En matemáticas, el monoide plástico es el monoide de todas las palabras del alfabeto de enteros positivos módulo de equivalencia Knuth . Sus elementos pueden identificarse con cuadros semiestándar de Young . Fue descubierto por Donald Knuth (1970) (quien lo llamó álgebra de cuadro ), utilizando una operación dada por Craige Schensted (1961) en su estudio de la subsecuencia creciente más larga de una permutación.
Fue denominado " monoïde plaxique " por Lascoux y Schützenberger (1981), quienes permitieron cualquier alfabeto totalmente ordenado en la definición. La etimología de la palabra " plaxique " no está clara; puede referirse a la tectónica de placas ("tectonique des plaques" en francés), ya que las relaciones elementales que generan la equivalencia permiten la conmutación condicional de los símbolos generadores: a veces pueden deslizarse entre sí (en aparente analogía con las placas tectónicas), pero no libremente.
El monoide plástico sobre algún alfabeto totalmente ordenado (a menudo los números enteros positivos) es el monoide con la siguiente presentación :
Dos palabras se denominan equivalente de Knuth si representan el mismo elemento del monoide plástico, o en otras palabras, si una puede obtenerse de la otra mediante una secuencia de transformaciones elementales de Knuth.
La equivalencia de Knuth conserva varias propiedades.
Cada palabra es el equivalente en Knuth a la palabra de un cuadro de Young semiestándar único (esto significa que cada fila no es decreciente y cada columna es estrictamente creciente) sobre el mismo alfabeto ordenado, donde el cuadro se puede leer por filas o por columnas. Así, los elementos del monoide plástico se pueden identificar con los cuadros semiestándar de Young, que por tanto también forman un monoide.
Multiplicar la palabra de un cuadro de Young semiestándar a la izquierda con un generador equivale a la inserción de Schensted en el cuadro de Young. En el orden de las filas, la palabra del cuadro equivale a un producto de secuencias de generadores cada vez más largas y no decrecientes. El nuevo generador se puede insertar en su lugar apropiado añadiéndolo si es más grande o, en caso contrario, aplicando repetidamente las relaciones plásticas para mover el elemento fuera de secuencia a la siguiente fila. En el último caso, el elemento fuera de orden reemplaza la entrada más a la izquierda más grande que él en cada fila, y el elemento desplazado luego se inserta en la siguiente fila.
Dado que la inserción de Schensted preserva los cuadros de Young, esto proporciona una prueba inductiva de que los elementos del monoide plástico se pueden escribir en una forma estándar correspondiente a un cuadro de Young, y la construcción define un producto natural de cuadros semiestándar.
Dos Young Tableaux sesgados son equivalentes a Jeu de taquin si y sólo si sus lecturas de palabras son equivalentes a Knuth, es decir, corresponden a elementos equivalentes del grupo plástico. Esto da una definición alternativa del producto del grupo plástico directamente en términos de cuadros de Young. Se pueden multiplicar dos cuadros dibujándolos alrededor de un rectángulo vacío para formar un cuadro sesgado y usando diapositivas de Jeu de taquin para rectificarlo.
El anillo del cuadro es el anillo monoide del monoide plástico, por lo que tiene una base Z que consta de elementos del monoide plástico, con el mismo producto que en el monoide plástico.
Existe un homomorfismo del anillo plástico de un alfabeto al anillo de polinomios (con variables indexadas por el alfabeto) llevando cualquier cuadro al producto de las variables de sus entradas, correspondiente a la abelianización del semigrupo plástico.
La función generadora del monoide plástico en un alfabeto de tamaño n es
mostrando que hay un crecimiento polinomial de dimensión .
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