Resolvente (teoría de Galois)

En la teoría de Galois , una disciplina dentro del campo del álgebra abstracta , un resolutivo para un grupo de permutaciones G es un polinomio cuyos coeficientes dependen polinomialmente de los coeficientes de un polinomio dado p y tiene, en términos generales, una raíz racional si y sólo si el Galois El grupo de p está incluido en G. Más exactamente, si el grupo de Galois está incluido en G , entonces el resolutivo tiene una raíz racional, y lo contrario es cierto si la raíz racional es una raíz simple . Los disolventes fueron introducidos por Joseph Louis Lagrange y utilizados sistemáticamente por Évariste Galois . Hoy en día siguen siendo una herramienta fundamental para calcular grupos de Galois . Los ejemplos más simples de resolutivos son

• ${\displaystyle X^{2}-\Delta }$donde está el discriminante , que es un resolutivo para el grupo alterno . En el caso de una ecuación cúbica , este resolutivo a veces se denomina resolutivo cuadrático ; sus raíces aparecen explícitamente en las fórmulas para las raíces de una ecuación cúbica. ${\displaystyle \Delta }$
• El resolutivo cúbico de una ecuación de cuarto grado , que es un resolutivo del grupo diédrico de 8 elementos.
• El resolutivo de Cayley es un resolutivo para el grupo de Galois de máxima resoluble en grado cinco. Es un polinomio de grado 6.

Estos tres resolutivos tienen la propiedad de ser siempre separables , lo que significa que, si tienen raíz múltiple , entonces el polinomio p no es irreducible . No se sabe si existe un resolutivo siempre separable para cada grupo de permutaciones.

Para cada ecuación, las raíces pueden expresarse en términos de radicales y de una raíz de un resolutivo para un grupo resoluble, porque el grupo de Galois de la ecuación sobre el campo generado por esta raíz es resoluble.

Definición

Sea n un número entero positivo , que será el grado de la ecuación que consideraremos, y ( X ₁ ,..., X _n ) una lista ordenada de indeterminadas . Según las fórmulas de Vieta esto define el polinomio mónico genérico de grado  n

$${\displaystyle F(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}E_{i}X^{n-i}=\prod _{i=1}^{n}(X-X_{i}),}$$

E _iipolinomio simétrico elemental

El grupo simétrico S _n actúa sobre los X _i permutándolos, y esto induce una acción sobre los polinomios en los X _i . El estabilizador de un polinomio dado bajo esta acción es generalmente trivial, pero algunos polinomios tienen un estabilizador mayor. Por ejemplo, el estabilizador de un polinomio simétrico elemental es el grupo completo S _n . Si el estabilizador no es trivial, el polinomio está fijado por algún subgrupo G no trivial ; se dice que es un invariante de G . Por el contrario, dado un subgrupo G de S _n , un invariante de G es un invariante resolutivo para G si no es un invariante de ningún subgrupo mayor de S _n . ^[1]

Encontrar invariantes para un subgrupo dado G de S _n es relativamente fácil; se puede sumar la órbita de un monomio bajo la acción de S _n . Sin embargo, puede ocurrir que el polinomio resultante sea un invariante para un grupo más grande. Por ejemplo, considere el caso del subgrupo G de S ₄ de orden 4, que consta de (12)(34) , (13)(24) , (14)(23) y la identidad (para la notación, consulte Grupo de permutación ). El monomio X ₁ X ₂ da el invariante 2( X ₁ X ₂ + X ₃ X ₄ ) . No es un invariante resolutivo para G , porque al ser invariante por (12) , de hecho es un invariante resolutivo para el subgrupo diédrico más grande D ₄ : ⟨(12), (1324)⟩ , y se usa para definir la cúbica resolutiva de la ecuación de cuarto grado .

Si P es un invariante resolutivo para un grupo G de índice m dentro de S _n , entonces su órbita bajo S _n tiene orden m . Sean P ₁ , ..., P _m los elementos de esta órbita. Entonces el polinomio

${\displaystyle R_{G}=\prod _{i=1}^{m}(Y-P_{i})}$

es invariante bajo S _n . Por lo tanto, cuando se expanden, sus coeficientes son polinomios en X _i que son invariantes bajo la acción del grupo de simetría y, por lo tanto, pueden expresarse como polinomios en los polinomios simétricos elementales. En otras palabras, R _G es un polinomio irreducible en Y cuyos coeficientes son polinomios en los coeficientes de F. Al tener la invariante resolutiva como raíz, se denomina resolutiva (a veces ecuación resolutiva ).

Consideremos ahora un polinomio irreducible

${\displaystyle f(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}X^{n-i}=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i}),}$

con coeficientes en un campo dado K (típicamente el campo de racionales ) y raíces x _i en una extensión de campo algebraicamente cerrada . Sustituyendo el X _i por el x _i y los coeficientes de F por los de f en lo anterior, obtenemos un polinomio , también llamado resolutivo o resolutivo especializado en caso de ambigüedad). Si el grupo de Galois de f está contenido en G , la especialización del invariante resolutivo es invariante por G y, por tanto, es una raíz de la que pertenece a K (es racional en K ). Por el contrario, si tiene una raíz racional, que no es una raíz múltiple, el grupo de Galois de f está contenido en G. ${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$ ${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$ ${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$

Terminología

Hay algunas variantes en la terminología.

• Dependiendo de los autores o del contexto, resolutivo puede referirse a invariante resolutivo en lugar de a ecuación resolutiva .
• Un resolutivo de Galois es un resolutivo tal que el invariante resolutivo es lineal en las raíces.
• ElEl resolutivo de Lagrange puede referirse al polinomio lineal.
  $${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}X_{i}\omega ^{i}}$$
  donde es una primitiva n- ésima raíz de la unidad . Es el invariante resolutivo de un resolutivo de Galois para el grupo de identidad. ${\displaystyle \omega }$
• Un resolutivo relativo se define de manera similar a un resolutivo, pero considerando solo la acción de los elementos de un determinado subgrupo H de S _n , teniendo la propiedad de que, si un resolutivo relativo para un subgrupo G de H tiene una raíz racional simple y la raíz de Galois El grupo de f está contenido en H , entonces el grupo de Galois de f está contenido en G. En este contexto, un resolutivo habitual se denomina resolutivo absoluto .

método solvente

El grupo de Galois de un polinomio de grado es o un subgrupo propio del mismo. Si un polinomio es separable e irreducible, entonces el grupo de Galois correspondiente es un subgrupo transitivo. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{n}}$

Los subgrupos transitivos forman un grafo dirigido: un grupo puede ser un subgrupo de varios grupos. Un resolutivo puede decir si el grupo de Galois de un polinomio es un subgrupo (no necesariamente adecuado) de un grupo dado. El método resolutivo es simplemente una forma sistemática de verificar grupos uno por uno hasta que solo sea posible un grupo. Esto no significa que se deban verificar todos los grupos: cada resolutivo puede cancelar muchos grupos posibles. Por ejemplo, para polinomios de grado cinco nunca es necesario un resolutivo de : resolutivos para y dan la información deseada. ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle D_{5}}$ ${\displaystyle A_{5}}$ ${\displaystyle M_{20}}$

Una forma es comenzar desde subgrupos máximos (transitivos) hasta encontrar el correcto y luego continuar con subgrupos máximos de ese.

Referencias

1. http://www.alexhealy.net/papers/math250a.pdf ^{[ URL básica PDF ]}

• Dickson, Leonard E. (1959). Teorías algebraicas . Nueva York: Dover Publications Inc. p. ix+276. ISBN 0-486-49573-6.
• Girstmair, K. (1983). "Sobre el cálculo de resolutivos y grupos de Galois". Manuscripta Matemática . 43 (2–3): 289–307. doi :10.1007/BF01165834. S2CID  123752910.