función de landau

En matemáticas , la función de Landau g ( n ), que lleva el nombre de Edmund Landau , se define para cada número natural n como el orden más grande de un elemento del grupo simétrico S _n . De manera equivalente, g ( n ) es el mínimo común múltiplo más grande (mcm) de cualquier partición de n , o el número máximo de veces que una permutación de n elementos se puede aplicar recursivamente a sí misma antes de regresar a su secuencia inicial.

Por ejemplo, 5 = 2 + 3 y mcm(2,3) = 6. Ninguna otra partición de 5 produce un mcm mayor, por lo que g (5) = 6. Un elemento de orden 6 en el grupo S ₅ se puede escribir en notación de ciclo como (1 2) (3 4 5). Tenga en cuenta que el mismo argumento se aplica al número 6, es decir, g (6) = 6. Hay secuencias arbitrariamente largas de números consecutivos n , n  + 1, ..., n  +  m en las que la función g es constante. ^[1]

La secuencia entera g (0) = 1, g (1) = 1, g (2) = 2, g (3) = 3, g (4) = 4, g (5) = 6, g (6) = 6, g (7) = 12, g (8) = 15,... (secuencia A000793 en la OEIS ) lleva el nombre de Edmund Landau , quien demostró en 1902 ^[2] que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(g(n))}{\sqrt {n\ln(n)}}}=1}$

(donde ln denota el logaritmo natural ). De manera equivalente (usando notación o pequeña ), . ${\displaystyle g(n)=e^{(1+o(1)){\sqrt {n\ln n}}}}$

Más precisamente, ^[3]

${\displaystyle \ln g(n)={\sqrt {n\ln n}}\left(1+{\frac {\ln \ln n-1}{2\ln n}}-{\frac {(\ln \ln n)^{2}-6\ln \ln n+9}{8(\ln n)^{2}}}+O\left(\left({\frac {\ln \ln n}{\ln n}}\right)^{3}\right)\right).}$

Si , donde denota la función de conteo prima , la función integral logarítmica con inversa , y podemos tomar alguna constante c > 0 por Ford, ^[4] entonces ^[3] ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {Li} (x)=O(R(x))}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \operatorname {Li} }$ ${\displaystyle \operatorname {Li} ^{-1}}$ ${\displaystyle R(x)=x\exp {\bigl (}-c(\ln x)^{3/5}(\ln \ln x)^{-1/5}{\bigr )}}$

${\displaystyle \ln g(n)={\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}+O{\bigl (}R({\sqrt {n\ln n}})\ln n{\bigr )}.}$

La declaración que

${\displaystyle \ln g(n)<{\sqrt {\mathrm {Li} ^{-1}(n)}}}$

para todos n suficientemente grande es equivalente a la hipótesis de Riemann .

Se puede demostrar que

${\displaystyle g(n)\leq e^{n/e}}$

con la única igualdad entre las funciones en n = 0, y de hecho

${\displaystyle g(n)\leq \exp \left(1.05314{\sqrt {n\ln n}}\right).}$^[5]

Notas

1. Nicolas, Jean-Louis (1968), "Sur l'ordre Maximum d'un élément dans le groupe S _n des permutations", Acta Arithmetica (en francés), 14 : 315–332
2. Landau, págs. 92-103
3. Massías, JP; Nicolás, JL; Robin, G. (1988), "Évaluación asintótica de l'ordre máximo d'un élément du groupe symétrique", Acta Arithmetica (en francés), 50 : 221–242
4. Kevin Ford (noviembre de 2002). "Integral de Vinogradov y límites para la función Zeta de Riemann" (PDF) . Proc. Matemáticas de Londres. Soc . 85 (3): 565–633. arXiv : 1910.08209 . doi :10.1112/S0024611502013655. S2CID  121144007.
5. Jean-Pierre Massias, Mayoración explícita del orden máximo de un elemento del grupo simétrico, Ann. fac. Ciencia. Matemáticas de Toulouse. (5) 6 (1984), núm. 3-4, págs. 269–281 (1985).

Referencias

• E. Landau , "Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grades [Sobre el orden máximo de permutaciones de un grado dado]", Arch. Matemáticas. Física. Ser. 3, vol. 5, 1903.
• W. Miller, "El orden máximo de un elemento de un grupo simétrico finito", American Mathematical Monthly , vol. 94, 1987, págs. 497–506.
• J.-L. Nicolas, "Sobre la función g ( n ) de Landau ", en Las matemáticas de Paul Erdős , vol. 1, Springer-Verlag, 1997, págs. 228-240.

enlaces externos

• Secuencia OEIS A000793 (función de Landau sobre los números naturales)