclos de longitud m : Por ejemplo, ( k = 2 , m = 3 ),

(1~2~3~4~5~6)^{2}=(1~3~5)(2~4~6).

Verificación de axiomas de grupo.

Para comprobar que el grupo simétrico en un conjunto X es efectivamente un grupo , es necesario verificar los axiomas de cierre, asociatividad, identidad e inversas del grupo. ^[4]

La operación de composición de funciones está cerrada en el conjunto de permutaciones del conjunto dado X .
La composición de funciones es siempre asociativa.
La biyección trivial que asigna cada elemento de X a sí mismo sirve como identidad para el grupo.
Cada biyección tiene una función inversa que deshace su acción y, por tanto, cada elemento de un grupo simétrico tiene una función inversa que también es una permutación.

Transposiciones, signo y grupo alterno.

Una transposición es una permutación que intercambia dos elementos y mantiene fijos todos los demás; por ejemplo (1 3) es una transposición. Toda permutación puede escribirse como producto de transposiciones; por ejemplo, la permutación g anterior se puede escribir como g = (1 2)(2 5)(3 4). Dado que g se puede escribir como producto de un número impar de transposiciones, se llama permutación impar , mientras que f es una permutación par.

La representación de una permutación como producto de transposiciones no es única; sin embargo, el número de transposiciones necesarias para representar una permutación dada es siempre par o siempre impar. Hay varias pruebas breves de la invariancia de esta paridad de una permutación.

El producto de dos permutaciones pares es par, el producto de dos permutaciones impares es par y todos los demás productos son impares. Así podemos definir el signo de una permutación:

\operatorname {sgn} f={\begin{cases}+1,&{\text{if }}f{\mbox{ is even}}\\-1,&{\text{if }}f{\text{ is odd}}.\end{cases}}

Con esta definición,

\operatorname {sgn} \colon \mathrm {S} _{n}\rightarrow \{+1,-1\}\

es un homomorfismo de grupo ({+1, −1} es un grupo bajo multiplicación, donde +1 es e, el elemento neutro ). El núcleo de este homomorfismo, es decir, el conjunto de todas las permutaciones pares, se llama _grupoalterno An . Es un subgrupo normal de S _n , y para n ≥ 2 tiene n !/2 elementos. El grupo S _n es el producto semidirecto de An _y cualquier subgrupo generado por una sola transposición.

Además, cada permutación se puede escribir como producto de transposiciones adyacentes , es decir, transposiciones de la forma ( a a +1) . Por ejemplo, la permutación g de arriba también se puede escribir como g = (4 5)(3 4)(4 5)(1 2)(2 3)(3 4)(4 5) . El algoritmo de clasificación de burbujas es una aplicación de este hecho. La representación de una permutación como producto de transposiciones adyacentes tampoco es única.

Ciclos

Un ciclo de longitud k es una permutación f para la cual existe un elemento x en {1, ..., n } tal que x , f ( x ), f ² ( x ), ..., f ^k ( x ) = x son los únicos elementos movidos por f ; convencionalmente se requiere que k ≥ 2 ya que con k = 1 el elemento x tampoco se movería. La permutación h definida por

h={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&1&3&5\end{pmatrix}}

es un ciclo de longitud tres, ya que h (1) = 4 , h (4) = 3 y h (3) = 1 , dejando 2 y 5 intactos. Denotamos dicho ciclo por (1 4 3) , pero también podría escribirse (4 3 1) o (3 1 4) comenzando en un punto diferente. El orden de un ciclo es igual a su duración. Los ciclos de longitud dos son transposiciones. Dos ciclos son disjuntos si tienen subconjuntos de elementos disjuntos. Los ciclos disjuntos conmutan : por ejemplo, en S ₆ existe la igualdad (4 1 3)(2 5 6) = (2 5 6)(4 1 3) . Cada elemento de S _n puede escribirse como producto de ciclos disjuntos; esta representación es única hasta el orden de los factores y la libertad presente en representar cada ciclo individual eligiendo su punto de partida.

Los ciclos admiten la siguiente propiedad de conjugación con cualquier permutación , esta propiedad se suele utilizar para obtener sus generadores y relaciones. $\sigma$

\sigma {\begin{pmatrix}a&b&c&\ldots \end{pmatrix}}\sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}\sigma (a)&\sigma (b)&\sigma (c)&\ldots \end{pmatrix}}

Elementos especiales

Ciertos elementos del grupo simétrico de {1, 2, ..., n } son de particular interés (estos pueden generalizarse al grupo simétrico de cualquier conjunto finito totalmente ordenado, pero no al de un conjunto desordenado).

ElLa permutación de orden inverso es la dada por:

{\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\n&n-1&\cdots &1\end{pmatrix}}.

Este es el elemento máximo único con respecto al orden de Bruhat y el elemento más largo en el grupo simétrico con respecto al conjunto generador que consta de las transposiciones adyacentes ( i i +1) , 1 ≤ i ≤ n − 1 .

Esta es una involución y consta de transposiciones (no adyacentes) $\lfloor n/2\rfloor$

(1\,n)(2\,n-1)\cdots ,{\text{ or }}\sum _{k=1}^{n-1}k={\frac {n(n-1)}{2}}{\text{ adjacent transpositions: }}

(n\,n-1)(n-1\,n-2)\cdots (2\,1)(n-1\,n-2)(n-2\,n-3)\cdots ,

entonces tiene signo:

\mathrm {sgn} (\rho _{n})=(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }=(-1)^{n(n-1)/2}={\begin{cases}+1&n\equiv 0,1{\pmod {4}}\\-1&n\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}

que es 4-periódico en n .

En S _{2 n} , la mezcla perfecta es la permutación que divide el conjunto en 2 montones y los entrelaza. Su signo también es $(-1)^{\lfloor n/2\rfloor }.$

Tenga en cuenta que lo inverso en n elementos y la mezcla perfecta en 2 n elementos tienen el mismo signo; estos son importantes para la clasificación de las álgebras de Clifford , que son de 8 periodos.

Clases de conjugación

Las clases de conjugación de S _n corresponden a los tipos de ciclo de permutaciones; es decir, dos elementos de S _n son conjugados en S _n si y sólo si constan del mismo número de ciclos disjuntos de la misma longitud. Por ejemplo, en S ₅ , (1 2 3)(4 5) y (1 4 3)(2 5) son conjugados; (1 2 3)(4 5) y (1 2)(4 5) no lo son. Se puede construir un elemento conjugador de S _n en "notación de dos líneas" colocando las "notaciones de ciclo" de las dos permutaciones conjugadas una encima de la otra. Siguiendo con el ejemplo anterior,

k={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&3&2&5\end{pmatrix}},

(2~4)\circ (1~2~3)(4~5)\circ (2~4)=(1~4~3)(2~5).

Las clases de conjugación de S _n corresponden a particiones enteras de n : a la partición μ = ( μ ₁ , μ ₂ , ..., μ _k ) con y μ ₁ ≥ μ ₂ ≥ ... ≥ μ _k , está asociado el conjunto C _μ de permutaciones con ciclos de longitudes μ ₁ , μ ₂ , ..., μ _k . Entonces C _μ es una clase de conjugación de S _n , cuyos elementos se dice que son de tipo ciclo . ${\textstyle n=\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}}$ $\mu$

Grupos de bajo grado

Los grupos simétricos de bajo grado tienen una estructura más simple y excepcional y, a menudo, deben tratarse por separado.

S ₀ y S ₁: Los grupos simétricos en el conjunto vacío y el conjunto singleton son triviales, lo que corresponde a $0. = 1! = 1$ . En este caso, el grupo alterno concuerda con el grupo simétrico, en lugar de ser un subgrupo de índice 2, y el mapa de signos es trivial. En el caso de S ₀ , su único miembro es la función vacía .

S ₂: Este grupo consta exactamente de dos elementos: la identidad y la permutación intercambiando los dos puntos. Es un grupo cíclico y por tanto es abeliano . En la teoría de Galois , esto corresponde al hecho de que la fórmula cuadrática da una solución directa al polinomio cuadrático general después de extraer una sola raíz. En teoría invariante , la teoría de la representación del grupo simétrico en dos puntos es bastante simple y se considera que escribe una función de dos variables como una suma de sus partes simétricas y antisimétricas: Estableciendo $f s (x, y) = f (x, y) + f (y, x)$ , y $f a (x, y) = f (x, y) - f (y, x)$ , se obtiene que $2\cdot f = f s + f a$ . Este proceso se conoce como simetrización .

S ₃: S ₃ es el primer grupo simétrico nobeliano. Este grupo es isomorfo al grupo diédrico de orden 6 , el grupo de simetrías de reflexión y rotación de un triángulo equilátero , ya que estas simetrías permutan los tres vértices del triángulo. Los ciclos de longitud dos corresponden a reflexiones y los ciclos de longitud tres son rotaciones. En la teoría de Galois, el mapa de signos de S ₃ a S ₂ corresponde a la resolución cuadrática de un polinomio cúbico , descubierto por Gerolamo Cardano , mientras que el núcleo A ₃ corresponde al uso de la transformada discreta de Fourier de orden 3 en la solución, en forma de solventes de Lagrange . ^{[ cita necesaria ]}

S ₄: El grupo S4 es isomorfo al grupo de rotaciones propias sobre caras opuestas, diagonales opuestas y aristas opuestas, 9, 8 y 6 permutaciones, del cubo . ^[5] Más allá del grupo A 4 , S ₄ tiene un grupo V de cuatro de Klein como subgrupo normal propio , es decir, las transposiciones pares ${(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4) , (1 4)(2 3)},$ con cociente S ₃ . En la teoría de Galois , esta aplicación corresponde a la resolución del polinomio cúbico a un polinomio cuártico , lo que permite resolver el cuártico mediante radicales, tal como lo estableció Lodovico Ferrari . El grupo de Klein puede entenderse en términos de los resolutivos de Lagrange de la cuarta. El mapa de S ₄ a S ₃ también produce una representación irreducible bidimensional, que es una representación irreducible de un grupo simétrico de grado n de dimensión inferior a $n - 1$ , que solo ocurre para $n = 4$ .

T ₅: S ₅ es el primer grupo simétrico sin solución. Junto con el grupo lineal especial $SL(2, 5)$ y el grupo icosaédrico $A 5 \times S 2$ , S ₅ es uno de los tres grupos no solubles de orden 120, hasta el isomorfismo. S ₅ es el grupo de Galois de la ecuación quíntica general , y el hecho de que S ₅ no sea un grupo soluble se traduce en la inexistencia de una fórmula general para resolver polinomios quínticos por radicales. Hay un mapa de inclusión exótico $S 5 \to S 6$ como subgrupo transitivo; el mapa de inclusión obvio $S n \to S n +1$ fija un punto y, por tanto, no es transitivo. Esto produce el automorfismo externo de S ₆ , que se analiza más adelante, y corresponde al sextico resolutivo de una quíntica.

T ₆: A diferencia de todos los demás grupos simétricos, S ₆ tiene un automorfismo externo . Usando el lenguaje de la teoría de Galois , esto también puede entenderse en términos de resolutivos de Lagrange . El resolutivo de una quíntica es de grado 6: esto corresponde a un mapa de inclusión exótico $S 5 \to S 6$ como un subgrupo transitivo (el mapa de inclusión obvio $S n \to S n +1$ fija un punto y por lo tanto no es transitivo) y, mientras este mapa no hace que la quíntica general tenga solución, produce el exótico automorfismo externo de S ₆ ; consulte Automorfismos de los grupos simétricos y alternos para obtener más detalles.

Tenga en cuenta que si bien A ₆ y A _{7 tienen un}multiplicador de Schur excepcional (una triple cobertura ) y que estos se extienden a las coberturas triples de S ₆ y S ₇ , estos no corresponden a multiplicadores de Schur excepcionales del grupo simétrico.

Mapas entre grupos simétricos.

Aparte del mapa trivial $S n \to C 1 ≅ S 0 ≅ S 1$ y el mapa de signos $S n \to S 2$ , los homomorfismos más notables entre grupos simétricos, en orden de dimensión relativa , son:

$S 4 \to S 3$ correspondiente al subgrupo normal excepcional $V < A 4 < S 4$ ;
$S 6 \to S 6$ (o más bien, una clase de tales mapas hasta el automorfismo interno) correspondiente al automorfismo externo de S ₆ .
$S 5 \to S 6$ como un subgrupo transitivo, lo que produce el automorfismo externo de S ₆ como se analizó anteriormente.

También hay una serie de otros homomorfismos $S m \to S n$ donde $m < n$ .

Relación con grupo alterno

Para n ≥ 5 , el grupo alterno An es simple , y el cociente inducido es el mapa de signos: An _→ S _n → S _{2 que}_se divide tomando una transposición de dos elementos. Por lo tanto, S _n es el producto semidirecto An ⋊ S ₂ , y no tiene otros subgrupos normales adecuados, ya que se cruzarían con An _{en la identidad}₍ y, por lo tanto, serían ellos mismos la identidad o un grupo de 2 elementos, lo cual no es normal) , o en An ₍ y por lo tanto ellos mismos sean An _o S _n ).

S _n actúa sobre su subgrupo An _por conjugación, y para n ≠ 6 , S _n es el grupo de automorfismo completo de An _: Aut(A _n ) ≅ S _n . La conjugación por elementos pares son automorfismos internos de An _mientras que el automorfismo externo de An _de orden 2 corresponde a la conjugación por un elemento impar. Para n = 6 , existe un automorfismo externo excepcional de An _, por lo que _Sn no es el grupo de automorfismos completo de _An .

Por el contrario, para n ≠ 6 , S _n no tiene automorfismos externos, y para n ≠ 2 no tiene centro, por lo que para n ≠ 2, 6 es un grupo completo , como se analiza en el grupo de automorfismos, a continuación.

Para n ≥ 5 , S _n es un grupo casi simple , ya que se encuentra entre el grupo simple An _y su grupo de automorfismos.

S _n se puede incrustar en An _{+2 agregando} la transposición ( n + 1, n + 2 ) a todas las permutaciones impares, mientras que incrustar en An _{+1 es} imposible para n > 1 .

Generadores y relaciones

El grupo simétrico en $n$ letras se genera por las transposiciones adyacentes que intercambian $i$ y $i$ $+ 1$ . ^[6] La colección genera $S$ $n$ sujeto a las siguientes relaciones: ^[7] $\sigma _{i}=(i,i+1)$ $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}$

$\sigma _{i}^{2}=1,$
$\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}$ Para y $|i-j|>1$
$(\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3}=1,$

donde 1 representa la permutación de identidad. Esta representación confiere al grupo simétrico la estructura de un grupo de Coxeter (y por tanto también de un grupo de reflexión ).

Otros posibles conjuntos generadores incluyen el conjunto de transposiciones que intercambian $1$ e $i$ por $2 \leq i \leq n$ , ^{[ cita necesaria ]} y un conjunto que contiene cualquier $n$ -ciclo y un $2$ -ciclo de elementos adyacentes en el $n$ -ciclo. ^[8]

Estructura de subgrupos

Un subgrupo de un grupo simétrico se llama grupo de permutación .

Subgrupos normales

Se comprenden bien los subgrupos normales de los grupos simétricos finitos. Si $n \leq 2$ , S _n tiene como máximo 2 elementos y, por tanto, no tiene subgrupos propios no triviales. El grupo alterno de grado n es siempre un subgrupo normal, propio para $n \geq 2$ y no trivial para $n \geq 3$ ; para $n \geq 3$ es, de hecho, el único subgrupo normal propio no trivial de $S n$ , excepto cuando $n = 4$ , donde hay un subgrupo normal adicional, que es isomorfo al grupo de los cuatro de Klein .

El grupo simétrico en un conjunto infinito no tiene un subgrupo de índice 2, ya que Vitali (1915 ^[9] ) demostró que cada permutación se puede escribir como un producto de tres cuadrados. (Cualquier elemento cuadrado debe pertenecer al subgrupo hipotético del índice 2, por lo tanto, también debe pertenecer al producto de cualquier número de cuadrados). Sin embargo, contiene el subgrupo normal S de permutaciones que fijan todos los elementos excepto un número finito, que se genera mediante transposiciones. Aquellos elementos de S que son productos de un número par de transposiciones forman un subgrupo de índice 2 en S , llamado subgrupo alterno A. Dado que A es incluso un subgrupo característico de S , también es un subgrupo normal del grupo simétrico completo del conjunto infinito. Los grupos A y S son los únicos subgrupos normales propios no triviales del grupo simétrico en un conjunto contablemente infinito. Esto fue demostrado por primera vez por Onofri (1929 ^[10] ) e independientemente Schreier – Ulam (1934 ^[11] ). Para más detalles ver (Scott 1987, Ch. 11.3) o (Dixon & Mortimer 1996, Ch. 8.1).

Subgrupos máximos

Los subgrupos máximos de $S n$ se dividen en tres clases: los intransitivos, los imprimitivos y los primitivos. Los subgrupos máximos intransitivos son exactamente aquellos de la forma $S k \times S n - k$ para $1 \leq k < n /2$ . Los subgrupos máximos imprimitivos son exactamente aquellos de la forma $S k wr S n / k$ , donde $2 \leq k \leq n /2$ es un divisor propio de n y "wr" denota el producto de la corona . Los subgrupos máximos primitivos son más difíciles de identificar, pero con la ayuda del teorema de O'Nan-Scott y la clasificación de grupos finitos simples , (Liebeck, Praeger y Saxl 1988) dieron una descripción bastante satisfactoria de los subgrupos máximos de este tipo. , según (Dixon & Mortimer 1996, p. 268).

Subgrupos de Sylow

Los subgrupos de Sylow de los grupos simétricos son ejemplos importantes de p -grupos . Primero se describen más fácilmente en casos especiales:

Los p -subgrupos de Sylow del grupo simétrico de grado p son solo los subgrupos cíclicos generados por p -ciclos. ¡Hay $(p - 1)!/(p - 1) = (p - 2)!$ dichos subgrupos simplemente contando los generadores . Por lo tanto, el normalizador tiene orden $p \cdot(p - 1)$ y se conoce como grupo de Frobenius $F p (p -1 )$ (especialmente para $p = 5$ ), y es el grupo lineal general afín , $AGL(1, p)$ .

Los p -subgrupos de Sylow del grupo simétrico de grado p ² son el producto corona de dos grupos cíclicos de orden p . Por ejemplo, cuando $p = 3$ , un subgrupo Sylow 3 de Sym(9) se genera mediante $a = (1 4 7)(2 5 8)(3 6 9)$ y los elementos $x = (1 2 3), y = (4 5 6), z = (7 8 9)$ , y cada elemento del subgrupo 3 de Sylow tiene la forma $a i x j y k z l$ para . $0\leq i,j,k,l\leq 2$

Los subgrupos p de Sylow del grupo simétrico de grado p ⁿ a veces se denotan W _p ( n ), y usando esta notación se tiene que $W p (n + 1 )$ es el producto de la corona de W _p ( n ) y W _p ( 1).

En general, los p -subgrupos de Sylow del grupo simétrico de grado n son un producto directo de a _i copias de W _p ( i ), donde $0 \leq a i \leq p - 1$ y $n = a 0 + p \cdot a 1 + ... + p k \cdot a k$ (la expansión base p de n ).

Por ejemplo, $W 2 (1) = C 2 y W 2 (2) = D 8$ , el grupo diédrico de orden 8 , por lo que un subgrupo Sylow 2 del grupo simétrico de grado 7 se genera mediante ${ (1,3 )(2,4), (1,2), (3,4), (5,6) }$ y es isomorfo a $D 8 \times C 2$ .

Estos cálculos se atribuyen a (Kaloujnine 1948) y se describen con más detalle en (Rotman 1995, p. 176). Sin embargo, tenga en cuenta que (Kerber 1971, p. 26) atribuye el resultado a un trabajo de Cauchy de 1844 , y menciona que incluso está cubierto en forma de libro de texto en (Netto 1882, §39-40).

Subgrupos transitivos

Un subgrupo transitivo de S _n es un subgrupo cuya acción sobre {1, 2, ,..., n } es transitiva . Por ejemplo, el grupo de Galois de una extensión de Galois ( finita ) es un subgrupo transitivo de S _n , para algunos n .

Subgrupos jóvenes

Un subgrupo de $S n$ que se genera mediante transposiciones se denomina subgrupo de Young . Todos tienen la forma donde hay una partición entera de $n$ . Estos grupos también pueden caracterizarse como subgrupos parabólicos de $S$ $n$ cuando se los ve como un grupo de reflexión . $S_{a_{1}}\times \cdots \times S_{a_{\ell }}$ $(a_{1},\ldots ,a_{\ell })$

teorema de cayley

El teorema de Cayley establece que todo grupo G es isomorfo a un subgrupo de algún grupo simétrico. En particular, se puede tomar un subgrupo del grupo simétrico sobre los elementos de G , ya que cada grupo actúa sobre sí mismo fielmente mediante multiplicación (izquierda o derecha).

Subgrupos cíclicos

Los grupos cíclicos son aquellos que se generan por una única permutación. Cuando una permutación se representa en notación cíclica, el orden del subgrupo cíclico que genera es el mínimo común múltiplo de las longitudes de sus ciclos. Por ejemplo, en S ₅ , un subgrupo cíclico de orden 5 es generado por (13254), mientras que los subgrupos cíclicos más grandes de S ₅ son generados por elementos como (123)(45) que tienen un ciclo de longitud 3 y otro ciclo de longitud 2. Esto descarta muchos grupos como posibles subgrupos de grupos simétricos de un tamaño determinado. ^{[ cita necesaria ]} Por ejemplo, S ₅ no tiene un subgrupo de orden 15 (un divisor del orden de S ₅ ), porque el único grupo de orden 15 es el grupo cíclico. El orden más grande posible de un subgrupo cíclico (equivalentemente, el orden más grande posible de un elemento en S _n ) viene dado por la función de Landau .

Grupo de automorfismo

Para n ≠ 2, 6 , S _n es un grupo completo : su centro y su grupo de automorfismo externo son ambos triviales.

Para n = 2 , el grupo de automorfismo es trivial, pero S ₂ no es trivial: es isomorfo a C ₂ , que es abeliano, y por tanto el centro es todo el grupo.

Para n = 6 , tiene un automorfismo externo de orden 2: Out(S ₆ ) = C ₂ , y el grupo de automorfismos es un producto semidirecto Aut(S ₆ ) = S ₆ ⋊ C ₂ .

De hecho, para cualquier conjunto X de cardinalidad distinta de 6, todo automorfismo del grupo simétrico en X es interno, un resultado debido en primer lugar a (Schreier y Ulam 1936) según (Dixon y Mortimer 1996, p. 259).

Homología

La homología de grupo de S _n es bastante regular y se estabiliza: la primera homología (concretamente, la abelianización ) es:

H_{1}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n<2\\\mathbf {Z} /2&n\geq 2.\end{cases}}

El primer grupo de homología es la abelianización, y corresponde al mapa de signos S _n → S ₂ que es la abelianización para n ≥ 2; para n < 2 el grupo simétrico es trivial. Esta homología se calcula fácilmente de la siguiente manera: S _n se genera mediante involuciones (2 ciclos, que tienen orden 2), por lo que las únicas aplicaciones no triviales S _n → C _p son a S ₂ y todas las involuciones son conjugadas, por lo tanto, se asignan a el mismo elemento en la abelianización (ya que la conjugación es trivial en grupos abelianos). Así, los únicos mapas posibles S _n → S ₂ ≅ {±1} envían una involución a 1 (el mapa trivial) o a −1 (el mapa de signos). También se debe demostrar que el mapa de signos está bien definido, pero suponiendo que esto da la primera homología de S _n .

La segunda homología (concretamente, el multiplicador de Schur ) es:

H_{2}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n<4\\\mathbf {Z} /2&n\geq 4.\end{cases}}

Esto fue calculado en (Schur 1911), y corresponde a la doble cobertura del grupo simétrico , 2 · S _n .

Tenga en cuenta que la homología excepcional de baja dimensión del grupo alterno ( correspondiente a una abelianización no trivial, y debido a la excepcional cobertura triple) no cambia la homología del grupo simétrico; los fenómenos de grupo alterno producen fenómenos de grupo simétricos – el mapa se extiende y las coberturas triples de A ₆ y A ₇ se extienden a las coberturas triples de S ₆ y S ₇ – pero estos no son homológicos – el mapa no cambia la abelianización de S ₄ , y las tapas triples tampoco corresponden a homología. $H_{1}(\mathrm {A} _{3})\cong H_{1}(\mathrm {A} _{4})\cong \mathrm {C} _{3},$ $H_{2}(\mathrm {A} _{6})\cong H_{2}(\mathrm {A} _{7})\cong \mathrm {C} _{6},$ $\mathrm {A} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {C} _{3}$ $\mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3},$ $\mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3}$

La homología se "estabiliza" en el sentido de la teoría de la homotopía estable : hay un mapa de inclusión S _n → S _{n +1} , y para k fijo , el mapa inducido sobre homología H _k (S _n ) → H _k (S _{n +1} ) es un isomorfismo para n suficientemente alto . Esto es análogo a la homología de familias y grupos de mentiras que se estabilizan.

La homología del grupo simétrico infinito se calcula en (Nakaoka 1961), con el álgebra de cohomología formando un álgebra de Hopf .

Teoría de la representación

La teoría de la representación del grupo simétrico es un caso particular de la teoría de la representación de grupos finitos , para la cual se puede obtener una teoría concreta y detallada. Esto tiene un amplio campo de aplicaciones potenciales, desde la teoría de funciones simétricas hasta problemas de mecánica cuántica para varias partículas idénticas .

El grupo simétrico S _n tiene orden n !. Sus clases de conjugación están etiquetadas por particiones de n . Por tanto, según la teoría de la representación de un grupo finito, el número de representaciones irreducibles no equivalentes , sobre los números complejos , es igual al número de particiones de n . A diferencia de la situación general para grupos finitos, de hecho existe una forma natural de parametrizar la representación irreducible mediante el mismo conjunto que parametriza las clases de conjugación, es decir, mediante particiones de n o equivalentemente diagramas de Young de tamaño n .

Cada una de estas representaciones irreducibles se puede realizar sobre números enteros (cada permutación actúa mediante una matriz con coeficientes enteros); se puede construir explícitamente calculando los simetrizadores de Young que actúan sobre un espacio generado por los cuadros de forma de Young dados por el diagrama de Young.

En otros campos la situación puede volverse mucho más complicada. Si el campo K tiene una característica igual a cero o mayor que n, entonces, según el teorema de Maschke, el álgebra de grupos K S _n es semisimple. En estos casos, las representaciones irreducibles definidas sobre los números enteros dan el conjunto completo de representaciones irreducibles (después de la reducción módulo la característica si es necesario).

Sin embargo, las representaciones irreductibles del grupo simétrico no se conocen en forma arbitraria. En este contexto es más habitual utilizar el lenguaje de módulos que el de representaciones. La representación obtenida a partir de una representación irreducible definida sobre los números enteros reduciendo el módulo de la característica no será en general irreducible. Los módulos así construidos se denominan módulos Specht , y todo irreductible surge dentro de alguno de esos módulos. Ahora hay menos irreductibles y, aunque se pueden clasificar, no se comprenden muy bien. Por ejemplo, en general ni siquiera se conocen sus dimensiones .

La determinación de los módulos irreducibles para el grupo simétrico sobre un campo arbitrario se considera ampliamente como uno de los problemas abiertos más importantes en la teoría de la representación.

Ver también

Notas

^ abcd Jacobson 2009, pag. 31
^ Jacobson 2009, pag. 32 Teorema 1.1
^ "El grupo simétrico no es abeliano/Prueba 1".
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Referencias

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enlaces externos

"Grupo simétrico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Grupo simétrico". MundoMatemático .
Weisstein, Eric W. "Gráfico de grupos simétricos". MundoMatemático .
Marcus du Sautoy: La simetría, el enigma de la realidad (vídeo de una charla)
Entradas de OEIS que tratan del grupo simétrico