Gráfica de la función polinómica x 4 + x 3 – x 2 – 7 x /4 – 1/2 (en verde) junto con la gráfica de su resolutivo cúbico R 4 ( y ) (en rojo). Las raíces de ambos polinomios también son visibles.
Los coeficientes de la cúbica resolutiva se pueden obtener a partir de los coeficientes de P ( x ) usando solo sumas, restas y multiplicaciones.
Conocer las raíces de la cúbica resolutiva de P ( x ) es útil para encontrar las raíces del propio P ( x ) . De ahí el nombre de “cúbica solvente”.
El polinomio P ( x ) tiene raíz múltiple si y sólo si su cúbica resolutiva tiene raíz múltiple.
Definiciones
Supongamos que los coeficientes de P ( x ) pertenecen a un campo k cuya característica es diferente de 2 . En otras palabras, estamos trabajando en un campo en el que 1 + 1 ≠ 0 . Siempre que se mencionan raíces de P ( x ) , pertenecen a alguna extensión K de k tal que P ( x ) se factoriza en factores lineales en K [ x ] . Si k es el campo Q de los números racionales, entonces K puede ser el campo C de los números complejos o el campo Q de los números algebraicos .
En algunos casos, el concepto de cúbica resolutiva se define sólo cuando P ( x ) es una cuarta en forma deprimida, es decir, cuando a 3 = 0 .
Tenga en cuenta que las definiciones cuarta y quinta que aparecen a continuación también tienen sentido y que la relación entre estas cúbicas resolutivas y P ( x ) sigue siendo válida si la característica de k es igual a 2 .
Primera definición
Supongamos que P ( x ) es una cuartica deprimida, es decir, que a 3 = 0 . Una posible definición de la cúbica resolutiva de P ( x ) es: [1]
El origen de esta definición radica en aplicar el método de Ferrari para encontrar las raíces de P ( x ) . Ser más preciso:
Añade una nueva incógnita, y , a x 2 + a 2/2 . Ahora tu tienes:
Si esta expresión es un cuadrado, sólo puede ser el cuadrado de
Pero la igualdad
es equivalente a
y esto es lo mismo que la afirmación de que R 1 ( y ) = 0.
Si y 0 es una raíz de R 1 ( y ) , entonces es consecuencia de los cálculos realizados anteriormente que las raíces de P ( x ) son las raíces del polinomio
junto con las raíces del polinomio
Por supuesto, esto no tiene sentido si y 0 = 0 , pero como el término constante de R 1 ( y ) es – a 1 2 , 0 es una raíz de R 1 ( y ) si y sólo si a 1 = 0 , y en este caso las raíces de P ( x ) se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática .
Segunda definición
Otra posible definición [1] (aún suponiendo que P ( x ) es una cuartica deprimida) es
El origen de esta definición es similar a la anterior. Esta vez comenzamos haciendo:
y un cálculo similar al anterior muestra que esta última expresión es un cuadrado si y sólo si
Un cálculo simple muestra que
Tercera definición
Otra posible definición [2] [3] (nuevamente, suponiendo que P ( x ) es una cuartica deprimida) es
El origen de esta definición radica en otro método de resolución de ecuaciones de cuarto grado, a saber, el método de Descartes . Si intentas encontrar las raíces de P ( x ) expresándolas como producto de dos polinomios cuadráticos mónicos x 2 + αx + β y x 2 – αx + γ , entonces
Si hay una solución de este sistema con α ≠ 0 (tenga en cuenta que si a 1 ≠ 0 , entonces esto es automáticamente cierto para cualquier solución), el sistema anterior es equivalente a
Es una consecuencia de las dos primeras ecuaciones que luego
y
Después de reemplazar, en la tercera ecuación, β y γ por estos valores se obtiene que
y esto es equivalente a la afirmación de que α 2 es raíz de R 3 ( y ) . Entonces, nuevamente, conocer las raíces de R 3 ( y ) ayuda a determinar las raíces de P ( x ) .
Tenga en cuenta que
Cuarta definición
Otra posible definición es [4]
De hecho, si las raíces de P ( x ) son α 1 , α 2 , α 3 y α 4 , entonces
un hecho se desprende de las fórmulas de Vieta . En otras palabras, R 4 ( y ) es el polinomio mónico cuyas raíces son α 1 α 2 + α 3 α 4 , α 1 α 3 + α 2 α 4 , y α 1 α 4 + α 2 α 3 .
Es fácil ver eso
Por lo tanto, P ( x ) tiene una raíz múltiple si y sólo si R 4 ( y ) tiene una raíz múltiple. Más precisamente, P ( x ) y R 4 ( y ) tienen el mismo discriminante .
Cabe señalar que si P ( x ) es un polinomio deprimido, entonces
Quinta definición
Otra definición más es [5] [6]
Si, como arriba, las raíces de P ( x ) son α 1 , α 2 , α 3 y α 4 , entonces
nuevamente como consecuencia de las fórmulas de Vieta . En otras palabras, R 5 ( y ) es el polinomio mónico cuyas raíces son ( α 1 + α 2 )( α 3 + α 4 ) , ( α 1 + α 3 )( α 2 + α 4 ) y ( α 1 + α 4 )( α 2 + α 3 ) .
Es fácil ver eso
Por tanto, como ocurre con R 4 ( y ) , P ( x ) tiene raíz múltiple si y sólo si R 5 ( y ) tiene raíz múltiple. Más precisamente, P ( x ) y R 5 ( y ) tienen el mismo discriminante. Esto también es consecuencia del hecho de que R 5 ( y + a 2 ) = -R 4 ( -y ) .
Tenga en cuenta que si P ( x ) es un polinomio deprimido, entonces
Aplicaciones
Resolver ecuaciones cuárticas
Se explicó anteriormente cómo se pueden usar R1(y) , R2(y) y R3(y) para encontrar las raíces de P ( x ) si se deprime este polinomio. En el caso general, simplemente hay que encontrar las raíces del polinomio deprimido P ( x − a 3/4 ) . Para cada raíz x 0 de este polinomio, x 0 − a 3 /4 es una raíz de P ( x ) .
Factorizar polinomios cuárticos
Si un polinomio cuártico P ( x ) es reducible en k [ x ] , entonces es el producto de dos polinomios cuadráticos o el producto de un polinomio lineal por un polinomio cúbico. Esta segunda posibilidad ocurre si y sólo si P ( x ) tiene una raíz en k . Para determinar si P ( x ) puede expresarse o no como producto de dos polinomios cuadráticos, supongamos, por simplicidad, que P ( x ) es un polinomio deprimido. Luego se vio arriba que si el resolutivo cúbico R 3 ( y ) tiene una raíz no nula de la forma α 2 , para algún α ∈ k , entonces tal descomposición existe.
Esto se puede utilizar para demostrar que, en R [ x ] , todo polinomio cuártico sin raíces reales se puede expresar como el producto de dos polinomios cuadráticos. Sea P ( x ) dicho polinomio. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que P ( x ) es mónico. También podemos asumir sin pérdida de generalidad que es un polinomio reducido, porque P ( x ) puede expresarse como producto de dos polinomios cuadráticos si y sólo si P ( x − a 3 /4) puede y este polinomio es un polinomio reducido. uno. Entonces R 3 ( y ) = y 3 + 2 a 2 y 2 + ( a 2 2 − 4 a 0 ) y − a 1 2 . Hay dos casos:
Si a 1 ≠ 0 entonces R 3 (0) = − a 1 2 < 0 . Dado que R 3 ( y ) > 0 si y es lo suficientemente grande, entonces, según el teorema del valor intermedio , R 3 ( y ) tiene una raíz y 0 con y 0 > 0 . Entonces, podemos tomar α = √ y 0 .
Si a 1 = 0 , entonces R 3 ( y ) = y 3 + 2 a 2 y 2 + ( a 2 2 − 4 a 0 ) y . Las raíces de este polinomio son 0 y las raíces del polinomio cuadrático y 2 + 2 a 2 y + a 2 2 − 4 a 0 . Si a 2 2 − 4 a 0 < 0 , entonces el producto de las dos raíces de este polinomio es menor que 0 y por lo tanto tiene una raíz mayor que 0 (que resulta ser − a 2 + 2 √ a 0 ) y puede tomar α como la raíz cuadrada de esa raíz. De lo contrario, a 2 2 − 4 a 0 ≥ 0 y luego,
De manera más general, si k es un campo cerrado real , entonces cada polinomio cuártico sin raíces en k puede expresarse como el producto de dos polinomios cuadráticos en k [ x ] . De hecho, esta afirmación se puede expresar en lógica de primer orden y cualquier afirmación que sea válida para R también es válida para cualquier campo cerrado real.
Se puede utilizar un enfoque similar para obtener un algoritmo [2] para determinar si un polinomio cuártico P ( x ) ∈ Q [ x ] es reducible o no y, si lo es, cómo expresarlo como producto de polinomios de menor grado. . Nuevamente supondremos que P ( x ) es mónico y deprimido. Entonces P ( x ) es reducible si y sólo si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:
El polinomio P ( x ) tiene una raíz racional (esto se puede determinar usando el teorema de la raíz racional ).
El resolutivo cúbico R 3 ( y ) tiene una raíz de la forma α 2 , para algún número racional no nulo α (nuevamente, esto se puede determinar usando el teorema de la raíz racional ).
El número a 2 2 − 4 a 0 es el cuadrado de un número racional y a 1 = 0 .
En efecto:
Si P ( x ) tiene una raíz racional r , entonces P ( x ) es el producto de x − r por un polinomio cúbico en Q [ x ] , que puede determinarse mediante división larga del polinomio o mediante la regla de Ruffini .
Si hay un número racional α ≠ 0 tal que α 2 es raíz de R 3 ( y ) , arriba se mostró cómo expresar P ( x ) como producto de dos polinomios cuadráticos en Q [ x ] .
Finalmente, si se cumple la tercera condición y si δ ∈ Q es tal que δ 2 = a 2 2 − 4 a 0 , entonces P ( x ) = ( x 2 + ( a 2 + δ )/2)( x 2 + ( a 2 − δ )/2) .
Grupos de Galois de polinomios cuárticos irreducibles
La cúbica resolutiva de un polinomio cuártico irreducible P ( x ) se puede utilizar para determinar su grupo de Galois G ; es decir, el grupo de Galois del campo de división de P ( x ) . Sea m el grado sobre k del campo de división de la cúbica resolutiva (puede ser R 4 ( y ) o R 5 ( y ) ; tienen el mismo campo de división). Entonces el grupo G es un subgrupo del grupo simétrico S 4 . Más precisamente: [4]
Si m = 1 (es decir, si el cubo resolutivo se factoriza en factores lineales en k ), entonces G es el grupo { e , (12)(34), (13)(24), (14)(23) }.
Si m = 2 (es decir, si la cúbica resolutiva tiene una y, hasta la multiplicidad , solo una raíz en k ), entonces, para determinar G , se puede determinar si P ( x ) sigue siendo irreducible o no después de unirla. al campo k las raíces de la cúbica resolutiva. Si no, entonces G es un grupo cíclico de orden 4; más precisamente, es uno de los tres subgrupos cíclicos de S 4 generados por cualquiera de sus seis 4 ciclos. Si todavía es irreducible, entonces G es uno de los tres subgrupos de S 4 de orden 8 , cada uno de los cuales es isomorfo al grupo diédrico de orden 8 .
^ ab Brookfield, G. (2007), "Factorización de polinomios cuárticos: un arte perdido" (PDF) , Revista de Matemáticas , 80 (1): 67–70, doi :10.1080/0025570X.2007.11953453, JSTOR 27642994, S2CID 53375377, Zbl 1227.97040, archivado desde el original (PDF) el 21 de febrero de 2015
^ Hartshorne, Robin (1997), "Problemas de construcción y extensiones de campo: ecuaciones cúbicas y cuárticas", Geometría: Euclides y más allá , Springer-Verlag , ISBN0-387-98650-2, Zbl 0954.51001
^ Rotman, Joseph (1998), "Grupos Galois de cuadráticas, cúbicas y cuárticas", Teoría de Galois (2ª ed.), Springer-Verlag , ISBN0-387-98541-7, Zbl 0924.12001