Automorfismos de los grupos simétricos y alternos.

En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas , los automorfismos y automorfismos externos de los grupos simétricos y los grupos alternos son ejemplos estándar de estos automorfismos y objetos de estudio por derecho propio, particularmente el automorfismo externo excepcional de S ₆ , el grupo simétrico. en 6 elementos.

Resumen

Caso genérico

• ${\displaystyle n\neq 2,6}$: , y por lo tanto . ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {S} _{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Out} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {C} _{1}}$

Formalmente, es completo y el mapa natural es un isomorfismo. ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}\to \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})}$

• ${\displaystyle n\neq 1,2,6}$: , y el automorfismo externo es la conjugación mediante una permutación impar . ${\displaystyle \operatorname {Out} (\mathrm {A} _{n})=\mathrm {S} _{n}/\mathrm {A} _{n}=\mathrm {C} _{2}}$
• ${\displaystyle n\neq 2,3,6}$: ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{n})=\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {S} _{n}}$

De hecho, los mapas naturales son isomorfismos. ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}\to \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})\to \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{n})}$

Casos excepcionales

• ${\displaystyle n=1,2}$: trivial:

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{1})=\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{1})=\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{1})=\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{1})=\mathrm {C} _{1}}$

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{2})=\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{2})=\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{2})=\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{2})=\mathrm {C} _{1}}$

• ${\displaystyle n=3}$: ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{3})=\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{3})=\mathrm {S} _{3}/\mathrm {A} _{3}=\mathrm {C} _{2}}$
• ${\displaystyle n=6}$: , y es un producto semidirecto . ${\displaystyle \operatorname {Out} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {C} _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}}$
• ${\displaystyle n=6}$: , y ${\displaystyle \operatorname {Out} (\mathrm {A} _{6})=\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{6})=\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}.}$

El excepcional automorfismo exterior de S 6

Entre los grupos simétricos, sólo S ₆ tiene un automorfismo externo no trivial, que se puede llamar excepcional (en analogía con las álgebras de Lie excepcionales ) o exótico . De hecho, Fuera(S ₆ ) = C ₂ . ^[2]

Esto fue descubierto por Otto Hölder en 1895. ^{[2] [3]}

La naturaleza específica del automorfismo externo es la siguiente. Las 360 permutaciones del subgrupo par (A ₆ ) se transforman entre sí:

• la única permutación de identidad se asigna a sí misma;
• un ciclo de 3 como (1 2 3) se asigna al producto de dos ciclos de 3 como (1 4 5) (2 6 3) y viceversa, lo que representa 40 permutaciones en cada sentido;
• un ciclo de 5 como (1 2 3 4 5) se asigna a otro ciclo de 5 como (1 3 6 5 2), lo que representa 144 permutaciones;
• el producto de dos ciclos de 2 como (1 2)(3 4) se asigna a otro producto de dos ciclos de 2 como (3 5)(4 6), lo que representa 45 permutaciones;
• el producto de un ciclo de 2 y un ciclo de 4, como (1 2 3 4)(5 6), se asigna a otra permutación similar, como (1 4 2 6)(3 5), lo que representa las 90 permutaciones restantes.

Y también se conserva la parte impar:

• un ciclo de 2 como (1 2) se asigna al producto de tres ciclos de 2 como (1 2)(3 4)(5 6) y viceversa, habiendo 15 permutaciones en cada sentido;
• el producto de un ciclo de 2 y un ciclo de 3 como (1 2 3)(4 5) se asigna a un ciclo de 6 como (1 2 5 3 4 6) y viceversa, lo que representa 120 permutaciones en cada sentido;
• un ciclo de 4 como (1 2 3 4) se asigna a otro ciclo de 4 como (1 6 2 4), lo que representa las 90 permutaciones restantes.

Por tanto, se tienen en cuenta las 720 permutaciones de 6 elementos. El automorfismo externo no preserva la estructura del ciclo en general, asignando algunos ciclos individuales al producto de dos o tres ciclos y viceversa.

Esto también produce otro automorfismo externo de A ₆ , y este es el único automorfismo externo excepcional de un grupo simple finito: ^[4] para las infinitas familias de grupos simples, existen fórmulas para el número de automorfismos externos, y el grupo simple de Se esperaría que el orden 360, considerado A ₆ , tuviera dos automorfismos externos, no cuatro. Sin embargo, cuando A ₆ se ve como PSL(2, 9), el grupo de automorfismo externo tiene el orden esperado. (Para grupos esporádicos , es decir, aquellos que no pertenecen a una familia infinita, la noción de automorfismo externo excepcional está mal definida, ya que no existe una fórmula general).

Construcción

Existen numerosas construcciones, enumeradas en (Janusz & Rotman 1982).

Tenga en cuenta que, como automorfismo externo, es una clase de automorfismos, bien determinados sólo hasta un automorfismo interno, por lo que no existe uno natural para escribir.

Un método es:

• Construir un mapa exótico (incrustación) S ₅  → S ₆ ; vea abajo
• S ₆ actúa por conjugación sobre los seis conjugados de este subgrupo, produciendo un mapa S ₆  → S _X , donde X es el conjunto de conjugados. Identificar X con los números 1, ..., 6 (que depende de la elección de la numeración de los conjugados, es decir, hasta un elemento de S ₆ (un automorfismo interno)) produce un automorfismo externo S ₆  → S ₆ .
• Este mapa es un automorfismo externo, ya que una transposición no se corresponde con una transposición, pero los automorfismos internos preservan la estructura del ciclo.

A lo largo de lo siguiente, se puede trabajar con la acción de multiplicación en clases laterales o la acción de conjugación en conjugados.

Para ver que S ₆ tiene un automorfismo externo, recuerde que los homomorfismos de un grupo G a un grupo simétrico S _n son esencialmente lo mismo que las acciones de G sobre un conjunto de n elementos, y el subgrupo que fija un punto es entonces un subgrupo de índice como máximo n en G . Por el contrario, si tenemos un subgrupo de índice n en G , la acción sobre las clases laterales da una acción transitiva de G sobre n puntos y, por tanto, un homomorfismo con S _n .

Construcción a partir de particiones de gráficos.

Antes de las construcciones matemáticamente más rigurosas, ayuda comprender una construcción simple.

Tome una gráfica completa con 6 vértices, K ₆ . Tiene 15 aristas, que se pueden dividir en combinaciones perfectas de 15 maneras diferentes, siendo cada combinación perfecta un conjunto de tres aristas, ninguna de las cuales comparte un vértice. Es posible encontrar un conjunto de 5 coincidencias perfectas a partir del conjunto de 15, de modo que no haya dos coincidencias que compartan una arista y que entre ellas incluyan las 5 × 3 = 15 aristas del gráfico; Esta factorización gráfica se puede realizar de 6 formas diferentes.

Considere una permutación de los 6 vértices y vea su efecto en las 6 factorizaciones diferentes. Obtenemos un mapa de 720 permutaciones de entrada a 720 permutaciones de salida. Ese mapa es precisamente el automorfismo exterior de S ₆ .

Al ser un automorfismo, el mapa debe preservar el orden de los elementos, pero a diferencia de los automorfismos internos , no conserva la estructura del ciclo, lo que indica que debe ser un automorfismo externo . Por ejemplo, un ciclo de 2 se asigna a un producto de tres ciclos de 2; Es fácil ver que un ciclo de 2 afecta las 6 factorizaciones de gráficos de alguna manera y, por lo tanto, no tiene puntos fijos cuando se lo ve como una permutación de factorizaciones. El hecho de que sea posible construir este automorfismo se basa en un gran número de coincidencias numéricas que se aplican sólo a n = 6 .

Mapa exótico S 5 → S 6

Hay un subgrupo (de hecho, 6 subgrupos conjugados) de S ₆ que es abstractamente isomorfo a S ₅ , pero que actúa transitivamente como subgrupos de S ₆ en un conjunto de 6 elementos. (La imagen del mapa obvio S _n  → S _{n +1} fija un elemento y, por lo tanto, no es transitiva).

Sylow 5 subgrupos

Janusz y Rotman lo construyen así:

• S ₅ actúa transitivamente por conjugación en el conjunto de sus 6 subgrupos 5 de Sylow , produciendo una incrustación S ₅  → S ₆ como un subgrupo transitivo de orden 120.

Esto se desprende de la inspección de 5 ciclos: cada 5 ciclos genera un grupo de orden 5 (por lo tanto, un subgrupo de Sylow), hay 5!/5 = 120/5 = 24 5 ciclos, lo que produce 6 subgrupos (ya que cada subgrupo también incluye la identidad), y S _n actúa transitivamente por conjugación sobre el conjunto de ciclos de una clase dada, por lo tanto transitivamente por conjugación sobre estos subgrupos.

Alternativamente, se podrían usar los teoremas de Sylow, que establecen en general que todos los subgrupos p de Sylow son conjugados.

PGL(2,5)

El grupo lineal proyectivo de dimensión dos sobre el campo finito de cinco elementos, PGL(2, 5), actúa sobre la línea proyectiva sobre el campo de cinco elementos, P ¹ ( F ₅ ), que tiene seis elementos. Además, esta acción es fiel y 3- transitiva , como siempre es el caso de la acción del grupo lineal proyectivo sobre la línea proyectiva. Esto produce un mapa PGL(2, 5) → S ₆ como un subgrupo transitivo. La identificación de PGL(2, 5) con S ₅ y el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, 5) con A ₅ produce los mapas exóticos deseados S ₅  → S ₆ y A ₅  → A ₆ . ^[5]

Siguiendo la misma filosofía, se puede realizar el automorfismo externo como las siguientes dos acciones no equivalentes de S ₆ en un conjunto con seis elementos: ^[6]

• la acción habitual como grupo de permutación;
• las seis estructuras no equivalentes de un conjunto abstracto de 6 elementos como la línea proyectiva P ¹ ( F ₅ ): la línea tiene 6 puntos y el grupo lineal proyectivo actúa 3-transitivamente, por lo que fijando 3 de los puntos, ¡hay 3! = 6 formas diferentes de organizar los 3 puntos restantes, lo que produce la acción alternativa deseada.

grupo frobenius

Otra forma: para construir un automorfismo externo de S ₆ , necesitamos construir un subgrupo "inusual" de índice 6 en S ₆ , en otras palabras, uno que no sea uno de los seis subgrupos obvios de S ₅ que fijan un punto (que simplemente corresponden a automorfismos internos de S ₆ ).

El grupo de Frobenius de transformaciones afines de F 5 (mapas donde a  ≠ 0) tiene orden 20 = (5 − 1) · 5 y actúa sobre el campo con 5 elementos, por lo tanto es un subgrupo de S ₅ . (De hecho, es el normalizador de un grupo Sylow 5 mencionado anteriormente, considerado como el grupo de traducciones de orden 5 de  F ₅ ). ${\displaystyle x\mapsto ax+b}$

S ₅ actúa transitivamente sobre el espacio lateral, que es un conjunto de 120/20 = 6 elementos (o por conjugación, que produce la acción anterior).

Otras construcciones

Ernst Witt encontró una copia de Aut(S ₆ ) en el grupo M ₁₂ de Mathieu (un subgrupo T isomorfo a S ₆ y un elemento σ que normaliza T y actúa por automorfismo externo). De manera similar a S ₆ que actúa sobre un conjunto de 6 elementos de 2 maneras diferentes (tiene un automorfismo externo), M ₁₂ actúa sobre un conjunto de 12 elementos de 2 maneras diferentes (tiene un automorfismo externo), aunque dado que M ₁₂ es en sí mismo excepcional, no se considera que este automorfismo externo sea excepcional en sí mismo.

El grupo de automorfismo completo de A ₆ aparece naturalmente como un subgrupo máximo del grupo de Mathieu M ₁₂ de 2 maneras, ya sea como un subgrupo que fija una división de los 12 puntos en un par de conjuntos de 6 elementos, o como un subgrupo que fija un subconjunto de 2 puntos.

Otra forma de ver que S ₆ tiene un automorfismo externo no trivial es utilizar el hecho de que A ₆ es isomorfo a PSL ₂ (9), cuyo grupo de automorfismo es el grupo semilineal proyectivo PΓL ₂ (9), en el que PSL ₂ (9) es de índice 4, lo que produce un grupo de automorfismo externo de orden 4. La forma más visual de ver este automorfismo es dar una interpretación mediante geometría algebraica sobre campos finitos, de la siguiente manera. Considere la acción de S ₆ en un espacio 6 afín sobre el campo k con 3 elementos. Esta acción preserva varias cosas: el hiperplano H en el que las coordenadas suman 0, la línea L en H donde coinciden todas las coordenadas y la forma cuadrática q dada por la suma de los cuadrados de las 6 coordenadas. La restricción de q a H tiene una línea de defecto L , por lo que hay una forma cuadrática inducida Q en el H / L de 4 dimensiones que se verifica que no sea degenerada ni dividida. El esquema cero de Q en H / L define una superficie cuádrica suave X en el espacio 3 proyectivo asociado sobre k . Sobre una clausura algebraica de k , X es un producto de dos líneas proyectivas, por lo que, según un argumento de descendencia, X es la restricción de Weil a k de la línea proyectiva sobre un álgebra étale cuadrática K. Dado que Q no se divide entre k , un argumento auxiliar con grupos ortogonales especiales sobre k obliga a K a ser un campo (en lugar de un producto de dos copias de k ). La acción natural de S ₆ sobre todo lo que está a la vista define un mapa desde S ₆ hasta el k -grupo de automorfismo de X , que es el producto semidirecto G de PGL ₂ ( K ) = PGL ₂ (9) contra la involución de Galois. Este mapa lleva el grupo simple A ₆ de manera no trivial al subgrupo PSL ₂ (9) del índice 4 en el producto semidirecto G , por lo que S ₆ se identifica como un subgrupo de índice 2 de G (es decir, el subgrupo de G generado por PSL ₂(9) y la involución de Galois). La conjugación por cualquier elemento de G fuera de S ₆ define el automorfismo externo no trivial de S ₆ .

Estructura del automorfismo externo.

En ciclos, intercambia permutaciones de tipo (12) con (12)(34)(56) (clase 2 ¹ con clase 2 ³ ), y de tipo (123) con (145)(263) (clase 3 ¹ con clase 3 ² ). El automorfismo externo también intercambia permutaciones de tipo (12)(345) con (123456) (clase 2 ¹ 3 ¹ con clase 6 ¹ ). Para cada uno de los otros tipos de ciclo en S ₆ , el automorfismo externo fija la clase de permutaciones del tipo de ciclo.

En A ₆ , intercambia los 3 ciclos (como (123)) con elementos de clase 3 ² (como (123)(456)).

No hay otros automorfismos externos

Para ver que ninguno de los otros grupos simétricos tiene automorfismos externos, lo más fácil es proceder en dos pasos:

1. Primero, demuestre que cualquier automorfismo que preserve la clase de conjugación de las transposiciones es un automorfismo interno. (Esto también muestra que el automorfismo externo de S ₆ es único; ver más abajo). Tenga en cuenta que un automorfismo debe enviar cada clase de conjugación (caracterizada por la estructura cíclica que comparten sus elementos) a una clase de conjugación (posiblemente diferente).
2. En segundo lugar, demuestre que cada automorfismo (distinto del anterior para S ₆ ) estabiliza la clase de transposiciones.

Esto último se puede mostrar de dos maneras:

• Para cada grupo simétrico distinto de S ₆ , no existe otra clase de conjugación que consta de elementos de orden 2 que tenga el mismo número de elementos que la clase de transposiciones.
• O de la siguiente manera:

Cada permutación de orden dos (llamada involución ) es un producto de k > 0 transposiciones disjuntas, de modo que tiene una estructura cíclica 2 ^k 1 ^{n −2 k} . ¿Qué tiene de especial la clase de transposiciones ( k = 1)?

Si se forma el producto de dos transposiciones distintas τ ₁ y τ ₂ , entonces siempre se obtiene un ciclo 3 o una permutación de tipo 2 ² 1 ^{n −4} , por lo que el orden del elemento producido es 2 o 3. por otro lado, si se forma el producto de dos involuciones distintas σ ₁ , σ ₂ de tipo k > 1 , siempre que n ≥ 7 , siempre es posible producir un elemento de orden 6, 7 o 4, como sigue. Podemos arreglar que el producto contenga

• dos ciclos de 2 y uno de 3 ciclos (para k = 2 y n ≥ 7)
• un ciclo de 7 (para k = 3 y n ≥ 7)
• dos ciclos de 4 (para k = 4 y n ≥ 8)

Para k ≥ 5, agreguemos a las permutaciones σ ₁ , σ ₂ del último ejemplo 2 ciclos redundantes que se cancelan entre sí, y aún obtenemos dos 4 ciclos.

Ahora llegamos a una contradicción, porque si la clase de transposiciones se envía mediante el automorfismo f a una clase de involuciones que tiene k > 1, entonces existen dos transposiciones τ ₁ , τ ₂ tales que f ( τ ₁ ) f ( τ ₂ ) tiene orden 6, 7 o 4, pero sabemos que τ ₁ τ ₂ tiene orden 2 o 3.

No hay otros automorfismos externos de S 6

S ₆ tiene exactamente una (clase) de automorfismos externos: Out(S ₆ ) = C ₂ .

Para ver esto, observe que sólo existen dos clases de conjugación de S ₆ de tamaño 15: las transposiciones y las de clase 2 ³ . Cada elemento de Aut(S ₆ ) conserva cada una de estas clases de conjugación o las intercambia. Cualquier representante del automorfismo externo construido anteriormente intercambia las clases de conjugación, mientras que un subgrupo de índice 2 estabiliza las transposiciones. Pero un automorfismo que estabiliza las transposiciones es interno, por lo que los automorfismos internos forman un subgrupo de índice 2 de Aut(S ₆ ), por lo que Out(S ₆ ) = C ₂ .

Más concisamente: un automorfismo que estabiliza las transposiciones es interno, y solo hay dos clases de conjugación de orden 15 (transposiciones y transposiciones triples), por lo tanto, el grupo de automorfismo externo es como máximo de orden 2.

pequeño norte

Simétrico

Para n = 2, S ₂  = C ₂  =  Z /2 y el grupo de automorfismo es trivial (obviamente, pero más formalmente porque Aut( Z /2) = GL(1,  Z /2) =  Z /2 ^*  = C ₁ ). Por tanto, el grupo de automorfismo interno también es trivial (también porque S ₂ es abeliano).

Alterno

Para n = 1 y 2, A ₁  = A ₂  = C ₁ es trivial, por lo que el grupo de automorfismos también es trivial. Para n  = 3, A ₃  = C ₃  =  Z /3 es abeliano (y cíclico): el grupo de automorfismo es GL(1,  Z /3 ^* ) = C ₂ , y el grupo de automorfismo interno es trivial (porque es abeliano ).

Notas

1. Janusz y Rotman 1982.
2. Lam, TY y Leep, DB (1993). "Estructura combinatoria sobre el grupo de automorfismos de S ₆ ". Expositiones Mathematicae , 11(4), 289–308.
3. Otto Hölder (1895), "Bildung zusammengesetzter Gruppen", Mathematische Annalen , 46, 321–422.
4. ATLAS pág. xvi ^{[ cita completa necesaria ]}
5. Carnahan, Scott (27 de octubre de 2007), "Pequeños conjuntos finitos", Seminario secreto de blogs , notas sobre una charla de Jean-Pierre Serre .{{citation}}: Mantenimiento CS1: posdata ( enlace )
6. Snyder, Noah (28 de octubre de 2007), "El automorfismo exterior de S6", Seminario secreto de blogs

Referencias

• https://web.archive.org/web/20071227060045/http://polyomino.f2s.com/david/haskell/outers6.html
• Algunas reflexiones sobre el número 6, de John Baez: relaciona el automorfismo exterior con el icosaedro regular
• "12 puntos en PG(3, 5) con 95040 autotransformaciones" en "La belleza de la geometría", de Coxeter: analiza el automorfismo externo en las dos primeras páginas
• Janusz, Gerald; Rotman, Joseph (junio-julio de 1982). "Automorfismos exteriores de S ₆ ". El Mensual Matemático Estadounidense . 89 (6): 407–410. doi :10.2307/2321657. JSTOR  2321657.
• Fournelle, Thomas A. (1 de enero de 1993). "Simetrías del cubo y automorfismos exteriores de S ₆ ". El Mensual Matemático Estadounidense . 100 (4): 377–380. doi :10.2307/2324961. JSTOR  2324961.
• Lorimer, PJ (1 de enero de 1966). "Los automorfismos externos del S ₆ ". El Mensual Matemático Estadounidense . 73 (6): 642–643. doi :10.2307/2314806. JSTOR  2314806.
• Miller, Donald W. (1 de enero de 1958). "Sobre un teorema de Hölder". El Mensual Matemático Estadounidense . 65 (4): 252–254. doi :10.2307/2310241. JSTOR  2310241.