Bicommutante

En álgebra , el bicommutante de un subconjunto S de un semigrupo (como un álgebra o un grupo ) es el conmutante del conmutante de ese subconjunto. También se lo conoce como doble conmutante o segundo conmutante y se escribe . ${\displaystyle S^{\prime \prime }}$

El bicommutante es particularmente útil en la teoría de operadores , debido al teorema del doble conmutante de von Neumann , que relaciona las estructuras algebraicas y analíticas de las álgebras de operadores . Específicamente, muestra que si M es un álgebra de operadores unital autoadjunta en la C*-álgebra B(H) , para algún espacio de Hilbert H , entonces el cierre débil , el cierre fuerte y el bicommutante de M son iguales. Esto nos dice que una C*-subálgebra unital M de B(H) es un álgebra de von Neumann si, y solo si, , y que si no, el álgebra de von Neumann que genera es . ${\displaystyle M=M^{\prime \prime }}$ ${\displaystyle M^{\prime \prime }}$

El bicommutante de S siempre contiene a S . Por lo tanto . Por otra parte, . Por lo tanto , es decir, el conmutante del bicommutante de S es igual al conmutante de S . Por inducción, tenemos: ${\displaystyle S^{\prime \prime \prime }=\left(S^{\prime \prime }\right)^{\prime }\subseteq S^{\prime }}$ ${\displaystyle S^{\prime }\subseteq \left(S^{\prime }\right)^{\prime \prime }=S^{\prime \prime \prime }}$ ${\displaystyle S^{\prime }=S^{\prime \prime \prime }}$

${\displaystyle S^{\prime }=S^{\prime \prime \prime }=S^{\prime \prime \prime \prime \prime }=\cdots =S^{2n-1}=\cdots }$

y

${\displaystyle S\subseteq S^{\prime \prime }=S^{\prime \prime \prime \prime }=S^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime }=\cdots =S^{2n}=\cdots }$

para n > 1.

Está claro que, si S ₁ y S ₂ son subconjuntos de un semigrupo,

${\displaystyle \left(S_{1}\cup S_{2}\right)'=S_{1}'\cap S_{2}'.}$

Si se supone que y (este es el caso, por ejemplo, para las álgebras de von Neumann ), entonces la igualdad anterior da ${\displaystyle S_{1}=S_{1}''\,}$ ${\displaystyle S_{2}=S_{2}''\,}$

${\displaystyle \left(S_{1}'\cup S_{2}'\right)''=\left(S_{1}''\cap S_{2}''\right)'=\left(S_{1}\cap S_{2}\right)'.}$

Véase también

• Teorema del doble conmutante de von Neumann

Referencias

• J. Dixmier, Álgebras de Von Neumann , Holanda Septentrional, Ámsterdam, 1981.