La historia de la teoría de grupos , un dominio matemático que estudia los grupos en sus diversas formas, ha evolucionado en varios hilos paralelos. Hay tres raíces históricas de la teoría de grupos : la teoría de ecuaciones algebraicas , la teoría de números y la geometría . [1] [2] [3] Joseph Louis Lagrange , Niels Henrik Abel y Évariste Galois fueron los primeros investigadores en el campo de la teoría de grupos.
El estudio más temprano de los grupos como tales probablemente se remonta al trabajo de Lagrange a fines del siglo XVIII. Sin embargo, este trabajo fue algo aislado, y las publicaciones de 1846 de Augustin Louis Cauchy y Galois se consideran más comúnmente como el comienzo de la teoría de grupos. La teoría no se desarrolló en el vacío, por lo que aquí se desarrollan tres hilos importantes en su prehistoria.
Una raíz fundamental de la teoría de grupos fue la búsqueda de soluciones de ecuaciones polinómicas de grado superior a 4.
Una fuente temprana se encuentra en el problema de formar una ecuación de grado m que tenga como raíces m de las raíces de una ecuación dada de grado . Para casos simples, el problema se remonta a Johann van Waveren Hudde (1659). [4] Nicholas Saunderson (1740) notó que la determinación de los factores cuadráticos de una expresión bicuadrática conduce necesariamente a una ecuación séxtica, [5] y Thomas Le Seur (1703–1770) (1748) [6] [7] y Edward Waring (1762 a 1782) desarrollaron aún más la idea. Waring demostró el teorema fundamental de los polinomios simétricos , y consideró especialmente la relación entre las raíces de una ecuación cuártica y su cúbica resolutiva. [8] [3] [9]
El objetivo de Lagrange (1770, 1771) era entender por qué las ecuaciones de tercer y cuarto grado admiten fórmulas para las soluciones, y un objeto clave era el grupo de permutaciones de las raíces. Sobre esto se construyó la teoría de las sustituciones. [10] Descubrió que las raíces de todos los resolventes de Lagrange ( résolvantes, réduites ) que examinó son funciones racionales de las raíces de las respectivas ecuaciones. Para estudiar las propiedades de estas funciones, inventó un Calcul des Combinaisons . [11] El trabajo contemporáneo de Alexandre-Théophile Vandermonde (1770) desarrolló la teoría de funciones simétricas y la solución de polinomios ciclotómicos . [3] [12] Se ha citado a Leopold Kronecker diciendo que un nuevo auge en el álgebra comenzó con el primer artículo de Vandermonde. [13] [14] De manera similar, Cauchy le dio crédito a Lagrange y a Vandermonde por estudiar funciones simétricas y permutaciones de variables. [15] [14] [ se necesita una mejor fuente ]
Paolo Ruffini (1799) intentó demostrar la imposibilidad de resolver las ecuaciones de quinto grado y superiores. [16] Ruffini fue la primera persona en explorar ideas en la teoría de grupos de permutación como el orden de un elemento de un grupo, la conjugación y la descomposición cíclica de elementos de grupos de permutación. Ruffini distinguió lo que ahora se llama grupos intransitivos y transitivos , e imprimitivos y primitivos , y (1801) usa el grupo de una ecuación bajo el nombre de l'assieme delle permutazioni . También publicó una carta de Pietro Abbati a sí mismo, en la que la idea de grupo es prominente. [17] [3] Sin embargo, nunca formalizó el concepto de grupo, o incluso de grupo de permutación.
A Évariste Galois se le reconoce como el primer matemático que relacionó la teoría de grupos y la teoría de campos , con la teoría que ahora se denomina teoría de Galois . [3] Galois también contribuyó a la teoría de ecuaciones modulares y a la de funciones elípticas . [18] [19] Su primera publicación sobre teoría de grupos la realizó a los dieciocho años (1829), pero sus contribuciones atrajeron poca atención hasta la publicación póstuma de sus artículos recopilados en 1846 (Liouville, vol. XI). Consideró por primera vez lo que ahora se denomina propiedad de clausura de un grupo de permutaciones, que expresó como
Si en tal grupo se tienen las sustituciones S y T entonces se tiene la sustitución ST.
Galois descubrió que si son las n raíces de una ecuación, siempre hay un grupo de permutaciones de las r' tales que
En términos modernos, la solubilidad del grupo de Galois unido a la ecuación determina la solubilidad de la ecuación con radicales.
Galois fue el primero en utilizar las palabras grupo ( groupe en francés) y primitivo en sus significados modernos. No utilizó grupo primitivo sino que llamó ecuación primitiva a una ecuación cuyo grupo de Galois es primitivo . Descubrió la noción de subgrupos normales y encontró que un grupo primitivo resoluble puede identificarse con un subgrupo del grupo afín de un espacio afín sobre un cuerpo finito de orden primo. [20]
Los grupos similares a los grupos de Galois se denominan (hoy) grupos de permutación . La teoría de los grupos de permutación recibió un mayor desarrollo en manos de Augustin Cauchy y Camille Jordan , tanto por la introducción de nuevos conceptos como, principalmente, por una gran cantidad de resultados sobre clases especiales de grupos de permutación e incluso algunos teoremas generales. Entre otras cosas, Jordan definió una noción de isomorfismo , aunque limitada al contexto de los grupos de permutación. También fue Jordan quien hizo que el término grupo se usara ampliamente.
Una noción abstracta de un grupo (finito) apareció por primera vez en el artículo de Arthur Cayley de 1854 Sobre la teoría de grupos, como dependiente de la ecuación simbólica . [21] [22] Cayley propuso que cualquier grupo finito es isomorfo a un subgrupo de un grupo de permutación, un resultado conocido hoy como el teorema de Cayley . En los años siguientes, Cayley investigó sistemáticamente los grupos infinitos y las propiedades algebraicas de las matrices , como la asociatividad de la multiplicación, la existencia de inversas y polinomios característicos .
En segundo lugar, el uso sistemático de grupos en geometría, principalmente bajo la apariencia de grupos de simetría , fue iniciado por el programa de Erlangen de 1872 de Felix Klein . [23] [24] El estudio de lo que ahora se llama grupos de Lie comenzó sistemáticamente en 1884 con Sophus Lie , seguido por el trabajo de Wilhelm Killing , Eduard Study , Issai Schur , Ludwig Maurer y Élie Cartan . La teoría discontinua ( grupo discreto ) fue construida por Klein, Lie, Henri Poincaré y Charles Émile Picard , en conexión en particular con las formas modulares y la monodromía .
La tercera raíz de la teoría de grupos fue la teoría de números . Leonhard Euler consideró operaciones algebraicas sobre números módulo un entero —aritmética modular— en su generalización del pequeño teorema de Fermat . Estas investigaciones fueron llevadas mucho más lejos por Carl Friedrich Gauss , quien consideró la estructura de grupos multiplicativos de residuos módulo n y estableció muchas propiedades de grupos abelianos cíclicos y más generales que surgen de esta manera. En sus investigaciones sobre la composición de formas cuadráticas binarias , Gauss declaró explícitamente la ley asociativa para la composición de formas. En 1870, Leopold Kronecker dio una definición de un grupo abeliano en el contexto de grupos de clases ideales de un cuerpo de números, generalizando el trabajo de Gauss. [25] Los intentos de Ernst Kummer de demostrar el Último Teorema de Fermat resultaron en un trabajo que introdujo grupos que describen la factorización en números primos . [26] En 1882, Heinrich M. Weber se dio cuenta de la conexión entre los grupos de permutación y los grupos abelianos y dio una definición que incluía una propiedad de cancelación bilateral pero omitió la existencia del elemento inverso , que era suficiente en su contexto (grupos finitos). [27]
La teoría de grupos como un tema cada vez más independiente fue popularizada por Serret , quien dedicó la sección IV de su álgebra a la teoría; por Camille Jordan , cuyo Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) es un clásico; y por Eugen Netto (1882), cuya Theory of Substitutions and its Applications to Algebra fue traducida al inglés por Cole (1892). Otros teóricos de grupos del siglo XIX fueron Joseph Louis François Bertrand , Charles Hermite , Ferdinand Georg Frobenius , Leopold Kronecker y Émile Mathieu ; [3] así como William Burnside , Leonard Eugene Dickson , Otto Hölder , EH Moore , Ludwig Sylow y Heinrich Martin Weber .
La convergencia de las tres fuentes anteriores en una teoría uniforme comenzó con el Traité de Jordan y Walther von Dyck (1882), quien definió por primera vez un grupo en el sentido moderno completo. Los libros de texto de Weber y Burnside ayudaron a establecer la teoría de grupos como disciplina. [28] La formulación abstracta de grupo no se aplicó a una gran parte de la teoría de grupos del siglo XIX, y se dio un formalismo alternativo en términos de álgebras de Lie .
Los grupos en el período 1870-1900 se describieron como los grupos continuos de Lie, los grupos discontinuos, los grupos finitos de sustituciones de raíces (que gradualmente se denominaron permutaciones) y los grupos finitos de sustituciones lineales (generalmente de cuerpos finitos). Durante el período 1880-1920, los grupos descritos por presentaciones cobraron vida propia a través del trabajo de Cayley, Walther von Dyck , Max Dehn , Jakob Nielsen , Otto Schreier y continuaron en el período 1920-1940 con el trabajo de HSM Coxeter , Wilhelm Magnus y otros para formar el campo de la teoría combinatoria de grupos .
Los grupos finitos en el período 1870-1900 vieron puntos destacados como los teoremas de Sylow , la clasificación de Hölder de grupos de orden libre de cuadrados y los inicios de la teoría de caracteres de Frobenius. Ya en 1860, los grupos de automorfismos de los planos proyectivos finitos habían sido estudiados (por Mathieu), y en la década de 1870 la visión de la geometría de la teoría de grupos de Klein se estaba haciendo realidad en su programa de Erlangen . Los grupos de automorfismos de espacios proyectivos de dimensiones superiores fueron estudiados por Jordan en su Traité e incluyeron series de composición para la mayoría de los llamados grupos clásicos , aunque evitó los cuerpos no primos y omitió los grupos unitarios . El estudio fue continuado por Moore y Burnside, y llevado a la forma de un libro de texto completo por Leonard Dickson en 1901. El papel de los grupos simples fue enfatizado por Jordan, y los criterios para la no simplicidad fueron desarrollados por Hölder hasta que pudo clasificar los grupos simples de orden menor a 200. El estudio fue continuado por Frank Nelson Cole (hasta 660) y Burnside (hasta 1092), y finalmente en un "proyecto del milenio" temprano, hasta 2001 por Miller y Ling en 1900.
Los grupos continuos en el período 1870-1900 se desarrollaron rápidamente. Se publicaron los artículos fundacionales de Killing y Lie, el teorema de Hilbert en la teoría de invariantes en 1882, etc.
En el período 1900-1940, los grupos "discontinuos" infinitos (ahora llamados grupos discretos ) ganaron vida propia. El famoso problema de Burnside marcó el comienzo del estudio de subgrupos arbitrarios de grupos lineales de dimensión finita sobre cuerpos arbitrarios, y de hecho grupos arbitrarios. Los grupos fundamentales y los grupos de reflexión alentaron los desarrollos de JA Todd y Coxeter, como el algoritmo de Todd-Coxeter en la teoría combinatoria de grupos. Los grupos algebraicos , definidos como soluciones de ecuaciones polinómicas (en lugar de actuar sobre ellas, como en el siglo anterior), se beneficiaron enormemente de la teoría continua de Lie. Bernard Neumann y Hanna Neumann produjeron su estudio de variedades de grupos , grupos definidos por ecuaciones teóricas de grupos en lugar de polinómicas.
Los grupos continuos también experimentaron un crecimiento explosivo en el período 1900-1940. Los grupos topológicos comenzaron a estudiarse como tales. Hubo muchos grandes logros en los grupos continuos: la clasificación de Cartan de las álgebras de Lie semisimples, la teoría de Hermann Weyl sobre las representaciones de grupos compactos, el trabajo de Alfréd Haar en el caso localmente compacto.
Los grupos finitos crecieron enormemente entre 1900 y 1940. Este período fue testigo del nacimiento de la teoría de caracteres de Frobenius, Burnside y Schur, que ayudó a responder muchas de las preguntas del siglo XIX en los grupos de permutación y abrió el camino a técnicas completamente nuevas en grupos finitos abstractos. Este período vio el trabajo de Philip Hall : sobre una generalización del teorema de Sylow a conjuntos arbitrarios de primos que revolucionó el estudio de los grupos solubles finitos, y sobre la estructura de conmutador de potencia de los p-grupos , incluidas las ideas de p-grupos regulares e isoclinismo de grupos , que revolucionó el estudio de los p-grupos y fue el primer resultado importante en esta área desde Sylow. Este período vio el famoso teorema de Schur-Zassenhaus de Hans Zassenhaus sobre la existencia de complementos a la generalización de Hall de los subgrupos de Sylow, así como su progreso en los grupos de Frobenius y una clasificación cercana de los grupos de Zassenhaus .
Posteriormente, la teoría de grupos fue ganando profundidad, amplitud e impacto. El dominio comenzó a diversificarse en áreas como los grupos algebraicos , las extensiones de grupos y la teoría de la representación . [29] A partir de la década de 1950, en un enorme esfuerzo colaborativo, los teóricos de grupos lograron clasificar todos los grupos simples finitos en 1982. Completar y simplificar la prueba de la clasificación son áreas de investigación activa. [30]
Anatoly Maltsev también hizo importantes contribuciones a la teoría de grupos durante este tiempo; su trabajo inicial fue en lógica en la década de 1930, pero en la década de 1940 demostró importantes propiedades de incrustación de semigrupos en grupos, estudió el problema del isomorfismo de los anillos de grupos, estableció la correspondencia de Malçev para grupos policíclicos y en la década de 1960 regresó a la lógica demostrando que varias teorías dentro del estudio de los grupos son indecidibles. Anteriormente, Alfred Tarski demostró que la teoría de grupos elementales es indecidible . [31]
El período de 1960-1980 fue de gran entusiasmo en muchas áreas de la teoría de grupos.
En los grupos finitos, hubo muchos hitos independientes. Uno de ellos fue el descubrimiento de 22 nuevos grupos esporádicos y la finalización de la primera generación de la clasificación de grupos finitos simples . Uno tuvo la influyente idea del subgrupo de Carter y la posterior creación de la teoría de la formación y la teoría de clases de grupos. Uno tuvo las notables extensiones de la teoría de Clifford por parte de Green a los módulos indecomponibles de las álgebras de grupos. Durante esta era, el campo de la teoría de grupos computacional se convirtió en un campo de estudio reconocido, debido en parte a su tremendo éxito durante la clasificación de primera generación.
En los grupos discretos, los métodos geométricos de Jacques Tits y la disponibilidad de la sobreyectividad de la función de Serge Lang permitieron una revolución en los grupos algebraicos. El problema de Burnside tuvo un tremendo progreso, con mejores contraejemplos construidos en los años 1960 y principios de los 1980, pero los toques finales "para todos excepto un número finito" no se completaron hasta los años 1990. El trabajo sobre el problema de Burnside aumentó el interés en las álgebras de Lie en exponente p , y los métodos de Michel Lazard comenzaron a tener un impacto más amplio, especialmente en el estudio de los p -grupos.
Los grupos continuos se ampliaron considerablemente y las preguntas analíticas p -ádicas adquirieron importancia. Durante este período se formularon muchas conjeturas, incluidas las conjeturas de coclase.
Los últimos veinte años del siglo XX disfrutaron de los éxitos de más de cien años de estudio en teoría de grupos.
En grupos finitos, los resultados de la clasificación posterior incluyeron el teorema de O'Nan-Scott , la clasificación de Aschbacher, la clasificación de grupos finitos transitivos múltiples, la determinación de los subgrupos máximos de los grupos simples y las clasificaciones correspondientes de los grupos primitivos . En geometría finita y combinatoria, ahora se podían resolver muchos problemas. La teoría de la representación modular entró en una nueva era a medida que se axiomatizaban las técnicas de la clasificación, incluidos los sistemas de fusión, la teoría de pares de Luis Puig y los bloques nilpotentes. La teoría de los grupos solubles finitos también se transformó con el influyente libro de Klaus Doerk y Trevor Hawkes, que llevó la teoría de proyectores e inyectores a un público más amplio.
En los grupos discretos, varias áreas de la geometría se unieron para producir nuevos y apasionantes campos. El trabajo sobre la teoría de nudos , los orbifolds , las variedades hiperbólicas y los grupos que actúan sobre árboles (la teoría de Bass-Serre ) avivaron en gran medida el estudio de los grupos hiperbólicos y los grupos automáticos . Cuestiones como la conjetura de geometrización de William Thurston de 1982 inspiraron técnicas completamente nuevas en la teoría geométrica de grupos y la topología de baja dimensión , y estuvieron implicadas en la solución de uno de los problemas del Premio del Milenio , la conjetura de Poincaré .
Los grupos continuos permitieron resolver el problema de escuchar la forma de un tambor en 1992 utilizando grupos de simetría del operador laplaciano . Las técnicas continuas se aplicaron a muchos aspectos de la teoría de grupos utilizando espacios de funciones y grupos cuánticos . Muchos problemas de los siglos XVIII y XIX se revisan ahora en este contexto más general, y muchas preguntas en la teoría de las representaciones de grupos tienen respuestas.
La teoría de grupos sigue siendo un tema intensamente estudiado. Su importancia para la matemática contemporánea en su conjunto se puede apreciar en el Premio Abel 2008 , otorgado a John Griggs Thompson y Jacques Tits por sus contribuciones a la teoría de grupos.
Mit Vandermonde im Jahre 1770 der Pariser Akademie vorgelegten Abhand-ung über die Auflösung der Gleichungen Beginnt – so hat sich jüngst Herr Kronecker in einer Vorlesung geäussert – der neue Aufschwung der Algebra[Con el tratado de Vandermonde sobre la solución de ecuaciones presentado a la Academia de París en 1770 – como dijo recientemente Kronecker en una conferencia – comienza un nuevo auge del álgebra]
Cauchy afirma muy claramente que Vandermonde tuvo prioridad sobre Lagrange en esta notable idea que eventualmente condujo al estudio de la teoría de grupos.
