En matemáticas , se dice que un grupo G es completo si cada automorfismo de G es interno y no tiene centros; es decir, tiene un grupo de automorfismo externo trivial y un centro trivial .
De manera equivalente, un grupo es completo si el mapa de conjugación , G → Aut( G ) (enviar un elemento g a conjugación por g ), es un isomorfismo : la inyectividad implica que sólo la conjugación por el elemento identidad es el automorfismo identidad, lo que significa que el grupo es sin centro, mientras que la sobreyectividad implica que no tiene automorfismos externos.
Como ejemplo, todos los grupos simétricos , S n , están completos excepto cuando n ∈ {2, 6 }. Para el caso n = 2 , el grupo tiene un centro no trivial, mientras que para el caso n = 6 , hay un automorfismo externo .
El grupo de automorfismos de un grupo simple es un grupo casi simple ; para un grupo simple no abeliano G , el grupo de automorfismo de G es completo.
Un grupo completo siempre es isomorfo a su grupo de automorfismo (mediante el envío de un elemento a la conjugación por ese elemento), aunque no es necesario que se cumpla lo contrario: por ejemplo, el grupo diédrico de 8 elementos es isomorfo a su grupo de automorfismo, pero no está completo. . Para una discusión, ver (Robinson 1996, sección 13.5).
Supongamos que un grupo G es una extensión de grupo dada como una secuencia corta y exacta de grupos
con núcleo , N , y cociente, G ′ . Si el núcleo, N , es un grupo completo, entonces la extensión se divide: G es isomorfo al producto directo , N × G ′ . Se puede dar una prueba utilizando homomorfismos y secuencias exactas de forma natural: la acción de G (por conjugación ) sobre el subgrupo normal , N , da lugar a un homomorfismo de grupo, φ : G → Aut( N ) ≅ N . Dado que Out( N ) = 1 y N tiene centro trivial , el homomorfismo φ es sobreyectivo y tiene una sección obvia dada por la inclusión de N en G. El núcleo de φ es el centralizador C G ( N ) de N en G , por lo que G es al menos un producto semidirecto , C G ( N ) ⋊ N , pero la acción de N sobre C G ( N ) es trivial, y entonces el producto es directo.
Esto se puede reformular en términos de elementos y condiciones internas: si N es un subgrupo completo y normal de un grupo G , entonces G = C G ( N ) × N es un producto directo. La prueba se desprende directamente de la definición: N no tiene centros, lo que da C G ( N ) ∩ N es trivial. Si g es un elemento de G entonces induce un automorfismo de N por conjugación, pero N = Aut( N ) y esta conjugación debe ser igual a la conjugación por algún elemento n de N. Entonces la conjugación por gn −1 es la identidad en N y entonces gn −1 está en C G ( N ) y cada elemento, g , de G es un producto ( gn −1 ) n en C G ( N ) N .