En la rama del álgebra abstracta llamada teoría de anillos , el teorema del doble centralizador puede referirse a cualquiera de varios resultados similares. Estos resultados se refieren al centralizador de un subanillo S de un anillo R , denominado C R ( S ) en este artículo. Siempre se da el caso de que C R ( C R ( S ) ) contiene S , y un teorema del doble centralizador da condiciones sobre R y S que garantizan que C R ( C R ( S ) ) es igual a S .
El centralizador de un subanillo S de R viene dado por
Claramente C R ( C R ( S )) ⊇ S , pero no siempre se puede decir que los dos conjuntos son iguales. Los teoremas del doble centralizador dan condiciones bajo las cuales se puede concluir que se produce la igualdad.
Hay otro caso especial de interés. Sea M un módulo R derecho y déle a M la estructura natural del módulo E izquierdo , donde E es End( M ), el anillo de endomorfismos del grupo abeliano M. Cada aplicación m r dada por m r ( x ) = xr crea un endomorfismo aditivo de M , es decir, un elemento de E . El mapa r → m r es un homomorfismo de anillo de R en el anillo E , y denotamos la imagen de R dentro de E por R M. Se puede comprobar que el núcleo de este mapa canónico es la aniquiladora Ann ( MR ). Por lo tanto, según un teorema de isomorfismo para anillos, R M es isomorfo al cociente anillo R /Ann( M R ). Claramente, cuando M es un módulo fiel , R y R M son anillos isomórficos.
Entonces ahora E es un anillo con R M como subanillo, y se puede formar C E ( R M ). Por definición , se puede comprobar que C E ( R M ) = End( M R ), el anillo de endomorfismos del módulo R de M. Así, si ocurre que C E ( C E ( R M )) = R M , esto es lo mismo que decir C E (End( M R )) = R M .
Quizás la versión más común sea la versión para álgebras simples centrales , como aparece en (Knapp 2007, p.115):
Teorema : Si A es un álgebra simple central de dimensión finita sobre un campo F y B es una subálgebra simple de A , entonces C A ( C A ( B )) = B , y además las dimensiones satisfacen
La siguiente versión generalizada para anillos artinianos (que incluyen álgebras de dimensión finita) aparece en (Isaacs 2009, p.187). Dado un módulo R simple U R , tomaremos prestada la notación de la sección de motivación anterior que incluye R U y E =End( U ). Además, escribiremos D =End( U R ) para el subanillo de E que consta de R -homomorfismos. Según el lema de Schur , D es un anillo de división .
Teorema : Sea R un anillo artiniano recto con un módulo recto simple U R , y sean R U , D y E dados como en el párrafo anterior. Entonces
En (Rowen 1980, p.154), se da una versión para anillos de identidad polinomiales . La notación Z( R ) se utilizará para indicar el centro de un anillo R.
Teorema : Si R es un anillo de identidad polinomial simple y A es una subálgebra Z( R ) simple de R , entonces C R ( C R ( A )) = A .
El teorema bicommutante de Von Neumann establece que una *-subálgebra A del álgebra de operadores acotados B ( H ) en un espacio de Hilbert H es un álgebra de von Neumann (es decir, está débilmente cerrada ) si y sólo si A = C B ( H ) C B ( H ) (A).
Se dice que un módulo M tiene la propiedad de doble centralizador o que es un módulo equilibrado si C E ( C E ( R M )) = R M , donde E = End( M ) y R M son como se indican en la sección de motivación. En esta terminología, la versión del anillo artiniano del teorema del doble centralizador establece que los módulos derechos simples para anillos artinianos derechos son módulos equilibrados.
