Centralizador y normalizador

Tipos especiales de subgrupos encontrados en la teoría de grupos.

En matemáticas , especialmente en teoría de grupos , el centralizador (también llamado conmutante ^{[1] [2]} ) de un subconjunto S en un grupo G es el conjunto de elementos de G que conmutan con cada elemento de S , o equivalentemente, tal que la conjugación por deja cada elemento de S fijo. El normalizador de S en G es el conjunto de elementos de G que satisfacen la condición más débil de dejar el conjunto fijo bajo conjugación. El centralizador y normalizador de S son subgrupos de G . Muchas técnicas en teoría de grupos se basan en el estudio de los centralizadores y normalizadores de subconjuntos  adecuados S. ${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(S)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)}$ ${\displaystyle S\subseteq G}$

Debidamente formuladas, las definiciones también se aplican a los semigrupos .

En teoría de anillos , el centralizador de un subconjunto de un anillo se define con respecto a la operación de semigrupo (multiplicación) del anillo. El centralizador de un subconjunto de un anillo R es un subanillo de R. Este artículo también trata sobre centralizadores y normalizadores en un álgebra de Lie .

El idealizador en un semigrupo o anillo es otra construcción que está en la misma línea que el centralizador y el normalizador.

Definiciones

Grupo y semigrupo

El centralizador de un subconjunto S del grupo (o semigrupo) G se define como ^[3]

${\displaystyle \mathrm {C} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\right\}=\left\{g\in G\mid gsg^{-1}=s{\text{ for all }}s\in S\right\},}$

donde sólo la primera definición se aplica a los semigrupos. Si no hay ambigüedad sobre el grupo en cuestión, la G puede suprimirse de la notación. Cuando S  = { a } es un conjunto singleton , escribimos C _G ( a ) en lugar de C _G ({ a }). Otra notación menos común para el centralizador es Z( a ), que es paralela a la notación del centro . Con esta última notación, hay que tener cuidado de evitar confusión entre el centro de un grupo G , Z( G ) y el centralizador de un elemento g en G , Z( g ).

El normalizador de S en el grupo (o semigrupo) G se define como

${\displaystyle \mathrm {N} _{G}(S)=\left\{g\in G\mid gS=Sg\right\}=\left\{g\in G\mid gSg^{-1}=S\right\},}$

donde nuevamente sólo la primera definición se aplica a los semigrupos. Las definiciones de centralizador y normalizador son similares pero no idénticas. Si g está en el centralizador de S y s está en S , entonces debe ser que gs = sg , pero si g está en el normalizador, entonces gs = tg para algún t en S , con t posiblemente diferente de s . Es decir, los elementos del centralizador de S deben conmutar puntualmente con S , pero los elementos del normalizador de S sólo necesitan conmutar con S como un conjunto . Las mismas convenciones de notación mencionadas anteriormente para los centralizadores también se aplican a los normalizadores. El normalizador no debe confundirse con el cierre normal .

Claramente y ambos son subgrupos de . ${\displaystyle C_{G}(S)\subseteq N_{G}(S)}$ ${\displaystyle G}$

Anillo, álgebra sobre un campo, anillo de Lie y álgebra de Lie

Si R es un anillo o un álgebra sobre un campo , y S es un subconjunto de R , entonces el centralizador de S es exactamente como se define para los grupos, con R en el lugar de G.

Si es un álgebra de Lie (o anillo de Lie ) con producto de Lie [ x , y ], entonces el centralizador de un subconjunto S de se define como ^[4] ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$

${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]=0{\text{ for all }}s\in S\}.}$

La definición de centralizadores para anillos de Lie está vinculada a la definición de anillos de la siguiente manera. Si R es un anillo asociativo, entonces a R se le puede dar el producto entre corchetes [ x , y ] = xy − yx . Por supuesto, entonces xy = yx si y sólo si [ x , y ] = 0 . Si denotamos el conjunto R con el producto entre corchetes como L _R , entonces claramente el centralizador de anillo de S en R es igual al centralizador de anillo de Lie de S en L _R.

El normalizador de un subconjunto S de un álgebra de Lie (o anillo de Lie) viene dado por ^[4] ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$

${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,s]\in S{\text{ for all }}s\in S\}.}$

Si bien este es el uso estándar del término "normalizador" en álgebra de Lie, esta construcción es en realidad el idealizador del conjunto S en . Si S es un subgrupo aditivo de , entonces es el subanillo de Lie más grande (o subálgebra de Lie, según sea el caso) en el que S es un ideal de Lie . ^[5] ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ ${\displaystyle \mathrm {N} _{\mathfrak {L}}(S)}$

Ejemplo

Considere el grupo

${\displaystyle G=S_{3}=\{[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]\}}$(el grupo simétrico de permutaciones de 3 elementos).

Tome un subconjunto H del grupo G:

${\displaystyle H=\{[1,2,3],[1,3,2]\}.}$

Tenga en cuenta que [1, 2, 3] es la permutación de identidad en G y conserva el orden de cada elemento y [1, 3, 2] es la permutación que fija el primer elemento e intercambia el segundo y tercer elemento.

El normalizador de H con respecto al grupo G son todos los elementos de G que producen el conjunto H (potencialmente permutado) cuando se aplica la operación de grupo. Resolviendo el ejemplo para cada elemento de G:

${\displaystyle [1,2,3]}$cuando se aplica a H => ; por lo tanto [1, 2, 3] está en el Normalizador (H) con respecto a G. ${\displaystyle \{[1,2,3],[1,3,2]\}=H}$

${\displaystyle [1,3,2]}$cuando se aplica a H => ; por lo tanto [1, 3, 2] está en el Normalizador (H) con respecto a G. ${\displaystyle \{[1,3,2],[1,2,3]\}=H}$

${\displaystyle [2,1,3]}$cuando se aplica a H => ; por lo tanto [2, 1, 3] no está en el Normalizador (H) con respecto a G. ${\displaystyle \{[2,1,3],[3,1,2]\}!=H}$

${\displaystyle [2,3,1]}$cuando se aplica a H => ; por lo tanto [2, 3, 1] no está en el Normalizador (H) con respecto a G. ${\displaystyle \{[2,3,1],[3,2,1]\}!=H}$

${\displaystyle [3,1,2]}$cuando se aplica a H => ; por lo tanto [3, 1, 2] no está en el Normalizador (H) con respecto a G. ${\displaystyle \{[3,1,2],[2,1,3]\}!=H}$

${\displaystyle [3,2,1]}$cuando se aplica a H => ; por lo tanto [3, 2, 2] no está en el Normalizador (H) con respecto a G. ${\displaystyle \{[3,2,1],[2,3,1]\}!=H}$

Por lo tanto, el Normalizador (H) con respecto a G se debe a que ambos elementos del grupo conservan el conjunto H. ${\displaystyle \{[1,2,3],[1,3,2]\}}$

Un grupo se considera simple si el normalizador respecto de un subconjunto es siempre la identidad y él mismo. Aquí queda claro que S ₃ no es un grupo simple.

El centralizador del grupo G es el conjunto de elementos que dejan inalterado cada elemento de H. Está claro que el único elemento de este tipo en S ₃ es el elemento identidad [1, 2, 3].

Propiedades

Semigrupos

Denotemos el centralizador de en el semigrupo ; es decir, entonces forma un subsemigrupo y ; es decir, un conmutante es su propio biconmutante . ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S'=\{x\in A\mid sx=xs{\text{ for every }}s\in S\}.}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S'=S'''=S'''''}$

Grupos

Fuente: ^[6]

• El centralizador y el normalizador de S son ambos subgrupos de G.
• Claramente, C _G ( S ) ⊆ N _G ( S ) . De hecho, C _G ( S ) es siempre un subgrupo normal de N _G ( S ), siendo el núcleo del homomorfismo N _G ( S ) → Bij( S ) y el grupo N _G ( S )/C _G ( S ) actúa por conjugación como un grupo de biyecciones sobre S. Por ejemplo, el grupo Weyl de un grupo de Lie compacto G con un toro T se define como W ( G , T ) = N _G ( T )/C _G ( T ) , y especialmente si el toro es máximo (es decir, C _G ( T ) = T ) es una herramienta central en la teoría de grupos de Lie.
• C _G (C _G ( S )) contiene S , pero C _G ( S ) no necesita contener S . La contención ocurre exactamente cuando S es abeliano.
• Si H es un subgrupo de G , entonces NG ₍ H ) contiene H.
• Si H es un subgrupo de G , entonces el subgrupo más grande de G en el que H es normal es el subgrupo N _G (H).
• Si S es un subconjunto de G tal que todos los elementos de S conmutan entre sí, entonces el subgrupo más grande de G cuyo centro contiene a S es el subgrupo C _G (S).
• Un subgrupo H de un grupo G se llamasubgrupo autonormalizador deGsiN _G ( H ) = H .
• El centro de G es exactamente C _G (G) y G es un grupo abeliano si y sólo si C _G (G) = Z( G ) = G .
• Para conjuntos singleton, C _G ( a ) = N _G ( a ) .
• Por simetría, si S y T son dos subconjuntos de G , T ⊆ C _G ( S ) si y sólo si S ⊆ C _G ( T ) .
• Para un subgrupo H del grupo G , el teorema N/C establece que el grupo de factores N _G ( H )/C _G ( H ) es isomorfo a un subgrupo de Aut( H ), el grupo de automorfismos de H. Dado que N _G ( G ) = G y C _G ( G ) = Z( G ) , el teorema N/C también implica que G /Z( G ) es isomorfo a Inn( G ), el subgrupo de Aut( G ) que consiste de todos los automorfismos internos de G .
• Si definimos un homomorfismo de grupo T  : G → Inn( G ) por T ( x )( g ) = T _x ( g ) = xgx ⁻¹ , entonces podemos describir N _G ( S ) y C _G ( S ) en términos de la acción grupal de Inn( G ) sobre G : el estabilizador de S en Inn( G ) es T (NG ₍ S ) ), y el subgrupo de Inn( G ) que fija S puntualmente es T (C _G ( S ) ).
• Se dice que un subgrupo H de un grupo G es C-cerrado o autobiconmutante si H = C _G ( S ) para algún subconjunto S ⊆ G . Si es así, entonces, de hecho, H = C _G (C _G ( H )) .

Anillos y álgebras sobre un campo.

Fuente: ^[4]

• Los centralizadores en anillos y en álgebras sobre un campo son subanillos y subálgebras sobre un campo, respectivamente; Los centralizadores en anillos de Lie y en álgebras de Lie son subanillos de Lie y subálgebras de Lie, respectivamente.
• El normalizador de S en un anillo de Lie contiene el centralizador de S.
• C _R (C _R ( S )) contiene S pero no es necesariamente igual. El teorema del doble centralizador se ocupa de situaciones en las que se produce la igualdad.
• Si S es un subgrupo aditivo de un anillo de Lie A , entonces N _A ( S ) es el subanillo de Lie más grande de A en el que S es un ideal de Lie.
• Si S es un subanillo de Lie de un anillo de Lie A , entonces S ⊆ N _A ( S ) .

Ver también

• Conmutador
• Teorema del doble centralizador
• Idealizador
• Multiplicadores y centralizadores (espacios de Banach)
• Subgrupo estabilizador

Notas

1. Kevin O'Meara; Juan Clark; Charles Vinsonhaler (2011). Temas avanzados de álgebra lineal: tejer problemas de matrices a través de la forma de Weyr. Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 65.ISBN​ 978-0-19-979373-0.
2. Karl Heinrich Hofmann; Sidney A. Morris (2007). La teoría de la mentira de los grupos pro-mentira conectados: una teoría de la estructura para álgebras pro-mentira, grupos pro-mentira y grupos conectados localmente compactos. Sociedad Matemática Europea . pag. 30.ISBN​ 978-3-03719-032-6.
3. Jacobson (2009), pág. 41
4. Jacobson 1979, pag. 28.
5. Jacobson 1979, pag. 57.
6. Isaacs 2009, capítulos 1 a 3.

Referencias

• Isaacs, I. Martin (2009), Álgebra: un curso de posgrado, Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 100 (reimpresión de la edición original de 1994), Providence, RI: American Mathematical Society , doi :10.1090/gsm/100, ISBN 978-0-8218-4799-2, señor  2472787
• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica, vol. 1 (2 ed.), Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-47189-1
• Jacobson, Nathan (1979), Lie Algebras (reedición de la edición original de 1962), Dover Publications , ISBN 0-486-63832-4, señor  0559927