toro algebraico

En matemáticas , un toro algebraico , donde un toro unidimensional normalmente se denota por , o , es un tipo de grupo algebraico afín conmutativo que se encuentra comúnmente en geometría algebraica proyectiva y geometría tórica . Los toros algebraicos de dimensiones superiores se pueden modelar como un producto de grupos algebraicos . Estos grupos fueron nombrados por analogía con la teoría de tori en la teoría de grupos de Lie (ver subgrupo de Cartan ). Por ejemplo, en los números complejos, el toro algebraico es isomorfo al esquema de grupo , que es el análogo teórico del esquema del grupo de Lie . De hecho, cualquier -acción en un espacio vectorial complejo puede retroceder a una -acción desde la inclusión como variedades reales. ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [t,t^{-1}])}$ ${\displaystyle U(1)\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle U(1)\subset \mathbb {C} ^{*}}$

Los tori son de fundamental importancia en la teoría de grupos algebraicos y grupos de Lie y en el estudio de los objetos geométricos asociados a ellos como espacios simétricos y edificios .

Tori algebraicos sobre campos

En la mayoría de los lugares suponemos que el campo base es perfecto (por ejemplo, finito o cero característico). Se requiere que esta hipótesis tenga un esquema de grupo suave ^{[1] pg 64} , ya que para que un grupo algebraico sea suave sobre la característica , los mapas ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle (\cdot )^{p^{r}}:{\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)}$$

${\displaystyle r}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r}$

En general, hay que utilizar cierres separables en lugar de cierres algebraicos.

Grupo multiplicativo de un campo.

Si es un campo, entonces el grupo multiplicativo over es el grupo algebraico tal que para cualquier extensión de campo los puntos son isomorfos al grupo . Para definirlo correctamente como un grupo algebraico, se puede tomar la variedad afín definida por la ecuación en el plano afín con coordenadas . La multiplicación se da entonces restringiendo la aplicación racional regular definida por y la inversa es la restricción de la aplicación racional regular . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{\mathbf {m} }}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{\times }}$ ${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle F^{2}\times F^{2}\to F^{2}}$ ${\displaystyle ((x,y),(x',y'))\mapsto (xx',yy')}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto (y,x)}$

Definición

Sea un campo con cierre algebraico . Entonces un -toro es un grupo algebraico definido sobre el cual es isomorfo a un producto finito de copias del grupo multiplicativo. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\overline {F}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\overline {F}}}$

En otras palabras, si es un grupo, es un toro si y solo si para algunos . La terminología básica asociada a tori es la siguiente. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {T} ({\overline {F}})\cong ({\overline {F}}^{\times })^{r}}$ ${\displaystyle r\geq 1}$

• Al número entero se le llama rango o rango absoluto del toroide . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathrm {T} }$
• Se dice que el toroide está dividido en una extensión de campo si . Hay una extensión finita mínima única de sobre la cual se divide, que se llama campo de división de . ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \mathbf {T} (E)\cong (E^{\times })^{r}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$
• El rango de es el rango máximo de un subtoro dividido de . Un toro se divide si y sólo si su rango es igual a su rango absoluto. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle F}$
• Se dice que un toro es anisotrópico si su rango es cero. ${\displaystyle F}$

Isogenias

Una isogenia entre grupos algebraicos es un morfismo sobreyectivo con núcleo finito; Se dice que dos tori son isógenos si existe una isogenia del primero al segundo. Las isogenias entre tori se comportan particularmente bien: para cualquier isogenia existe una isogenia "dual" tal que es un mapa de poder. En particular, ser isógeno es una relación de equivalencia entre tori. ${\displaystyle \phi :\mathbf {T} \to \mathbf {T} '}$ ${\displaystyle \psi :\mathbf {T} '\to \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \psi \circ \phi }$

Ejemplos

Sobre un campo algebraicamente cerrado

Sobre cualquier campo algebraicamente cerrado existe hasta el isomorfismo un toro único de cualquier rango determinado. Para un toro algebraico de rango superior, esto viene dado por el esquema de grupo ^{[1] página 230} . ${\displaystyle k={\overline {k}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbf {G} _{m}={\text{Spec}}_{k}(k[t_{1},t_{1}^{-1},\ldots ,t_{n},t_{n}^{-1}])}$

Sobre los números reales

Sobre el campo de los números reales hay exactamente (hasta el isomorfismo) dos toros de rango 1: ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• el toro dividido ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$
• la forma compacta, que puede realizarse como grupo unitario o como grupo ortogonal especial . Es un toro anisotrópico. Como grupo de Lie, también es isomorfo al toro 1 , lo que explica la imagen de grupos algebraicos diagonalizables como toros. ${\displaystyle \mathbf {U} (1)}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)}$ ${\displaystyle \mathbf {T} ^{1}}$

Cualquier toro real es isógeno a una suma finita de esos dos; por ejemplo, el toro real está doblemente cubierto por (pero no isomorfo a) . Esto da un ejemplo de toros isógenos y no isomorfos. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {T} ^{1}}$

Sobre un campo finito

Sobre el campo finito hay dos toros de rango 1: el dividido, de cardinalidad , y el anisotrópico de cardinalidad . Este último se puede realizar como el grupo de matrices. ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle q-1}$ ${\displaystyle q+1}$

$${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}t&du\\u&t\end{pmatrix}}:t,u\in \mathbb {F} _{q},t^{2}-du^{2}=1\right\}\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {F} _{q}).}$$

De manera más general, si es una extensión de grado de campo finito, entonces la restricción de Weil desde a del grupo multiplicativo de es un -toro de rango y -rango 1 (tenga en cuenta que la restricción de escalares sobre una extensión de campo inseparable producirá un grupo algebraico conmutativo que no es un toroide). El núcleo de su norma de campo es también un toro, que es anisotrópico y de rango . Cualquier -toro de rango uno está dividido o es isomorfo al núcleo de la norma de una extensión cuadrática. ^[2] Los dos ejemplos anteriores son casos especiales de esto: el toro real compacto es el núcleo de la norma de campo de y el toro anisotrópico es el núcleo de la norma de campo de . ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N_{E/F}}$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{2}}/\mathbb {F} _{q}}$

Pesos y copesos

Sobre un campo separablemente cerrado, un toro T admite dos invariantes primarias. La red de pesos es el grupo de homomorfismos algebraicos T  →  G _m , y la red de copesos es el grupo de homomorfismos algebraicos  G _m  →  T . Ambos son grupos abelianos libres cuyo rango es el del toro, y tienen un emparejamiento canónico no degenerado dado por , donde el grado es el número n tal que la composición es igual al n- ésimo mapa de potencias en el grupo multiplicativo. El funtor dado al tomar pesos es una antiequivalencia de categorías entre tori y grupos abelianos libres, y el funtor coweight es una equivalencia. En particular, los mapas de toros se caracterizan por transformaciones lineales en pesos o copesos, y el grupo de automorfismo de un toro es un grupo lineal general  sobre Z. El cuasi-inverso del funtor de pesos viene dado por un functor de dualización de grupos abelianos libres a tori, definido por su funtor de puntos como: ${\displaystyle X^{\bullet }(T)}$ ${\displaystyle X_{\bullet }(T)}$ ${\displaystyle X^{\bullet }(T)\times X_{\bullet }(T)\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (f,g)\mapsto \deg(f\circ g)}$

${\displaystyle D(M)_{S}(X):=\mathrm {Hom} (M,\mathbb {G} _{m,S}(X)).}$

Esta equivalencia puede generalizarse para pasar entre grupos de tipo multiplicativo (una clase distinguida de grupos formales ) y grupos abelianos arbitrarios, y tal generalización puede ser conveniente si uno quiere trabajar en una categoría de buen comportamiento, ya que la categoría de tori no No tiene granos ni colimits filtrados.

Cuando un campo K no está cerrado de manera separable, las redes de peso y copeso de un toro sobre K se definen como las redes respectivas sobre el cierre separable. Esto induce acciones continuas canónicas del grupo absoluto de Galois de K sobre las redes. Los pesos y copesos que se fijan mediante esta acción son precisamente los mapas que se definen sobre  K . El functor de tomar pesos es una antiequivalencia entre la categoría de tori sobre K con homomorfismos algebraicos y la categoría de grupos abelianos libres de torsión finitamente generados con una acción del grupo absoluto de Galois de K.

Dada una extensión de campo separable finita L / K y un toro T sobre L , tenemos un isomorfismo del módulo de Galois

${\displaystyle X^{\bullet }(\mathrm {Res} _{L/K}T)\cong \mathrm {Ind} _{G_{L}}^{G_{K}}X^{\bullet }(T).}$

Si T es el grupo multiplicativo, entonces esto le da a la restricción de escalares una estructura de módulo de permutación. Los toros cuyas redes de peso son módulos de permutación para el grupo de Galois se denominan cuasi-divididos, y todos los toros cuasi-divididos son productos finitos de restricciones de escalares.

Tori en grupos semisimples

Representaciones lineales de tori.

Como se ve en los ejemplos anteriores, los tori se pueden representar como grupos lineales. Una definición alternativa de tori es:

Un grupo algebraico lineal es un toro si y sólo si es diagonalizable sobre una clausura algebraica.

El toroide se divide sobre un campo si y sólo si es diagonalizable sobre este campo.

Dividir rango de un grupo semisimple

Si es un grupo algebraico semisimple sobre un cuerpo entonces: ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle F}$

• su rango (o rango absoluto ) es el rango de un subgrupo de toros máximos en (tenga en cuenta que todos los toros máximos están conjugados para que el rango esté bien definido); ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle F}$
• su rango (a veces llamado rango dividido ) es el rango máximo de un subgrupo de toros en el que se divide . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$

Obviamente el rango es mayor o igual que el rango; el grupo se llama dividido si y solo si se cumple la igualdad (es decir, hay un toro máximo en el que se divide ). El grupo se llama anisotrópico si no contiene toros divididos (es decir, su rango es cero). ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Clasificación de grupos semisimples.

En la teoría clásica de las álgebras de Lie semisimples sobre el campo complejo, las subálgebras de Cartan juegan un papel fundamental en la clasificación mediante sistemas de raíces y diagramas de Dynkin . Esta clasificación es equivalente a la de grupos algebraicos conectados sobre el campo complejo, y las subálgebras de Cartan corresponden a toros máximos en estos. De hecho, la clasificación se traslada al caso de un campo base arbitrario bajo el supuesto de que existe un toro máximo dividido (que se satisface automáticamente en un campo algebraicamente cerrado). Sin el supuesto de división, las cosas se vuelven mucho más complicadas y es necesario desarrollar una teoría más detallada, que todavía se basa en parte en el estudio de las acciones adjuntas de los tori.

Si es un toro máximo en un grupo algebraico semisimple, entonces sobre el cierre algebraico da lugar a un sistema de raíces en el espacio vectorial . Por otro lado, si es un toro dividido máximo, su acción sobre el álgebra de Lie da lugar a otro sistema de raíces . El mapa de restricción induce un mapa y el índice de tetas es una manera de codificar las propiedades de este mapa y de la acción del grupo Galois de on . El índice de tetas es una versión "relativa" del diagrama de Dynkin "absoluto" asociado a ; obviamente, sólo un número finito de índices de Tetas pueden corresponder a un diagrama de Dynkin dado. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle V=X^{*}(\mathbf {T} )\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {}_{F}\mathbf {T} \subset \mathbf {T} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle {}_{F}\Phi }$ ${\displaystyle X^{*}(\mathbf {T} )\to X^{*}(_{F}\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle \Phi \to {}_{F}\Phi \cup \{0\}}$ ${\displaystyle {\overline {F}}/F}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

Otro invariante asociado al toro dividido es el núcleo anisotrópico : se trata del grupo algebraico semisimple obtenido como subgrupo derivado del centralizador de in (este último es sólo un grupo reductivo). Como su nombre lo indica, es un grupo anisotrópico y su tipo absoluto está determinado únicamente por . ${\displaystyle {}_{F}\mathbf {T} }$ ${\displaystyle {}_{F}\mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle {}_{F}\Phi }$

El primer paso hacia una clasificación es entonces el siguiente teorema ^[3]

Dos grupos algebraicos semisimples son isomorfos si y sólo si tienen los mismos índices de Tit y núcleos anisotrópicos isomórficos. ${\displaystyle F}$

Esto reduce el problema de clasificación a grupos anisotrópicos y a determinar qué índices de Tit pueden ocurrir para un diagrama de Dynkin determinado. Este último problema ha sido resuelto en Tits (1966). El primero está relacionado con los grupos de cohomología de Galois . Más precisamente, a cada índice de Tetas se le asocia un grupo único cuasi dividido ; entonces cada grupo con el mismo índice es una forma interna de este grupo cuasi dividido, y se clasifican mediante la cohomología de Galois con coeficientes en el grupo adjunto. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

Tori y la geometría

Subespacios planos y rango de espacios simétricos.

Si es un grupo de Lie semisimple, entonces su rango real es el rango como se define anteriormente (para cualquier grupo algebraico cuyo grupo de puntos reales sea isomorfo a ), en otras palabras, el máximo tal que existe una incrustación . Por ejemplo, el rango real de es igual a y el rango real de es igual a . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\times })^{r}\to G}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$ ${\displaystyle \min(p,q)}$

Si el espacio simétrico está asociado a y es un toroide máximo partido entonces existe una única órbita de en la que hay un subespacio plano totalmente geodésico . De hecho, es un subespacio plano máximo y todos los máximos se obtienen de esta manera como órbitas de toros divididos. Por tanto, existe una definición geométrica del rango real, como la dimensión máxima de un subespacio plano en . ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T\subset G}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Rango Q de celosías

Si el grupo de Lie se obtiene como los puntos reales de un grupo algebraico sobre el campo racional, entonces el rango de tiene también un significado geométrico. Para llegar a él hay que introducir un grupo aritmético asociado a , que aproximadamente es el grupo de puntos enteros de , y el espacio cociente , que es un orbifold de Riemann y, por tanto, un espacio métrico. Entonces, cualquier cono asintótico de es homeomorfo a un complejo simplicial finito con símplices de dimensión superior iguales al rango de . En particular, es compacto si y sólo si es anisotrópico. ^[5] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle M=\Gamma \backslash X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

Tenga en cuenta que esto permite definir el rango de cualquier red en un grupo de Lie semisimple, como la dimensión de su cono asintótico. ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

Edificios

Es un grupo semisimple sobre los toros divididos máximos que corresponden a los apartamentos del edificio Bruhat-Tits asociados a . En particular, la dimensión de es igual al rango de . ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$

Tori algebraicos sobre un esquema base arbitrario

Definición

Dado un esquema base S , un toro algebraico sobre S se define como un esquema de grupo sobre S que es fpqc localmente isomorfo a un producto finito de copias del esquema de grupo multiplicativo G _m / S sobre S. En otras palabras, existe un mapa fielmente plano X  →  S tal que cualquier punto en X tiene una vecindad abierta cuasi compacta U cuya imagen es un subesquema afín abierto de S , de modo que el cambio de base a U produce un producto finito de copias de GL _{1, U} = GRAMO _metro / U . ^{[ se necesita aclaración ]} Un caso particularmente importante es cuando S es el espectro de un campo K , lo que hace que un toro sobre S sea un grupo algebraico cuya extensión a alguna extensión finita separable L es un producto finito de copias de G _m / L . En general, la multiplicidad de este producto (es decir, la dimensión del esquema) se llama rango del toro y es una función localmente constante en S.

La mayoría de las nociones definidas para tori sobre campos se trasladan a este entorno más general.

Ejemplos

Un ejemplo común de toro algebraico es considerar el cono afín de un esquema proyectivo . Luego, con el origen eliminado, el mapa de proyección inducida ${\displaystyle {\text{Aff}}(X)\subset \mathbb {A} ^{n+1}}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$

$${\displaystyle \pi :({\text{Aff}}(X)-\{0\})\to X}$$

${\displaystyle X}$

Pesos

Para un esquema base general S , los pesos y copesos se definen como gavillas fpqc de grupos abelianos libres en S. Estos proporcionan representaciones de grupoides fundamentales de la base con respecto a la topología fpqc. Si el toro es trivializable localmente con respecto a una topología más débil como la topología etale, entonces los haces de grupos descienden a las mismas topologías y estas representaciones se factorizan a través de los respectivos cocientes de grupoides. En particular, una gavilla de etale da lugar a un toro cuasi-isotrivial, y si S es localmente noetheriano y normal (más generalmente, geométricamente unibrancado ), el toro es isotrivial. Como recíproco parcial, un teorema de Grothendieck afirma que cualquier toro de tipo finito es cuasi-isotrivial, es decir, está dividido por una sobreyección etale.

Dado un toro T sobre S de rango n , una forma torcida es un toro sobre S para el cual existe una cubierta fpqc de S para el cual sus extensiones de base son isomorfas, es decir, es un toro del mismo rango. Las clases de isomorfismo de formas retorcidas de un toro dividido están parametrizadas mediante cohomología plana nobeliana , donde el grupo de coeficientes forma una gavilla constante. En particular, las formas retorcidas de un toro dividido T sobre un campo K están parametrizadas por elementos del conjunto puntiagudo de cohomología de Galois con acción trivial de Galois sobre los coeficientes. En el caso unidimensional, los coeficientes forman un grupo de orden dos, y las clases de isomorfismo de formas retorcidas de G m _están en biyección natural con extensiones cuadráticas separables de  K. ${\displaystyle H^{1}(S,GL_{n}(\mathbb {Z} ))}$ ${\displaystyle H^{1}(G_{K},GL_{n}(\mathbb {Z} ))}$

Dado que tomar una red de pesos es una equivalencia de categorías, las secuencias cortas y exactas de tori corresponden a secuencias cortas y exactas de las correspondientes redes de pesos. En particular, las extensiones de tori se clasifican por poleas Ext ¹ . Estos son naturalmente isomorfos a los grupos de cohomología plana . Sobre un campo, las extensiones están parametrizadas por elementos del correspondiente grupo de cohomología de Galois. ${\displaystyle H^{1}(S,\mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(X^{\bullet }(T_{1}),X^{\bullet }(T_{2})))}$

Invariantes aritméticos

En su trabajo sobre los números de Tamagawa , T. Ono introdujo un tipo de invariantes functoriales de tori sobre extensiones finitas separables de un campo elegido k . Tal invariante es una colección de funciones positivas de valor real f _K en clases de isomorfismo de tori sobre K , ya que K se ejecuta sobre extensiones finitas separables de k , satisfaciendo tres propiedades:

1. Multiplicatividad: Dados dos toros T ₁ y T ₂ sobre K , f _K ( T ₁ × T ₂ ) = f _K ( T ₁ ) f _K ( T ₂ )
2. Restricción: Para una extensión finita separable L / K , f _L evaluado en un toro L es igual a f _K evaluado en su restricción de escalares a K .
3. Trivialidad proyectiva: si T es un toro sobre K cuya red de peso es un módulo proyectivo de Galois, entonces f _K ( T ) = 1.

T. Ono demostró que el número Tamagawa de un toro sobre un campo numérico es uno de esos invariantes. Además, demostró que es un cociente de dos invariantes cohomológicas, a saber, el orden del grupo (a veces llamado erróneamente grupo Picard de T , aunque no clasifica a G _m torsors sobre T ), y el orden de Tate– Grupo Shafarevich . ${\displaystyle H^{1}(G_{k},X^{\bullet }(T))\cong Ext^{1}(T,\mathbb {G} _{m})}$

La noción de invariante dada anteriormente se generaliza naturalmente a tori sobre esquemas básicos arbitrarios, con funciones que toman valores en anillos más generales. Si bien el orden del grupo de extensión es un invariante general, los otros dos invariantes anteriores no parecen tener análogos interesantes fuera del ámbito de los campos fraccionarios de dominios unidimensionales y sus terminaciones.

Ver también

• Portal de matemáticas

• Geometría tórica
• Toro
• Criptografía basada en toro
• álgebra de hopf

Notas

1. Milne. "Grupos algebraicos: la teoría de los esquemas de grupos de tipo finito" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 7 de marzo de 2016.
2. Voskresenskii, VS (1998). Grupos algebraicos y sus invariantes biracionales . Traducciones de monografías matemáticas. Matemáticas americanas. Soc.
3. Tetas 1966, Teorema 2.7.1.
4. Witte-Morris 2015, pag. 22.
5. Witte-Morris 2015, pag. 25.

Referencias

• A. Grothendieck, SGA 3 Exp. VIII-X
• T. Ono, Sobre los números de Tamagawa
• T. Ono, Sobre el número Tamagawa de tori algebraicos Annals of Mathematics 78 (1) 1963.
• Tetas, Jacques (1966). "Clasificación de grupos algebraicos semisimples". En Borel, Armand; Mostow, George D. (eds.). Grupos algebraicos y grupos discontinuos . Actas de simposios en matemáticas puras. vol. 9. Matemáticas americanas. soc. págs. 33–62.
• Witte-Morris, Dave (2015). Introducción a los grupos aritméticos. Prensa deductiva. pag. 492.ISBN​ 978-0-9865716-0-2.