En el área matemática de la teoría de grupos , los grupos de cobertura de los grupos alternantes y simétricos son grupos que se utilizan para comprender las representaciones proyectivas de los grupos alternantes y simétricos . Los grupos de cobertura se clasificaron en (Schur 1911): para n ≥ 4 , los grupos de cobertura son coberturas dobles, excepto los grupos alternos de grado 6 y 7 donde las coberturas son séxtuples.
Por ejemplo, el grupo icosaédrico binario cubre el grupo icosaédrico , un grupo alterno de grado 5, y el grupo tetraédrico binario cubre el grupo tetraédrico , un grupo alterno de grado 4.
Se dice que un homomorfismo de grupo de D a G es una cobertura de Schur del grupo finito G si:
El multiplicador de Schur de G es el núcleo de cualquier versión de Schur y tiene muchas interpretaciones. Cuando se comprende el homomorfismo, el grupo D suele denominarse portada de Schur o Darstellungsgruppe.
Las portadas de Schur de los grupos simétricos y alternos se clasificaron en (Schur 1911). El grupo simétrico de grado n ≥ 4 tiene cubiertas de Schur de orden 2⋅ n ! Hay dos clases de isomorfismo si n ≠ 6 y una clase de isomorfismo si n = 6. El grupo alterno de grado n tiene una clase de isomorfismo de cobertura de Schur, que tiene orden n . excepto cuando n es 6 o 7, en cuyo caso la cubierta de Schur tiene orden 3⋅ n !.
Las coberturas de Schur se pueden describir mediante generadores y relaciones. El grupo simétrico S n tiene una presentación en n − 1 generadores t i para i = 1, 2, ..., n − 1 y relaciones
Estas relaciones se pueden utilizar para describir dos cubiertas no isomorfas del grupo simétrico. Un grupo de cobertura 2⋅S−
nortetiene generadores z , t 1 , ..., t n −1 y relaciones:
El mismo grupo 2⋅S−
norteSe puede dar la siguiente presentación usando los generadores z y si dados por ti o ti z según que i sea par o impar:
El otro grupo de cobertura 2⋅S+
nortetiene generadores z , t 1 , ..., t n −1 y relaciones:
El mismo grupo 2⋅S+
norteSe puede dar la siguiente presentación usando los generadores z y si dados por ti o ti z según que i sea par o impar:
A veces, todas las relaciones del grupo simétrico se expresan como ( t i t j ) m ij = 1 , donde m ij son números enteros no negativos, es decir, m ii = 1 , m i , i +1 = 3 y m ij. = 2 , para 1 ≤ yo < yo + 2 ≤ j ≤ norte − 1 . La presentación de 2⋅S−
nortese vuelve particularmente simple en esta forma: ( t i t j ) m ij = z y zz = 1. El grupo 2⋅S+
nortetiene la buena propiedad de que todos sus generadores tienen orden 2.
Issai Schur introdujo los grupos de cobertura para clasificar las representaciones proyectivas de grupos. Una representación lineal (compleja) de un grupo G es un homomorfismo de grupo G → GL( n , C ) del grupo G a un grupo lineal general , mientras que una representación proyectiva es un homomorfismo G → PGL( n , C ) de G a un grupo lineal proyectivo . Las representaciones proyectivas de G corresponden naturalmente a representaciones lineales del grupo de cobertura de G.
Las representaciones proyectivas de grupos alternos y simétricos son el tema del libro (Hoffman y Humphreys 1992).
Los grupos de cobertura corresponden al segundo grupo de homología , H 2 ( G , Z ), también conocido como multiplicador de Schur . Los multiplicadores de Schur de los grupos alternos An ( en el caso de que n sea al menos 4) son los grupos cíclicos de orden 2, excepto en el caso de que n sea 6 o 7, en cuyo caso también hay una triple cobertura. Entonces, en estos casos, el multiplicador de Schur es el grupo cíclico de orden 6, y el grupo de cobertura es una cobertura de 6 veces.
Para el grupo simétrico, el multiplicador de Schur desaparece para n ≤ 3, y es el grupo cíclico de orden 2 para n ≥ 4:
Las cubiertas dobles se pueden construir como cubiertas de espín (respectivamente, pasadores) de representaciones lineales fieles, irreducibles de An y S n . Estas representaciones de espín existen para todos los n, pero son los grupos de cobertura solo para n ≥ 4 ( n ≠ 6, 7 para A n ). Para n ≤ 3, S n y A n son sus propias cubiertas de Schur.
Explícitamente, S n actúa sobre el espacio n -dimensional R n permutando coordenadas (en matrices, como matrices de permutación ). Esto tiene una subrepresentación trivial unidimensional correspondiente a vectores con todas las coordenadas iguales, y la subrepresentación complementaria ( n − 1) -dimensional (de vectores cuyas coordenadas suman 0) es irreducible para n ≥ 4 . Geométricamente, estas son las simetrías del ( n − 1) - simplex , y algebraicamente, produce mapas y los expresa como subgrupos discretos ( grupos de puntos ). El grupo ortogonal especial tiene una cobertura doble por el grupo de espín Spin( n ) → SO( n ) , y al restringir esta cobertura a An y tomar la preimagen se obtiene una cobertura doble 2⋅A n → A n . Una construcción similar con un grupo de pines produce la cubierta doble del grupo simétrico: Pin ± ( n ) → O( n ) . Como hay dos grupos de pines, hay dos cubiertas distintas de 2 pliegues del grupo simétrico, 2⋅S ±
norte, también llamado y Ŝ n .
La triple cobertura de A 6 , denotada 3⋅A 6 , y la triple cobertura correspondiente de S 6 , denotada 3⋅S 6 , pueden construirse como simetrías de un determinado conjunto de vectores en un espacio 6 complejo. Si bien las cubiertas triples excepcionales de A 6 y A 7 se extienden a las extensiones de S 6 y S 7 , estas extensiones no son centrales y, por lo tanto, no forman cubiertas Schur.
Esta construcción es importante en el estudio de los grupos esporádicos , y en gran parte del comportamiento excepcional de los pequeños grupos clásicos y excepcionales, incluyendo: la construcción del grupo Mathieu M 24 , las coberturas excepcionales del grupo unitario proyectivo U 4 (3) y el grupo lineal especial proyectivo y la excepcional doble cobertura del grupo de Lie tipo G 2 (4). [ cita necesaria ]
Para dimensiones bajas existen isomorfismos excepcionales con el mapa de un grupo lineal especial sobre un campo finito al grupo lineal especial proyectivo .
Para n = 3, el grupo simétrico es SL(2, 2) ≅ PSL(2, 2) y es su propia cobertura de Schur.
Para n = 4, la cobertura de Schur del grupo alterno viene dada por SL(2, 3) → PSL(2, 3) ≅ A 4 , que también puede considerarse como el grupo tetraédrico binario que cubre el grupo tetraédrico . De manera similar, GL(2, 3) → PGL(2, 3) ≅ S 4 es una cubierta de Schur, pero hay una segunda cubierta de Schur no isomorfa de S 4 contenida en GL(2,9) – tenga en cuenta que 9 = 3 2 entonces esta es una extensión de escalares de GL(2, 3). En términos de las presentaciones anteriores, GL(2, 3) ≅ Ŝ 4 .
Para n = 5, la cobertura de Schur del grupo alterno viene dada por SL(2, 5) → PSL(2, 5) ≅ A 5 , que también puede considerarse como el grupo icosaédrico binario que cubre el grupo icosaédrico . Aunque PGL(2, 5) ≅ S 5 , GL(2, 5) → PGL(2, 5) no es una cobertura de Schur ya que el núcleo no está contenido en el subgrupo derivado de GL(2,5). La cobertura de Schur de PGL(2, 5) está contenida en GL(2, 25); como antes, 25 = 5 2 , por lo que esto extiende los escalares.
Para n = 6, la doble cobertura del grupo alterno viene dada por SL(2, 9) → PSL(2, 9) ≅ A 6 . Mientras que PGL(2, 9) está contenido en el grupo de automorfismo PΓL (2, 9) de PSL(2, 9) ≅ A 6 , PGL(2, 9) no es isomorfo a S 6 , y sus cubiertas de Schur (que son cubiertas dobles) no están contenidos ni en un cociente de GL(2, 9). Tenga en cuenta que en casi todos los casos, con la única excepción de A 6 , se debe al automorfismo externo excepcional de A 6 . Otro subgrupo del grupo de automorfismos de A 6 es M 10 , el grupo de Mathieu de grado 10, cuya cobertura de Schur es una triple cobertura. Las cubiertas de Schur del grupo simétrico S 6 en sí no tienen representaciones fieles como un subgrupo de GL( d , 9) para d ≤ 3. Las cuatro cubiertas de Schur del grupo de automorfismos PΓL(2, 9) de A 6 son cubiertas dobles.
Para n = 8, el grupo alterno A 8 es isomorfo a SL(4, 2) = PSL(4, 2), por lo que SL(4, 2) → PSL(4, 2), que es 1 a 1 , no 2 a 1, no es una cobertura de Schur.
Las cubiertas de Schur de grupos perfectos finitos son superperfectas , es decir, tanto su primera como su segunda homología integral desaparecen. En particular, las coberturas dobles de An para n ≥ 4 son superperfectas, excepto para n = 6, 7, y las coberturas séxtuples de An son superperfectas para n = 6, 7.
Como extensiones de raíz de un grupo simple, los grupos de cobertura de An son grupos cuasisimples para n ≥ 5.
{{citation}}: Mantenimiento CS1: posdata ( enlace ){{citation}}: Mantenimiento CS1: posdata ( enlace )