Grupo de Galois

Grupo matemático

En matemáticas , en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de Galois , el grupo de Galois de un determinado tipo de extensión de cuerpo es un grupo específico asociado con la extensión de cuerpo. El estudio de las extensiones de cuerpo y su relación con los polinomios que les dan origen a través de los grupos de Galois se denomina teoría de Galois , llamada así en honor a Évariste Galois, quien los descubrió por primera vez.

Para una discusión más elemental de los grupos de Galois en términos de grupos de permutación , consulte el artículo sobre la teoría de Galois .

Definición

Supongamos que es una extensión del cuerpo (escrito como y leído como " E sobre F " ). Un automorfismo de se define como un automorfismo de que fija puntualmente. En otras palabras, un automorfismo de es un isomorfismo tal que para cada . El conjunto de todos los automorfismos de forma un grupo con la operación de composición de funciones . Este grupo a veces se denota por ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \alpha :E\to E}$ ${\displaystyle \alpha (x)=x}$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}$

Si es una extensión de Galois , entonces se llama grupo de Galois de y usualmente se denota por . ^[1] ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$

Si no es una extensión de Galois, entonces el grupo de Galois de a veces se define como , donde es el cierre de Galois de . ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (K/F)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$

Grupo de Galois de un polinomio

Otra definición del grupo de Galois proviene del grupo de Galois de un polinomio . Si existe un campo tal que se factoriza como producto de polinomios lineales ${\displaystyle f\in F[x]}$ ${\displaystyle K/F}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{k})\in K[x]}$

sobre el campo , entonces el grupo de Galois del polinomio se define como el grupo de Galois de donde es mínimo entre todos esos campos. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K/F}$ ${\displaystyle K}$

Estructura de los grupos de Galois

Teorema fundamental de la teoría de Galois

Uno de los teoremas de estructura importantes de la teoría de Galois proviene del teorema fundamental de la teoría de Galois . Este establece que dada una extensión finita de Galois , existe una biyección entre el conjunto de subcuerpos y los subgrupos Entonces, viene dada por el conjunto de invariantes de bajo la acción de , por lo que ${\displaystyle K/k}$ ${\displaystyle k\subset E\subset K}$ ${\displaystyle H\subset G.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle E=K^{H}=\{a\in K:ga=a{\text{ where }}g\in H\}}$

Además, si es un subgrupo normal entonces . Y a la inversa, si es una extensión de cuerpo normal, entonces el subgrupo asociado en es un grupo normal. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H\cong \operatorname {Gal} (E/k)}$ ${\displaystyle E/k}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)}$

Estructura reticular

Supongamos que son extensiones de Galois de con grupos de Galois El campo con grupo de Galois tiene una inyección que es un isomorfismo siempre que . ^[2] ${\displaystyle K_{1},K_{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G_{1},G_{2}.}$ ${\displaystyle K_{1}K_{2}}$ ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (K_{1}K_{2}/k)}$ ${\displaystyle G\to G_{1}\times G_{2}}$ ${\displaystyle K_{1}\cap K_{2}=k}$

Inducción

Como corolario, esto puede inducirse un número finito de veces. Dadas las extensiones de Galois donde entonces hay un isomorfismo de los grupos de Galois correspondientes: ${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{n}/k}$ ${\displaystyle K_{i+1}\cap (K_{1}\cdots K_{i})=k,}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{1}\cdots K_{n}/k)\cong \operatorname {Gal} (K_{1}/k)\times \cdots \times \operatorname {Gal} (K_{n}/k).}$

Ejemplos

En los siguientes ejemplos , un cuerpo y son los cuerpos de los números complejos , reales y racionales , respectivamente. La notación F ( a ) indica la extensión del cuerpo que se obtiene al agregar un elemento a al cuerpo F . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,\mathbb {R} ,\mathbb {Q} }$

Herramientas computacionales

Cardinalidad del grupo de Galois y grado de extensión del cuerpo

Una de las proposiciones básicas requeridas para determinar completamente los grupos de Galois ^[3] de una extensión de campo finito es la siguiente: Dado un polinomio , sea su extensión de campo desdoblante. Entonces el orden del grupo de Galois es igual al grado de la extensión de campo; es decir, ${\displaystyle f(x)\in F[x]}$ ${\displaystyle E/F}$

${\displaystyle \left|\operatorname {Gal} (E/F)\right|=[E:F]}$

El criterio de Eisenstein

Una herramienta útil para determinar el grupo de Galois de un polinomio proviene del criterio de Eisenstein . Si un polinomio se factoriza en polinomios irreducibles, el grupo de Galois de se puede determinar utilizando los grupos de Galois de cada uno , ya que el grupo de Galois de contiene cada uno de los grupos de Galois del ${\displaystyle f\in F[x]}$ ${\displaystyle f=f_{1}\cdots f_{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}.}$

Grupo trivial

${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/F)}$es el grupo trivial que tiene un solo elemento, es decir, el automorfismo identidad.

Otro ejemplo de un grupo de Galois que es trivial es : De hecho, se puede demostrar que cualquier automorfismo de debe preservar el orden de los números reales y, por lo tanto, debe ser la identidad. ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} ).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Considere el campo El grupo contiene únicamente el automorfismo identidad. Esto se debe a que no es una extensión normal , ya que las otras dos raíces cúbicas de , ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (K/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \exp \left({\tfrac {2\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}}}$y ${\displaystyle \exp \left({\tfrac {4\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}},}$

faltan en la extensión; en otras palabras, K no es un campo de división .

Grupos abelianos finitos

El grupo de Galois tiene dos elementos, el automorfismo identidad y el automorfismo de conjugación complejo . ^[4] ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )}$

Extensiones cuadráticas

La extensión de cuerpo de grado dos tiene el grupo de Galois con dos elementos, el automorfismo identidad y el automorfismo que intercambia y . Este ejemplo se generaliza para un número primo ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {N} .}$

Producto de extensiones cuadráticas

Utilizando la estructura reticular de los grupos de Galois, para números primos no iguales el grupo de Galois de es ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}}\right)/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})/\mathbb {Q} \right)\times \cdots \times \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{k}}$

Extensiones ciclotómicas

Otra clase útil de ejemplos proviene de los campos de descomposición de polinomios ciclotómicos . Estos son polinomios definidos como ${\displaystyle \Phi _{n}}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\begin{matrix}1\leq k\leq n\\\gcd(k,n)=1\end{matrix}}\left(x-e^{\frac {2ik\pi }{n}}\right)}$

cuyo grado es , la función totiente de Euler en . Entonces, el campo de desdoblamiento sobre es y tiene automorfismos que envían para primos relativos a . Como el grado del campo es igual al grado del polinomio, estos automorfismos generan el grupo de Galois. ^[5] Si entonces ${\displaystyle \phi (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}\mapsto \zeta _{n}^{a}}$ ${\displaystyle 1\leq a<n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}},}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )\cong \prod _{a_{i}}\operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} (\zeta _{p_{i}^{a_{i}}})/\mathbb {Q} \right)}$

Si es primo , entonces un corolario de esto es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{p})/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z} }$

De hecho, cualquier grupo abeliano finito puede encontrarse como el grupo de Galois de algún subcuerpo de una extensión de cuerpo ciclotómico mediante el teorema de Kronecker-Weber .

Campos finitos

Otra clase útil de ejemplos de grupos de Galois con grupos abelianos finitos proviene de los cuerpos finitos. Si q es una potencia prima, y ​​si y denotan los cuerpos de Galois de orden y respectivamente, entonces es cíclico de orden n y generado por el homomorfismo de Frobenius . ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle E=\mathbb {F} _{q^{n}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$

Ejemplos de grado 4

La extensión de campo es un ejemplo de una extensión de campo de grado. ^[6] Esta tiene dos automorfismos donde y Dado que estos dos generadores definen un grupo de orden , el cuatro-grupo de Klein , determinan todo el grupo de Galois. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ ${\displaystyle \sigma ({\sqrt {2}})=-{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \tau ({\sqrt {3}})=-{\sqrt {3}}.}$ ${\displaystyle 4}$

Otro ejemplo se da a partir del campo de división del polinomio ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$

Nota porque las raíces de son Hay automorfismos ${\displaystyle (x-1)f(x)=x^{5}-1,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \exp \left({\tfrac {2k\pi i}{5}}\right).}$

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma _{l}:E\to E\\\exp \left({\frac {2\pi i}{5}}\right)\mapsto \left(\exp \left({\frac {2\pi i}{5}}\right)\right)^{l}\end{cases}}}$

generando un grupo de orden . Dado que genera este grupo, el grupo de Galois es isomorfo a . ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$

Grupos no abelianos finitos

Consideremos ahora dónde es una raíz cúbica primitiva de la unidad . El grupo es isomorfo a S ₃ , el grupo diedro de orden 6 , y L es de hecho el campo de desdoblamiento de sobre ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega ),}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle x^{3}-2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Grupo de cuaterniones

El grupo de cuaterniones se puede encontrar como el grupo de Galois de una extensión de campo de . Por ejemplo, la extensión de campo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {(2+{\sqrt {2}})(3+{\sqrt {3}})}}\right)}$

tiene el grupo de Galois prescrito. ^[7]

Grupo simétrico de orden primo

Si es un polinomio irreducible de grado primo con coeficientes racionales y exactamente dos raíces no reales, entonces el grupo de Galois de es el grupo simétrico completo ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{p}.}$

Por ejemplo, es irreducible a partir del criterio de Eisenstein. Al trazar el gráfico de con un software gráfico o en papel, se muestra que tiene tres raíces reales, por lo tanto, dos raíces complejas, lo que demuestra que su grupo de Galois es . ${\displaystyle f(x)=x^{5}-4x+2\in \mathbb {Q} [x]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{5}}$

Comparación de grupos de Galois de extensiones de campo de campos globales

Dada una extensión de campo global (tal como ) y clases de equivalencia de valoraciones en (tales como la valoración -ádica ) y en tales que sus compleciones dan una extensión de campo de Galois ${\displaystyle K/k}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{5}]{3}},\zeta _{5})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle K_{w}/k_{v}}$

de cuerpos locales , existe una acción inducida del grupo de Galois sobre el conjunto de clases de equivalencia de valoraciones tales que las completaciones de los cuerpos son compatibles. Esto significa que si entonces existe un isomorfismo inducido de cuerpos locales ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (K/k)}$ ${\displaystyle s\in G}$

${\displaystyle s_{w}:K_{w}\to K_{sw}}$

Dado que hemos tomado la hipótesis que se encuentra sobre (es decir, hay una extensión del cuerpo de Galois ), el morfismo del cuerpo es de hecho un isomorfismo de -álgebras. Si tomamos el subgrupo de isotropía de para la clase de valoración ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K_{w}/k_{v}}$ ${\displaystyle s_{w}}$ ${\displaystyle k_{v}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle G_{w}=\{s\in G:sw=w\}}$

Entonces existe una sobreyección del grupo global de Galois al grupo local de Galois, de modo que existe un isomorfismo entre el grupo local de Galois y el subgrupo de isotropía. Diagramáticamente, esto significa

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Gal} (K/v)&\twoheadrightarrow &\operatorname {Gal} (K_{w}/k_{v})\\\downarrow &&\downarrow \\G&\twoheadrightarrow &G_{w}\end{matrix}}}$

donde las flechas verticales son isomorfismos. ^[8] Esto proporciona una técnica para construir grupos de Galois de campos locales utilizando grupos de Galois globales.

Grupos infinitos

Un ejemplo básico de una extensión de campo con un grupo infinito de automorfismos es , ya que contiene todas las extensiones de campo algebraicas . Por ejemplo, las extensiones de campo para un elemento sin cuadrados tienen cada una un automorfismo de grado único , lo que induce un automorfismo en ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} ).}$

Una de las clases más estudiadas de grupo de Galois infinito es el grupo de Galois absoluto , que es un grupo infinito, profinito, definido como el límite inverso de todas las extensiones de Galois finitas para un cuerpo fijo. El límite inverso se denota ${\displaystyle E/F}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {F}}/F):=\varprojlim _{E/F{\text{ finite separable}}}{\operatorname {Gal} (E/F)}}$,

donde es el cierre separable del cuerpo . Nótese que este grupo es un grupo topológico . ^[9] Algunos ejemplos básicos incluyen y ${\displaystyle {\overline {F}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {F} }}_{q}/\mathbb {F} _{q})\cong {\hat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$. ^{[10] [11]}

Otro ejemplo fácilmente computable proviene de la extensión del campo que contiene la raíz cuadrada de cada primo positivo. Tiene grupo de Galois ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q} )\cong \prod _{p}\mathbb {Z} /2}$,

lo cual se puede deducir del límite profinito

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}$

y utilizando el cálculo de los grupos de Galois.

Propiedades

La importancia de que una extensión sea de Galois es que obedece al teorema fundamental de la teoría de Galois : los subgrupos cerrados (con respecto a la topología de Krull ) del grupo de Galois corresponden a los campos intermedios de la extensión del campo.

Si es una extensión de Galois, entonces se le puede dar una topología , llamada topología de Krull, que la convierte en un grupo profinito . ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$

Véase también

• Teorema fundamental de la teoría de Galois
• Grupo absoluto de Galois
• Representación de Galois
• Grupo Demushkin
• Grupo solucionable

Notas

1. Algunos autores se refieren al grupo de Galois para extensiones arbitrarias y utilizan la notación correspondiente, por ejemplo Jacobson 2009. ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)}$ ${\displaystyle E/F}$
2. Lang, Serge. Álgebra (Tercera edición revisada). págs. 263, 273.
3. "Álgebra abstracta" (PDF) . págs. 372–377. Archivado (PDF) desde el original el 18 de diciembre de 2011.
4. Cooke, Roger L. (2008), Álgebra clásica: su naturaleza, orígenes y usos, John Wiley & Sons, pág. 138, ISBN 9780470277973.
5. Dummit; Foote. Álgebra abstracta . págs. 596, 14.5 Extensiones ciclotómicas.
6. Dado que como un espacio vectorial. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {2}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
7. Milne. Teoría de campos. pág. 46.
8. "Comparación de los grupos de Galois globales y locales de una extensión de cuerpos numéricos". Mathematics Stack Exchange . Consultado el 11 de noviembre de 2020 .
9. "9.22 Teoría de Galois infinita". El proyecto Stacks .
10. Milne. "Teoría de campos" (PDF) . pág. 98. Archivado (PDF) desde el original el 27 de agosto de 2008.
11. "Teoría de Galois infinita" (PDF) . pág. 14. Archivado (PDF) del original el 6 de abril de 2020.

Referencias

• Jacobson, Nathan (2009) [1985]. Álgebra básica I (2.ª ed.). Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Sr.  1878556

Enlaces externos

• "Grupo de Galois", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Grupo de Galois y grupo del Cuaternión
• "Grupos Galois". MathPages.com .
• Comparación de los grupos de Galois globales y locales de una extensión de cuerpos numéricos
• Representaciones de Galois - Richard Taylor