Rigidez local

Clase de teoremas algebraicos

Los teoremas de rigidez local en la teoría de subgrupos discretos de grupos de Lie son resultados que muestran que las pequeñas deformaciones de ciertos subgrupos son siempre triviales. Es diferente de la rigidez de Mostow y más débil (pero se mantiene con más frecuencia) que la superrigidez .

Historia

El primer teorema de este tipo fue demostrado por Atle Selberg para subgrupos discretos co-compactos de grupos unimodulares . ^{[1] Poco después,} Eugenio Calabi demostró una afirmación similar en el marco de grupos fundamentales de variedades hiperbólicas compactas. Finalmente, André Weil amplió el teorema a todos los subgrupos co-compactos de grupos de Lie semisimples . ^{[2] [3]} La extensión a celosías no cocompactas fue realizada más tarde por Howard Garland y Madabusi Santanam Raghunathan . ^[4] El resultado ahora se conoce a veces como rigidez de Calabi-Weil (o simplemente Weil). ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$

Declaración

Deformaciones de subgrupos.

Sea un grupo generado por un número finito de elementos y un grupo de Lie. Entonces el mapa definido por es inyectivo y este dota de una topología inducida por la de . Si es un subgrupo de entonces una deformación de es cualquier elemento en . Se dice que dos representaciones están conjugadas si existe tal que para todos . Véase también variedad de personajes . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)\to G^{n}}$ ${\displaystyle \rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{n}))}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)}$ ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)}$ ${\displaystyle \phi ,\psi }$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \phi (\gamma )=g\psi (\gamma )g^{-1}}$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$

Celosías en grupos simples que no sean del tipo A1 o A1 × A1

La afirmación más simple es cuando hay una red en un grupo de Lie simple y este último no es localmente isomorfo a o y (esto significa que su álgebra de Lie no es la de uno de estos dos grupos). ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Existe una vecindad en la inclusión tal que cualquiera se conjuga con . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\Gamma ,G)}$ ${\displaystyle i:\Gamma \subset G}$ ${\displaystyle \phi \in U}$ ${\displaystyle i}$

Siempre que tal afirmación sea válida para un par, diremos que se cumple la rigidez local. ${\displaystyle G\supset \Gamma }$

Retículos en SL(2,C)

La rigidez local se cumple para celosías cocompactas en . Una red que no es compacta tiene deformaciones no triviales provenientes de la teoría de la cirugía hiperbólica de Dehn de Thurston . Sin embargo, si se agrega la restricción de que una representación debe enviar elementos parabólicos a elementos parabólicos, entonces se mantiene la rigidez local. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Retículos en SL(2,R)

En este caso la rigidez local nunca se mantiene. Para redes cocompactas, una pequeña deformación sigue siendo una red cocompacta, pero es posible que no se conjugue a la original (consulte el espacio de Teichmüller para obtener más detalles). Las redes no cocompactas son prácticamente libres y, por tanto, tienen deformaciones no reticulares.

Grupos de mentiras semisimples

La rigidez local se cumple para redes en grupos de Lie semisimples siempre que estos últimos no tengan ningún factor de tipo A1 (es decir, localmente isomorfos a o ) o que el primero sea irreducible. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$

Otros resultados

También hay resultados de rigidez local donde se cambia el grupo ambiental, incluso en caso de que falle la superrigidez. Por ejemplo, si es una red en el grupo unitario y entonces la inclusión es localmente rígida. ^[5] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {SU} (n,1)\subset \mathrm {SU} (n+1,1)}$

Una red uniforme en cualquier grupo topológico generado compactamente es topológicamente localmente rígida , en el sentido de que cualquier deformación suficientemente pequeña de la inclusión es inyectiva y es una red uniforme en . Una red uniforme irreducible en el grupo de isometría de cualquier espacio geodésicamente completo no isométrico al plano hiperbólico y sin factores euclidianos es localmente rígida. ^[6] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle i:\Gamma \subset G}$ ${\displaystyle \varphi (\Gamma )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {CAT} (0)}$

Pruebas del teorema

La prueba original de Weil es relacionar las deformaciones de un subgrupo con el primer grupo de cohomología de con coeficientes en el álgebra de Lie de , y luego mostrar que esta cohomología desaparece para redes cocompactas cuando no tiene un factor simple de tipo absoluto A1. Una prueba más geométrica que también funciona en los casos no compactos utiliza la teoría de estructuras de Charles Ehresmann (y William Thurston ) . ^[7] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (G,X)}$

Referencias

1. Selberg, Atle (1960). "Sobre grupos discontinuos en espacios simétricos de dimensiones superiores". Contribuciones a la teoría funcional . Instituto Tata, Bombay. págs. 100-110.
2. Weil, André (1960), "Sobre subgrupos discretos de grupos de Lie", Annals of Mathematics , segunda serie, 72 (2): 369–384, doi :10.2307/1970140, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970140, SEÑOR  0137792
3. Weil, André (1962), "Sobre subgrupos discretos de grupos de Lie. II", Annals of Mathematics , segunda serie, 75 (3): 578–602, doi :10.2307/1970212, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970212, SEÑOR  0137793
4. Guirnalda, Howard ; Raghunathan, M.~S. (1970). "Dominios fundamentales para celosías en grupos de Lie de rango 1 R ". Anales de Matemáticas . 92 : 279–326. doi :10.2307/1970838. JSTOR  1970838.
5. Goldman, William ; Millson, John (1987), "Rigidez local de grupos discretos que actúan en un espacio hiperbólico complejo", Inventiones Mathematicae , 88 (3): 495–520, Bibcode :1987InMat..88..495G, doi :10.1007/bf01391829, S2CID  15347622
6. Gelandro, Tsachik ; Levit, Arie (2017), "Rigidez local de celosías uniformes", Commentarii Mathematici Helvetici , arXiv : 1605.01693
7. Bergeron, Nicolás ; Gelander, Tsachik (2004). "Una nota sobre la rigidez local". Geometriae Dedicata . 107 . Kluwer: 111-131. arXiv : 1702.00342 . doi :10.1023/b:geom.0000049122.75284.06. S2CID  54064202.