función cuartica

Función polinómica de grado cuatro

Gráfica de un polinomio de grado 4, con 3 puntos críticos y cuatro raíces reales (cruces del eje x ) (y por tanto sin raíces complejas ). Si uno u otro de los mínimos locales estuviera por encima del eje x , o si el máximo local estuviera por debajo de él, o si no hubiera un máximo local y un mínimo por debajo del eje x , sólo habría dos raíces reales (y dos raíces complejas). raíces). Si los tres extremos locales estuvieran por encima del eje x , o si no hubiera un máximo local y un mínimo por encima del eje x , no habría una raíz real (y cuatro raíces complejas). El mismo razonamiento se aplica a la inversa al polinomio con un coeficiente cuartico negativo.

En álgebra , una función cuártica es una función de la forma

${\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e,}$

donde a es distinto de cero, lo cual está definido por un polinomio de grado cuatro, llamado polinomio cuártico .

Una ecuación de cuarto grado , o ecuación de cuarto grado, es una ecuación que iguala un polinomio de cuarto grado a cero, de la forma

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,}$

donde un ≠ 0 . ^[1] La derivada de una función cuártica es una función cúbica .

A veces se utiliza el término bicuadrática en lugar de cuártica , pero, normalmente, función bicuadrática se refiere a una función cuadrática de un cuadrado (o, de manera equivalente, a la función definida por un polinomio cuártico sin términos de grado impar), que tiene la forma

${\displaystyle f(x)=ax^{4}+cx^{2}+e.}$

Dado que una función cuártica está definida por un polinomio de grado par, tiene el mismo límite infinito cuando el argumento llega al infinito positivo o negativo . Si a es positivo, entonces la función aumenta hasta infinito positivo en ambos extremos; y por tanto la función tiene un mínimo global . Asimismo, si a es negativo, disminuye hasta infinito negativo y tiene un máximo global. En ambos casos puede tener o no otro máximo local y otro mínimo local.

El grado cuatro ( caso cuártico ) es el grado más alto tal que toda ecuación polinómica puede resolverse mediante radicales , según el teorema de Abel-Ruffini .

Historia

A Lodovico Ferrari se le atribuye el descubrimiento de la solución de la cuarta en 1540, pero dado que esta solución, como todas las soluciones algebraicas de la cuarta, requiere que se encuentre la solución de una cúbica , no pudo publicarse de inmediato. ^[2] La solución de la cuarta fue publicada junto con la de la cúbica por el mentor de Ferrari, Gerolamo Cardano, en el libro Ars Magna . ^[3]

El historiador soviético IY Depman (ru) afirmó que incluso antes, en 1486, el matemático español Valmes fue quemado en la hoguera por afirmar haber resuelto la ecuación de cuarto grado. ^[4] El Inquisidor General Tomás de Torquemada supuestamente le dijo a Valmes que era la voluntad de Dios que tal solución fuera inaccesible al entendimiento humano. ^[5] Sin embargo, Petr Beckmann , quien popularizó esta historia de Depman en Occidente, dijo que no era confiable e insinuó que pudo haber sido inventada como propaganda antirreligiosa soviética. ^[6] La versión de Beckmann de esta historia ha sido ampliamente copiada en varios libros y sitios de Internet, generalmente sin sus reservas y a veces con adornos extravagantes. Varios intentos de encontrar pruebas que corroboren esta historia, o incluso la existencia de Valmes, han fracasado. ^[7]

La prueba de que cuatro es el grado más alto de un polinomio general para el que se pueden encontrar tales soluciones se presentó por primera vez en el teorema de Abel-Ruffini en 1824, demostrando que todos los intentos de resolver polinomios de orden superior serían inútiles. Las notas dejadas por Évariste Galois antes de morir en un duelo en 1832 condujeron más tarde a una elegante teoría completa de las raíces de los polinomios, de la que este teorema fue uno de los resultados. ^[8]

Aplicaciones

Cada coordenada de los puntos de intersección de dos secciones cónicas es una solución de una ecuación de cuarto grado. Lo mismo ocurre con la intersección de una recta y un toroide . De ello se deduce que las ecuaciones de cuarto grado surgen a menudo en la geometría computacional y en todos los campos relacionados, como los gráficos por computadora , el diseño asistido por computadora , la fabricación asistida por computadora y la óptica . A continuación se muestran ejemplos de otros problemas geométricos cuya solución implica resolver una ecuación de cuarto grado.

En la fabricación asistida por computadora , el toroide es una forma que comúnmente se asocia con la fresa . Para calcular su ubicación relativa a una superficie triangulada, se debe encontrar la posición de un toro horizontal en el eje z donde es tangente a una línea fija, y esto requiere calcular la solución de una ecuación cuártica general. ^[9]

También surge una ecuación de cuarto grado en el proceso de resolución del problema de las escaleras cruzadas , en el que se dan las longitudes de dos escaleras cruzadas, cada una apoyada contra una pared y apoyada contra otra, junto con la altura a la que se cruzan y la distancia entre las escaleras. se encuentran paredes. ^[10]

En óptica, el problema de Alhazen es " Dada una fuente de luz y un espejo esférico, encontrar el punto del espejo donde la luz se reflejará en el ojo de un observador ". Esto conduce a una ecuación de cuarto grado. ^{[11] [12] [13]}

Encontrar la distancia de máxima aproximación de dos elipses implica resolver una ecuación de cuarto grado.

Los valores propios de una matriz de 4 × 4 son las raíces de un polinomio cuártico que es el polinomio característico de la matriz.

La ecuación característica de una ecuación en diferencias lineal de cuarto orden o ecuación diferencial es una ecuación cuártica. Un ejemplo surge en la teoría de Timoshenko-Rayleigh sobre la flexión de una viga. ^[14]

Las intersecciones entre esferas, cilindros u otras cuádricas se pueden encontrar usando ecuaciones de cuarto grado.

Puntos de inflexión y proporción áurea

Dejando que F y G sean los distintos puntos de inflexión de la gráfica de una función cuártica, y dejando que H sea la intersección de la recta secante de inflexión FG y la cuártica, más cerca de G que de F , entonces G divide FH en la sección áurea : ^{[ 15]}

${\displaystyle {\frac {FG}{GH}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \;({\text{the golden ratio}}).}$

Además, el área de la región entre la línea secante y la cuarta debajo de la línea secante es igual al área de la región entre la línea secante y la cuarta por encima de la línea secante. Una de esas regiones está dividida en subregiones de igual área.

Solución

Naturaleza de las raíces

Dada la ecuación cuartica general

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$

con coeficientes reales y a ≠ 0 la naturaleza de sus raíces está determinada principalmente por el signo de su discriminante

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ={}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}}$

Esto se puede refinar considerando los signos de otros cuatro polinomios:

${\displaystyle P=8ac-3b^{2}}$

tal quePAG/8 un ²es el coeficiente de segundo grado del cuartico deprimido asociado (ver más abajo);

${\displaystyle R=b^{3}+8da^{2}-4abc,}$

tal queR/8 un ³es el coeficiente de primer grado de la cuartica deprimida asociada;

${\displaystyle \Delta _{0}=c^{2}-3bd+12ae,}$

que es 0 si el cuarto tiene raíz triple; y

${\displaystyle D=64a^{3}e-16a^{2}c^{2}+16ab^{2}c-16a^{2}bd-3b^{4}}$

que es 0 si el cuarto tiene dos raíces dobles.

Los posibles casos para la naturaleza de las raíces son los siguientes: ^[16]

• Si ∆ < 0 entonces la ecuación tiene dos raíces reales distintas y dos raíces complejas conjugadas no reales.
• Si ∆ > 0 entonces las cuatro raíces de la ecuación son todas reales o ninguna lo es.
  • Si P < 0 y D < 0 entonces las cuatro raíces son reales y distintas.
  • Si P > 0 o D > 0 entonces hay dos pares de raíces conjugadas complejas no reales. ^[17]
• Si ∆ = 0 entonces (y sólo entonces) el polinomio tiene raíz múltiple . A continuación se detallan los diferentes casos que pueden ocurrir:
  • Si P < 0 y D < 0 y ∆ ₀ ≠ 0 , hay una raíz doble real y dos raíces simples reales.
  • Si D > 0 o ( P > 0 y ( D ≠ 0 o R ≠ 0)), hay una raíz doble real y dos raíces conjugadas complejas.
  • Si ∆ ₀ = 0 y D ≠ 0, hay una raíz triple y una raíz simple, todas reales.
  • Si D = 0, entonces:
    • Si P < 0, existen dos raíces dobles reales.
    • Si P > 0 y R = 0, hay dos raíces dobles conjugadas complejas.
    • Si ∆ ₀ = 0 , las cuatro raíces son iguales a -b/4 un

Hay algunos casos que no parecen estar cubiertos, pero en realidad no pueden ocurrir. Por ejemplo, ∆ ₀ > 0 , P = 0 y D ≤ 0 no es uno de los casos. De hecho, si ∆ ₀ > 0 y P = 0 entonces D > 0, por lo que esta combinación no es posible. ${\displaystyle 16a^{2}\Delta _{0}=3D+P^{2};}$

Fórmula general para raíces.

Solución escrita en su totalidad. Esta fórmula es demasiado difícil de manejar para uso general; de ahí que generalmente se utilicen otros métodos o fórmulas más sencillas para casos especiales. ${\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

Las cuatro raíces x ₁ , x ₂ , x ₃ y x ₄ para la ecuación cuártica general

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}$

con a ≠ 0 se dan en la siguiente fórmula, que se deduce de la de la sección sobre el método de Ferrari cambiando las variables (ver § Conversión a una cuartica deprimida) y usando las fórmulas para las ecuaciones cuadráticas y cúbicas .

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1,2}\ &=-{\frac {b}{4a}}-S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p+{\frac {q}{S}}}}\\x_{3,4}\ &=-{\frac {b}{4a}}+S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p-{\frac {q}{S}}}}\end{aligned}}}$

donde p y q son los coeficientes de segundo y primer grado respectivamente en el cuartico deprimido asociado

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}\end{aligned}}}$

y donde

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {1}{3a}}\left(Q+{\frac {\Delta _{0}}{Q}}\right)}}\\Q&={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}+{\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}}$

(si S = 0 o Q = 0 , consulte § Casos especiales de la fórmula, a continuación)

con

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{0}&=c^{2}-3bd+12ae\\\Delta _{1}&=2c^{3}-9bcd+27b^{2}e+27ad^{2}-72ace\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle \Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}=-27\Delta \ ,}$¿ Dónde está el discriminante antes mencionado ? Para la expresión de la raíz cúbica de Q se puede utilizar cualquiera de las tres raíces cúbicas del plano complejo, aunque si una de ellas es real esa es la natural y más sencilla a elegir. Las expresiones matemáticas de estos últimos cuatro términos son muy similares a las de sus homólogos cúbicos . ${\displaystyle \Delta }$

Casos especiales de la fórmula.

• Si el valor de es un número complejo no real. En este caso, o todas las raíces son no reales o todas son reales. En este último caso, el valor de también es real, a pesar de expresarse en términos de este casus irreducibilis de la función cúbica ampliada al contexto actual de la cuártica. Quizás se prefiera expresarlo de forma puramente real, utilizando funciones trigonométricas , de la siguiente manera: ${\displaystyle \Delta >0,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Q;}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {2}{3a}}{\sqrt {\Delta _{0}}}\cos {\frac {\varphi }{3}}}}}$

dónde

${\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {\Delta _{1}}{2{\sqrt {\Delta _{0}^{3}}}}}\right).}$

• Si y el signo de tiene que ser elegido para tener eso se debe definir como mantener el signo de ${\displaystyle \Delta \neq 0}$ ${\displaystyle \Delta _{0}=0,}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}={\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}}$ ${\displaystyle Q\neq 0,}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}}$ ${\displaystyle \Delta _{1},}$ ${\displaystyle \Delta _{1}.}$
• Si entonces hay que cambiar la elección de la raíz cúbica para tener Esto siempre es posible, excepto si se puede factorizar la cuarta cuartica. El resultado es entonces correcto, pero engañoso porque oculta el hecho de que en este caso no se necesita raíz cúbica. . De hecho, este caso puede ocurrir sólo si el numerador de es cero, en cuyo caso la cuarta deprimida asociada es bicuadrática; por lo tanto, puede resolverse mediante el método que se describe a continuación. ${\displaystyle S=0,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle S\neq 0.}$ ${\displaystyle \left(x+{\tfrac {b}{4a}}\right)^{4}.}$ ${\displaystyle q}$
• Si y y por tanto también al menos tres raíces son iguales entre sí, y las raíces son funciones racionales de los coeficientes. La raíz triple es una raíz común de la cuarta y su segunda derivada, por lo que también es la raíz única del resto de la división euclidiana de la cuarta por su segunda derivada, que es un polinomio lineal. La raíz simple se puede deducir de ${\displaystyle \Delta =0}$ ${\displaystyle \Delta _{0}=0,}$ ${\displaystyle \Delta _{1}=0,}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle 2(6ax^{2}+3bx+c);}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}+3x_{0}=-b/a.}$
• Si y la expresión anterior para las raíces es correcta pero engañosa, oculta el hecho de que el polinomio es reducible y no se necesita raíz cúbica para representar las raíces. ${\displaystyle \Delta =0}$ ${\displaystyle \Delta _{0}\neq 0,}$

Casos más simples

cuartos reducibles

Considere el cuarto general

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.}$

Es reducible si Q ( x ) = R ( x ) × S ( x ) , donde R ( x ) y S ( x ) son polinomios no constantes con coeficientes racionales (o más generalmente con coeficientes en el mismo campo que los coeficientes de Q ( x ) ). Esta factorización adoptará una de dos formas:

${\displaystyle Q(x)=(x-x_{1})(b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0})}$

o

${\displaystyle Q(x)=(c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0})(d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0}).}$

En cualquier caso, las raíces de Q ( x ) son las raíces de los factores, que se pueden calcular usando las fórmulas para las raíces de una función cuadrática o cúbica .

La detección de la existencia de tales factorizaciones se puede realizar utilizando la cúbica resolutiva de Q ( x ) . Resulta que:

• si trabajamos sobre R (es decir, si los coeficientes están restringidos a ser números reales) (o, más generalmente, sobre algún campo cerrado real ), entonces siempre existe tal factorización;
• Si estamos trabajando sobre Q (es decir, si los coeficientes están restringidos a ser números racionales), entonces existe un algoritmo para determinar si Q ( x ) es reducible o no y, si lo es, cómo expresarlo como un producto de polinomios. de menor grado.

De hecho, varios métodos para resolver ecuaciones de cuarto grado (el método de Ferrari, el método de Descartes y, en menor medida, el método de Euler) se basan en encontrar tales factorizaciones.

Ecuación bicuadrática

Si a ₃ = a ₁ = 0 entonces la función

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}}$

se llama función bicuadrática ; equipararlo a cero define una ecuación bicuadrática , que es fácil de resolver de la siguiente manera

Sea la variable auxiliar z = x ² . Entonces Q ( x ) se convierte en una q cuadrática en z : q ( z ) = a ₄ z ² + a ₂ z + a ₀ . Sean z ₊ y z ₋ las raíces de q ( z ) . Entonces las raíces del cuártico Q ( x ) son

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=+{\sqrt {z_{+}}},\\x_{2}&=-{\sqrt {z_{+}}},\\x_{3}&=+{\sqrt {z_{-}}},\\x_{4}&=-{\sqrt {z_{-}}}.\end{aligned}}}$

Ecuación cuasi palindrómica

El polinomio

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}}$

es casi palindrómico , ya que P ( mx ) =x4 ^_/metros ²PAG (metro/X) (es palindrómico si m = 1 ). El cambio de variables z = x +metro/XenP ( x )/x2 ^_= 0 produce la ecuación cuadrática a ₀ z ² + a ₁ z + a ₂ − 2 ma ₀ = 0 . Dado que x ² − xz + m = 0 , la ecuación de cuarto grado P ( x ) = 0 se puede resolver aplicando la fórmula cuadrática dos veces.

Métodos de solución

Convirtiendo a una cuartica deprimida

Para propósitos de resolución, generalmente es mejor convertir el cuartico en un cuartico deprimido mediante el siguiente simple cambio de variable. Todas las fórmulas son más sencillas y algunos métodos sólo funcionan en este caso. Las raíces del cuartico original se recuperan fácilmente de las del cuartico deprimido mediante el cambio inverso de variable.

Dejar

${\displaystyle a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$

Sea la ecuación cuártica general que queremos resolver.

Dividiendo por a ₄ , se obtiene la ecuación equivalente x ⁴ + bx ³ + cx ² + dx + e = 0 , con b =un ₃/un ₄, c =un ₂/un ₄, re =un ₁/un ₄, y mi =un ₀/un ₄. Sustituyendo y −b/4para x se obtiene, después de reagrupar los términos, la ecuación y ⁴ + py ² + qy + r = 0 , donde

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {8c-3b^{2}}{8}}={\frac {8a_{2}a_{4}-3{a_{3}}^{2}}{8{a_{4}}^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4bc+8d}{8}}={\frac {{a_{3}}^{3}-4a_{2}a_{3}a_{4}+8a_{1}{a_{4}}^{2}}{8{a_{4}}^{3}}}\\r&={\frac {-3b^{4}+256e-64bd+16b^{2}c}{256}}={\frac {-3{a_{3}}^{4}+256a_{0}{a_{4}}^{3}-64a_{1}a_{3}{a_{4}}^{2}+16a_{2}{a_{3}}^{2}a_{4}}{256{a_{4}}^{4}}}.\end{aligned}}}$

Si y ₀ es una raíz de esta cuartica deprimida, entonces y ₀ −b/4(es decir y ₀ −un ₃/4 un ₄) es una raíz del cuartico original y cada raíz del cuartico original se puede obtener mediante este proceso.

La solución de Ferrari

Como se explicó en la sección anterior, podemos comenzar con la ecuación de cuarto grado deprimida

${\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0.}$

Esta cuartica deprimida puede resolverse mediante un método descubierto por Lodovico Ferrari . La ecuación deprimida se puede reescribir (esto se verifica fácilmente expandiendo el cuadrado y reagrupando todos los términos en el lado izquierdo) como

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}\right)^{2}=-qy-r+{\frac {p^{2}}{4}}.}$

Luego, introducimos una variable m en el factor del lado izquierdo sumando 2 y ² m + pm + m ² a ambos lados. Después de reagrupar los coeficientes de la potencia de y en el lado derecho, se obtiene la ecuación

que es equivalente a la ecuación original, cualquiera que sea el valor que se le dé a m .

Como el valor de m puede elegirse arbitrariamente, lo elegiremos para completar el cuadrado del lado derecho. Esto implica que el discriminante en y de esta ecuación cuadrática es cero, es decir m es una raíz de la ecuación

${\displaystyle (-q)^{2}-4(2m)\left(m^{2}+pm+{\frac {p^{2}}{4}}-r\right)=0,\,}$

que puede reescribirse como

Esta es la resolutiva cúbica de la ecuación de cuarto grado. Por tanto, el valor de m puede obtenerse a partir de la fórmula de Cardano . Cuando m es una raíz de esta ecuación, el lado derecho de la ecuación ( 1 ) es el cuadrado

${\displaystyle \left({\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.}$

Sin embargo, esto induce una división por cero si m = 0 . Esto implica q = 0 y, por lo tanto, que la ecuación deprimida es bicuadrática y puede resolverse mediante un método más sencillo (ver arriba). Esto no era un problema en la época de Ferrari, cuando sólo se resolvían ecuaciones explícitamente dadas con coeficientes numéricos. Para una fórmula general que siempre sea verdadera, es necesario elegir una raíz de la ecuación cúbica tal que m ≠ 0 . Esto siempre es posible excepto por la ecuación deprimida y ⁴ = 0 .

Ahora, si m es una raíz de la ecuación cúbica tal que m ≠ 0 , la ecuación ( 1 ) se convierte en

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m\right)^{2}=\left(y{\sqrt {2m}}-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.}$

Esta ecuación tiene la forma M ² = N ² , que se puede reordenar como M ² − N ² = 0 o ( M + N )( M − N ) = 0 . Por lo tanto, la ecuación ( 1 ) puede reescribirse como

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m+{\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m-{\sqrt {2m}}y+{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)=0.}$

Esta ecuación se resuelve fácilmente aplicando a cada factor la fórmula cuadrática . Resolviéndolos podemos escribir las cuatro raíces como

${\displaystyle y={\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2},}$

donde ± ₁ y ± ₂ denotan + o − . Como las dos apariciones de ± ₁ deben denotar el mismo signo, esto deja cuatro posibilidades, una para cada raíz.

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación de cuarto grado original son

${\displaystyle x=-{a_{3} \over 4a_{4}}+{\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2}.}$

Una comparación con la fórmula general anterior muestra que √ 2 m = 2 S .

La solución de Descartes

Descartes ^[18] introdujo en 1637 el método de encontrar las raíces de un polinomio cuártico factorizándolo en dos cuadráticos. Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e&=(x^{2}+sx+t)(x^{2}+ux+v)\\&=x^{4}+(s+u)x^{3}+(t+v+su)x^{2}+(sv+tu)x+tv\end{aligned}}}$

Al igualar coeficientes , esto da como resultado el siguiente sistema de ecuaciones:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}b=s+u\\c=t+v+su\\d=sv+tu\\e=tv\end{array}}\right.}$

Esto se puede simplificar comenzando de nuevo con el cuartico deprimido y ⁴ + py ² + qy + r , que se puede obtener sustituyendo y − b /4 por x . Dado que el coeficiente de y ³ es  0 , obtenemos s = − u y:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}p+u^{2}=t+v\\q=u(t-v)\\r=tv\end{array}}\right.}$

Ahora se pueden eliminar t y v haciendo lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}(p+u^{2})^{2}-q^{2}&=u^{2}(t+v)^{2}-u^{2}(t-v)^{2}\\&=u^{2}[(t+v+(t-v))(t+v-(t-v))]\\&=u^{2}(2t)(2v)\\&=4u^{2}tv\\&=4u^{2}r\end{aligned}}}$

Si establecemos U = u ² , entonces resolver esta ecuación se convierte en encontrar las raíces de la cúbica resolutiva.

que se hace en otros lugares . Esta cúbica resolutiva es equivalente a la cúbica resolutiva dada anteriormente (ecuación (1a)), como se puede ver sustituyendo U = 2m.

Si u es una raíz cuadrada de una raíz distinta de cero de este resolutivo (dicha raíz distinta de cero existe excepto para el cuártico x ⁴ , que se factoriza trivialmente),

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}s=-u\\2t=p+u^{2}+q/u\\2v=p+u^{2}-q/u\end{array}}\right.}$

Las simetrías en esta solución son las siguientes. Hay tres raíces de la cúbica, que corresponden a las tres formas en que una cuarta se puede factorizar en dos cuadráticas, y elegir valores positivos o negativos de u para la raíz cuadrada de U simplemente intercambia las dos cuadráticas entre sí.

La solución anterior muestra que un polinomio cuártico con coeficientes racionales y un coeficiente cero en el término cúbico se puede factorizar en cuadráticas con coeficientes racionales si y sólo si el cúbico resolutivo ( 2 ) tiene una raíz distinta de cero que es el cuadrado de un racional , o p ² − 4 r es el cuadrado de racional y q = 0 ; esto se puede comprobar fácilmente mediante la prueba de la raíz racional . ^[19]

la solución de euler

Una variante del método anterior se debe a Euler . ^{[20] [21]} A diferencia de los métodos anteriores, que utilizan alguna raíz de la cúbica resolutiva, el método de Euler las utiliza todas. Considere una cuartica deprimida x ⁴ + px ² + qx + r . Observa que, si

• x ⁴ + px ² + qx + r = ( x ² + sx + t )( x ² − sx + v ) ,
• r ₁ y r ₂ son las raíces de x ² + sx + t ,
• r ₃ y r ₄ son las raíces de x ² − sx + v ,

entonces

• las raíces de x ⁴ + px ² + qx + r son r ₁ , r ₂ , r ₃ y r ₄ ,
• r ₁ + r ₂ = - s ,
• r ₃ + r ₄ = s .

Por lo tanto, ( r ₁ + r ₂ )( r ₃ + r ₄ ) = − s ² . En otras palabras, −( r ₁ + r ₂ )( r ₃ + r ₄ ) es una de las raíces de la cúbica resolutiva ( 2 ) y esto sugiere que las raíces de esa cúbica son iguales a −( r ₁ + r ₂ )( r ₃ + r ₄ ) , −( r ₁ + r ₃ )( r ₂ + r ₄ ) , y −( r ₁ + r ₄ )( r ₂ + r ₃ ) . Esto es realmente cierto y se desprende de las fórmulas de Vieta . También se deduce de las fórmulas de Vieta, junto con el hecho de que estamos trabajando con una cuarta deprimida, que r ₁ + r ₂ + r ₃ + r ₄ = 0 . (Por supuesto, esto también se sigue del hecho de que r ₁ + r ₂ + r ₃ + r ₄ = − s + s .) Por lo tanto, si α , β y γ son las raíces de la cúbica resolutiva, entonces los números r ₁ , r ₂ , r ₃ y r ₄ son tales que

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\(r_{1}+r_{2})(r_{3}+r_{4})=-\alpha \\(r_{1}+r_{3})(r_{2}+r_{4})=-\beta \\(r_{1}+r_{4})(r_{2}+r_{3})=-\gamma {\text{.}}\end{array}}\right.}$

Es consecuencia de las dos primeras ecuaciones que r ₁ + r ₂ es una raíz cuadrada de α y que r ₃ + r ₄ es la otra raíz cuadrada de α . Por la misma razón,

• r ₁ + r ₃ es una raíz cuadrada de β ,
• r ₂ + r ₄ es la otra raíz cuadrada de β ,
• r ₁ + r ₄ es una raíz cuadrada de γ ,
• r ₂ + r ₃ es la otra raíz cuadrada de γ .

Por lo tanto, los números r ₁ , r ₂ , r ₃ y r ₄ son tales que

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\r_{1}+r_{2}={\sqrt {\alpha }}\\r_{1}+r_{3}={\sqrt {\beta }}\\r_{1}+r_{4}={\sqrt {\gamma }}{\text{;}}\end{array}}\right.}$

El signo de las raíces cuadradas se tratará a continuación. La única solución de este sistema es:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}={\frac {{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{2}={\frac {{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{3}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{4}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}{\text{.}}\end{array}}\right.}$

Dado que, en general, hay dos opciones para cada raíz cuadrada, podría parecer que esto proporciona 8 (= 2 ³ ) opciones para el conjunto { r ₁ , r ₂ , r ₃ , r ₄ }, pero, de hecho, no proporciona más de 2  opciones de este tipo, porque la consecuencia de reemplazar una de las raíces cuadradas por la simétrica es que el conjunto { r ₁ , r ₂ , r ₃ , r ₄ } se convierte en el conjunto {− r ₁ , − r ₂ , - r ₃ , - r ₄ }.

Para determinar el signo correcto de las raíces cuadradas, simplemente se elige alguna raíz cuadrada para cada uno de los números α , β y γ y se usan para calcular los números r ₁ , r ₂ , r ₃ y r ₄ a partir de la igualdades anteriores. Luego, se calcula el número √ α √ β √ γ . Dado que α , β y γ son las raíces de ( 2 ), es consecuencia de las fórmulas de Vieta que su producto es igual a q ² y por tanto que √ α √ β √ γ = ± q . Pero un cálculo sencillo muestra que

√ α √ β √ γ = r ₁ r ₂ r ₃ + r ₁ r ₂ r ₄ + r ₁ r ₃ r ₄ + r ₂ r ₃ r ₄ .

Si este número es −q , entonces la elección de las raíces cuadradas fue buena (de nuevo, según las fórmulas de Vieta) ; en caso contrario, las raíces del polinomio serán − r ₁ , − r ₂ , − r ₃ y − r ₄ , que son los números que se obtienen si se reemplaza una de las raíces cuadradas por la simétrica (o, lo que equivale a la lo mismo, si se sustituye cada una de las tres raíces cuadradas por la simétrica).

Este argumento sugiere otra forma de elegir las raíces cuadradas:

• elija cualquier raíz cuadrada √ α de α y cualquier raíz cuadrada √ β de β ;
• define √ γ como . ${\displaystyle -{\frac {q}{{\sqrt {\alpha }}{\sqrt {\beta }}}}}$

Por supuesto, esto no tendrá sentido si α o β es igual a 0 , pero 0 es raíz de ( 2 ) sólo cuando q = 0 , es decir, sólo cuando estamos tratando con una ecuación bicuadrática, en cuyo caso hay un enfoque mucho más simple.

Resolviendo por resolutivo de Lagrange

El grupo simétrico S ₄ de cuatro elementos tiene el grupo de cuatro de Klein como subgrupo normal . Esto sugiere utilizar uncúbica resolutiva cuyas raíces pueden describirse de diversas formas como una transformada de Fourier discreta o unamatricial de Hadamardde las raíces; consultelos solventes de Lagrangepara conocer el método general. Denota por x _i , para i de 0a 3, las cuatro raíces de x ⁴ + bx ³ + cx ² + dx + e . si establecemos

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}),\\[4pt]s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}+x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}-x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}-x_{2}+x_{3}),\end{aligned}}}$

entonces, como la transformación es una involución , podemos expresar las raíces en términos de los cuatro _si exactamente de la misma manera. Como conocemos el valor s ₀ = −b/2, sólo necesitamos los valores de s ₁ , s ₂ y s ₃ . Estas son las raíces del polinomio.

${\displaystyle (s^{2}-{s_{1}}^{2})(s^{2}-{s_{2}}^{2})(s^{2}-{s_{3}}^{2}).}$

Sustituyendo el s _{i por sus valores en término} del xi , este polinomio se puede desarrollar en un polinomio en s cuyos coeficientes sean polinomios simétricos en _el xi . Según el teorema fundamental de los polinomios simétricos , estos coeficientes pueden expresarse como polinomios en los coeficientes del cuartico mónico. Si, para simplificar, suponemos que la cuartica está deprimida, es decir b = 0 , esto da como resultado el polinomio

Este polinomio es de grado seis, pero sólo de grado tres en s ² , por lo que la ecuación correspondiente se puede resolver mediante el método descrito en el artículo sobre la función cúbica . Al sustituir las raíces en la expresión de x _i en términos de si _, obtenemos la expresión de las raíces. De hecho obtenemos, aparentemente, varias expresiones, dependiendo de la numeración de las raíces del polinomio cúbico y de los signos dados a sus raíces cuadradas. Todas estas diferentes expresiones se pueden deducir de una de ellas simplemente cambiando la numeración de _las xi .

Estas expresiones son innecesariamente complicadas e involucran las raíces cúbicas de la unidad , que pueden evitarse de la siguiente manera. Si s es cualquier raíz distinta de cero de ( 3 ), y si establecemos

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(x)&=x^{2}+sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}-{\frac {d}{2s}}\\F_{2}(x)&=x^{2}-sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}+{\frac {d}{2s}}\end{aligned}}}$

entonces

${\displaystyle F_{1}(x)\times F_{2}(x)=x^{4}+cx^{2}+dx+e.}$

Por lo tanto, podemos resolver la ecuación cuártica resolviendo s y luego resolviendo las raíces de los dos factores usando la fórmula cuadrática .

Esto da exactamente la misma fórmula para las raíces que la proporcionada por el método de Descartes.

Resolver con geometría algebraica

Existe una solución alternativa usando geometría algebraica ^[22] En resumen, se interpretan las raíces como la intersección de dos curvas cuadráticas, luego se encuentran las tres curvas cuadráticas reducibles (pares de líneas) que pasan por estos puntos (esto corresponde a la resolución cúbica , siendo los pares de líneas los resolutivos de Lagrange), y luego usa estas ecuaciones lineales para resolver la cuadrática.

Las cuatro raíces de la cuartica deprimida x ⁴ + px ² + qx + r = 0 también se pueden expresar como las coordenadas x de las intersecciones de las dos ecuaciones cuadráticas y ² + py + qx + r = 0 y y − x ² = 0 es decir, usar la sustitución y = x ² de que dos cuadráticas se intersectan en cuatro puntos es un ejemplo del teorema de Bézout . Explícitamente, los cuatro puntos son P _i ≔ ( x _i , x _i ² ) para las cuatro raíces x _i de la cuarta.

Estos cuatro puntos no son colineales porque se encuentran en la cuadrática irreducible y = x ² y, por lo tanto, hay una familia de cuadráticas de 1 parámetro (un lápiz de curvas ) que pasa por estos puntos. Escribir la proyectivización de las dos cuadráticas como formas cuadráticas en tres variables:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(X,Y,Z)&:=Y^{2}+pYZ+qXZ+rZ^{2},\\F_{2}(X,Y,Z)&:=YZ-X^{2}\end{aligned}}}$

el lápiz está dado por las formas λF ₁ + μF ₂ para cualquier punto [ λ , μ ] en la recta proyectiva; en otras palabras, donde λ y μ no son ambos cero, y multiplicar una forma cuadrática por una constante no cambia su curva cuadrática de ceros.

Este lápiz contiene tres cuadráticas reducibles, cada una correspondiente a un par de líneas, cada una de las cuales pasa por dos de los cuatro puntos, lo que se puede hacer  =  6 maneras diferentes. Denote estos Q ₁ = L ₁₂ + L ₃₄ , Q ₂ = L ₁₃ + L ₂₄ y Q ₃ = L ₁₄ + L ₂₃ . Dados dos de estos, su intersección tiene exactamente los cuatro puntos. ${\displaystyle \textstyle {\binom {4}{2}}}$

Las cuadráticas reducibles, a su vez, pueden determinarse expresando la forma cuadrática λF ₁ + μF ₂ como una matriz de 3×3  : las cuadráticas reducibles corresponden a que esta matriz sea singular, lo que equivale a que su determinante sea cero, y el determinante es un Polinomio homogéneo de grado tres en λ y μ y corresponde a la cúbica resolutiva.

Ver también

• Función lineal  : mapa lineal o función polinómica de grado uno
• Función cuadrática  – Función polinómica de grado dos
• Función cúbica  – Función polinómica de grado 3
• Función quíntica  – Función polinómica de grado 5

Referencias

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Otras lecturas

• Carpintero, W. (1966). "Sobre la solución de la cuarta real". Revista Matemáticas . 39 (1): 28–30. doi :10.2307/2688990. JSTOR  2688990.
• Yacoub, MD; Fraidenraich, G. (julio de 2012). "Una solución a la ecuación de cuarto grado". Gaceta Matemática . 96 : 271–275. doi :10.1017/s002555720000454x. S2CID  124512391.

enlaces externos

• Fórmula cuártica como cuatro ecuaciones simples en PlanetMath .
• El logro de Ferrari