Subgrupo de congruencia

grupo matriz

En matemáticas , un subgrupo de congruencia de un grupo de matrices con entradas enteras es un subgrupo definido por condiciones de congruencia en las entradas. Un ejemplo muy simple es el subgrupo de matrices enteras invertibles 2 × 2 del determinante 1 en el que las entradas fuera de la diagonal son pares . De manera más general, la noción de subgrupo de congruencia puede definirse para subgrupos aritméticos de grupos algebraicos ; es decir, aquellos para los que tenemos una noción de "estructura integral" y podemos definir aplicaciones de reducción módulo un número entero.

La existencia de subgrupos de congruencia en un grupo aritmético le proporciona una gran cantidad de subgrupos; en particular, muestra que el grupo es residualmente finito . Una pregunta importante sobre la estructura algebraica de los grupos aritméticos es el problema de subgrupos de congruencia , que pregunta si todos los subgrupos de índice finito son esencialmente subgrupos de congruencia.

Los subgrupos de congruencia de matrices 2 × 2 son objetos fundamentales en la teoría clásica de las formas modulares ; la teoría moderna de las formas automórficas hace un uso similar de los subgrupos de congruencia en grupos aritméticos más generales.

Subgrupos de congruencia del grupo modular.

El entorno interesante más simple en el que se pueden estudiar los subgrupos de congruencia es el del grupo modular . ^[1] ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

Principales subgrupos de congruencia

Si es un número entero hay un homomorfismo inducido por el morfismo módulo de reducción . El principal subgrupo de congruencia de nivel en es el núcleo de y generalmente se denota . Explícitamente se describe de la siguiente manera: ${\displaystyle n\geqslant 1}$ ${\displaystyle \pi _{n}:\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \Gamma (n)}$

${\displaystyle \Gamma (n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ):a,d\equiv 1{\pmod {n}},\quad b,c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}}$

Esta definición implica inmediatamente que es un subgrupo normal de índice finito en . El teorema de aproximación fuerte (en este caso una consecuencia fácil del teorema del resto chino ) implica que es sobreyectivo, de modo que el cociente es isomorfo a . Calcular el orden de este grupo finito produce la siguiente fórmula para el índice: ${\displaystyle \Gamma (n)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \Gamma /\Gamma (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle [\Gamma :\Gamma (n)]=n^{3}\cdot \prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)}$

donde el producto se toma sobre todos los números primos dividiendo . ${\displaystyle n}$

Si entonces la restricción de a cualquier subgrupo finito de es inyectiva. Esto implica el siguiente resultado: ${\displaystyle n\geqslant 3}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Si entonces los principales subgrupos de congruencia están libres de torsión. ${\displaystyle n\geqslant 3}$ ${\displaystyle \Gamma (n)}$

El grupo contiene y no está libre de torsión. Por otro lado, su imagen en está libre de torsión y el cociente del plano hiperbólico por este subgrupo es una esfera con tres cúspides. ${\displaystyle \Gamma (2)}$ ${\displaystyle -\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

Definición de un subgrupo de congruencia

Un subgrupo se llama subgrupo de congruencia si existe uno que contiene el subgrupo de congruencia principal . El nivel de es entonces el más pequeño . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n\geqslant 1}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Gamma (n)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle n}$

De esta definición se deduce que:

• Los subgrupos de congruencia son de índice finito en ; ${\displaystyle \Gamma }$
• Los subgrupos de congruencia de nivel están en correspondencia uno a uno con los subgrupos de . ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )}$

Ejemplos

El subgrupo , a veces llamado subgrupo de congruencia de nivel de Hecke , se define como la preimagen del grupo de matrices triangulares superiores. Eso es, ${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$

${\displaystyle \Gamma _{0}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}.}$

El índice viene dado por la fórmula:

${\displaystyle [\Gamma :\Gamma _{0}(n)]=n\cdot \prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}$

donde el producto se toma sobre todos los números primos dividiendo . Si es primo, entonces está en biyección natural con la línea proyectiva sobre el campo finito , y los representantes explícitos de las clases laterales (izquierda o derecha) de in son las siguientes matrices: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Gamma /\Gamma _{0}(p)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}(p)}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \operatorname {Id} ,{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}},\ldots ,{\begin{pmatrix}1&0\\p-1&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Los subgrupos nunca están libres de torsión ya que siempre contienen la matriz . Hay infinitos tales que la imagen de en también contiene elementos de torsión. ${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$ ${\displaystyle -I}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

El subgrupo es la preimagen del subgrupo de matrices unipotentes: ${\displaystyle \Gamma _{1}(n)}$

${\displaystyle \Gamma _{1}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :a,d\equiv 1{\pmod {n}},c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}.}$

Sus índices vienen dados por la fórmula:

${\displaystyle [\Gamma :\Gamma _{1}(n)]=n^{2}\cdot \prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)}$

El subgrupo theta es el subgrupo de congruencia de definido como la preimagen del grupo cíclico de orden dos generado por . Es de índice 3 y se describe explícitamente en: ^[2] ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \Lambda =\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :ac\equiv 0{\pmod {2}},bd\equiv 0{\pmod {2}}\right\}.}$

Estos subgrupos satisfacen las siguientes inclusiones: , así como . ${\displaystyle \Gamma (n)\subset \Gamma _{1}(n)\subset \Gamma _{0}(n)}$ ${\displaystyle \Gamma (2)\subset \Lambda }$

Propiedades de los subgrupos de congruencia

Los subgrupos de congruencia del grupo modular y las superficies de Riemann asociadas se distinguen por algunas propiedades geométricas y topológicas particularmente interesantes. Aquí hay una muestra:

• Sólo hay un número finito de cubiertas de congruencia de la superficie modular que tienen género cero; ^[3]
• ( Teorema 3/16 de Selberg ) Si es una función propia no constante del operador de Laplace-Beltrami en una cubierta de congruencia de la superficie modular con valor propio entonces . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda \geqslant {\tfrac {3}{16}}}$

También hay una colección de operadores distinguidos llamados operadores de Hecke en funciones suaves sobre cubiertas de congruencia, que conmutan entre sí y con el operador de Laplace-Beltrami y son diagonalizables en cada espacio propio de este último. Sus funciones propias comunes son un ejemplo fundamental de formas automórficas . Otras formas automorfas asociadas a estos subgrupos de congruencia son las formas modulares holomorfas, que pueden interpretarse como clases de cohomología en las superficies de Riemann asociadas mediante el isomorfismo de Eichler-Shimura .

Normalizadores de subgrupos de congruencia de Hecke

Se ha investigado el normalizador de in ; Un resultado de la década de 1970, debido a Jean-Pierre Serre , Andrew Ogg y John G. Thompson, es que la curva modular correspondiente (la superficie de Riemann resultante de tomar el cociente del plano hiperbólico por ) tiene género cero (es decir, la curva modular es una esfera de Riemann) si y sólo si es 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 o 71. Cuando Ogg se enteró más tarde del grupo de monstruos , se dio cuenta de que estos eran precisamente los factores primos del tamaño de , escribió un artículo ofreciendo una botella de whisky Jack Daniel's a cualquiera que pudiera explicar este hecho; este fue el punto de partida para la teoría del monstruoso alcohol ilegal , que explica las conexiones profundas. entre la teoría de funciones modulares y el grupo de monstruos. ${\displaystyle \Gamma _{0}(p)^{+}}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}(p)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}(p)^{+}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$

En grupos aritméticos

Grupos aritméticos

La noción de grupo aritmético es una amplia generalización basada en el ejemplo fundamental de . En general, para dar una definición se necesita un grupo algebraico semisimple definido sobre y una representación fiel , también definida sobre , desde dentro ; entonces un grupo aritmético en es cualquier grupo que sea de índice finito en el estabilizador de una subred de índice finito en . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{d}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$

Subgrupos de congruencia

Sea un grupo aritmético: por simplicidad es mejor suponer que . Como en el caso de existen morfismos de reducción . Podemos definir un subgrupo de congruencia principal de como el núcleo de (que a priori puede depender de la representación ), y un subgrupo de congruencia de como cualquier subgrupo que contenga un subgrupo de congruencia principal (una noción que no depende de una representación) . Son subgrupos de índice finito que corresponden a los subgrupos de los grupos finitos , y el nivel está definido. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \pi _{n}:\Gamma \to \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \pi _{n}(\Gamma )}$

Ejemplos

Los principales subgrupos de congruencia de son los subgrupos dados por: ${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma (n)}$

${\displaystyle \Gamma (n)=\left\{(a_{ij})\in \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} ):\forall i\,a_{ii}\equiv 1{\pmod {n}},\,\forall i\neq j\,a_{ij}\equiv 0{\pmod {n}}\right\}}$

los subgrupos de congruencia corresponden entonces a los subgrupos de . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$

Otro ejemplo de grupo aritmético lo dan los grupos donde está el anillo de números enteros en un campo numérico , por ejemplo . Entonces, si es un ideal primo que divide un primo racional, los subgrupos que es el núcleo del mod del mapa de reducción es un subgrupo de congruencia ya que contiene el subgrupo de congruencia principal definido por el módulo de reducción . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(O)}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O=\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle p}$

Otro grupo aritmético más son los grupos modulares de Siegel , definidos por: ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )=\left\{\gamma \in \mathrm {GL} _{2g}(\mathbb {Z} ):\ \gamma ^{\mathrm {T} }{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\right\}.}$

Tenga en cuenta que si entonces . El subgrupo theta de es el conjunto de todos los que tienen entradas diagonales pares. ^[4] ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma _{\vartheta }^{(n)}}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}}\right)\in \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle AB^{\top }}$ ${\displaystyle CD^{\top }}$

Propiedad (τ)

La familia de subgrupos de congruencia en un grupo aritmético dado siempre tiene la propiedad (τ) de Lubotzky-Zimmer. ^[5] Esto puede interpretarse en el sentido de que la constante de Cheeger de la familia de sus gráficos laterales de Schreier (con respecto a un conjunto generador fijo para ) está uniformemente acotada lejos de cero; en otras palabras, son una familia de gráficos expansores . También hay una interpretación teórica de la representación: si hay una red en un grupo de Lie , entonces la propiedad (τ) es equivalente a las representaciones unitarias no triviales que ocurren en los espacios que están delimitados lejos de la representación trivial (en la topología de Fell en el dual unitario de ). La propiedad (τ) es un debilitamiento de la propiedad de Kazhdan (T), lo que implica que la familia de todos los subgrupos de índice finito tiene la propiedad (τ). ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L^{2}(G/\Gamma )}$ ${\displaystyle G}$

En S -grupos aritméticos

Si es un grupo y es un conjunto finito de números primos, un subgrupo aritmético de se define como un subgrupo aritmético pero usando en lugar de . El ejemplo fundamental es . ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle S=\{p_{1},\ldots ,p_{r}\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {SL} _{d}(\mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])}$

Sea un grupo aritmético en un grupo algebraico . Si es un número entero no divisible por ningún primo en , entonces todos los primos son módulo invertible y se deduce que hay un morfismo . Así es posible definir subgrupos de congruencia en , cuyo nivel es siempre coprimo a todos los primos en . ${\displaystyle \Gamma _{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {G} \subset \operatorname {GL} _{d}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \pi _{n}:\Gamma _{S}\to \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma _{S}}$ ${\displaystyle S}$

El problema de los subgrupos de congruencia

Subgrupos de índice finito en SL 2 (Z)

Los subgrupos de congruencia en son subgrupos de índice finito: es natural preguntar si representan todos los subgrupos de índice finito en . La respuesta es un rotundo "no". Felix Klein ya conocía este hecho y hay muchas formas de exhibir muchos subgrupos de índices finitos que no son congruentes. Por ejemplo: ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$

1. El grupo simple en la serie de composición de un cociente , donde es un subgrupo de congruencia normal, debe ser un grupo simple de tipo Lie (o cíclico), de hecho uno de los grupos de un primo . Pero para cada uno hay subgrupos de índice finito que son isomórficos al grupo alterno (por ejemplo, se superponen a cualquier grupo con dos generadores, en particular a todos los grupos alternos, y los núcleos de estos morfismos dan un ejemplo). Estos grupos, por tanto, deben ser no congruentes. ${\displaystyle \Gamma /\Gamma '}$ ${\displaystyle \Gamma '}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {F} _{p})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Gamma '\subset \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma /\Gamma '}$ ${\displaystyle A_{m}}$ ${\displaystyle \Gamma (2)}$
2. Hay una sobreyección ; para lo suficientemente grande, el núcleo de debe ser no congruente (una forma de ver esto es que la constante de Cheeger del gráfico de Schreier llega a 0; también hay una prueba algebraica simple en el espíritu del punto anterior). ${\displaystyle \Gamma (2)\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Gamma (2)\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$
3. El número de subgrupos de congruencia en el índice satisface . Por otro lado, el número de subgrupos de índice finito del índice in satisface , por lo que la mayoría de los subgrupos del índice finito no deben ser congruentes. ^[6] ${\displaystyle c_{N}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \log c_{N}=O\left((\log N)^{2}/\log \log N\right)}$ ${\displaystyle a_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle N\log N=O(\log a_{N})}$

Núcleo de congruencia

Se puede hacer la misma pregunta para cualquier grupo aritmético que para el grupo modular:

Problema ingenuo de subgrupos de congruencia: dado un grupo aritmético, ¿son todos sus subgrupos de índice finito subgrupos de congruencia?

Este problema puede tener una solución positiva: su origen está en el trabajo de Hyman Bass , Jean-Pierre Serre y John Milnor , y Jens Mennicke quienes demostraron que, a diferencia del caso de , cuando todos los subgrupos de índice finito en son subgrupos de congruencia . La solución de Bass-Milnor-Serre implicó un aspecto de la teoría algebraica de números vinculado a la teoría K. ^[7] Por otro lado, el trabajo de Serre sobre campos numéricos muestra que en algunos casos la respuesta a la pregunta ingenua es "no", mientras que una ligera relajación del problema tiene una respuesta positiva. ^[8] ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n\geqslant 3}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}}$

Este nuevo problema se plantea mejor en términos de ciertos grupos topológicos compactos asociados a un grupo aritmético . Hay una topología para la cual una base de vecindades del subgrupo trivial es el conjunto de subgrupos de índice finito (la topología profinita ); y hay otra topología definida de la misma manera usando solo subgrupos de congruencia. La topología profinita da lugar a una finalización de , mientras que la topología de "congruencia" da lugar a otra finalización . Ambos son grupos profinitos y existe un morfismo sobreyectivo natural (intuitivamente, hay menos condiciones que debe cumplir una secuencia de Cauchy en la topología de congruencia que en la topología profinita). ^{[9] [10]} El núcleo de congruencia es el núcleo de este morfismo, y el problema de subgrupo de congruencia mencionado anteriormente equivale a si es trivial. El debilitamiento de la conclusión conduce entonces al siguiente problema. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\widehat {\Gamma }}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$ ${\displaystyle {\widehat {\Gamma }}\to {\overline {\Gamma }}}$ ${\displaystyle C(\Gamma )}$ ${\displaystyle C(\Gamma )}$

Problema de subgrupos de congruencia: ¿es finito el núcleo de congruencia ? ${\displaystyle C(\Gamma )}$

Cuando el problema tiene solución positiva se dice que tiene la propiedad de subgrupo de congruencia . Una conjetura generalmente atribuida a Serre establece que una red aritmética irreducible en un grupo de Lie semisimple tiene la propiedad de subgrupo de congruencia si y sólo si el rango real de es al menos 2; por ejemplo, las celosías siempre deberían tener la propiedad. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )}$

Soluciones negativas

La conjetura de Serre establece que una red en un grupo de Lie de rango uno no debería tener la propiedad de subgrupo de congruencia. Hay tres familias de tales grupos: los grupos ortogonales , los grupos unitarios y los grupos (los grupos de isometría de forma sesquilineal sobre los cuaterniones de Hamilton), más el grupo excepcional (ver Lista de grupos de Lie simples ). El estado actual del problema de subgrupos de congruencia es el siguiente: ${\displaystyle \mathrm {SO} (d,1),d\geqslant 2}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (d,1),d\geqslant 2}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} (d,1),d\geqslant 2}$ ${\displaystyle F_{4}^{-20}}$

• Se sabe que tiene una solución negativa (que confirma la conjetura) para todos los grupos con . La prueba utiliza el mismo argumento que 2. en el caso de : en el caso general es mucho más difícil construir una sobreyección para , la prueba no es del todo uniforme para todos los casos y falla en algunas redes en la dimensión 7 debido al fenómeno de la trialidad . ^{[11] [12]} En las dimensiones 2 y 3 y para algunas redes en dimensiones superiores, también se aplican los argumentos 1 y 3. ${\displaystyle \mathrm {SO} (d,1)}$ ${\displaystyle d\neq 7}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Es conocido por muchas redes en , pero no por todas (nuevamente usando una generalización del argumento 2). ^[13] ${\displaystyle \mathrm {SU} (d,1)}$
• Está completamente abierto en todos los casos restantes.

Soluciones positivas

En muchas situaciones en las que se espera que el problema de subgrupos de congruencia tenga una solución positiva, se ha demostrado que efectivamente es así. Aquí hay una lista de grupos algebraicos tales que se sabe que la propiedad del subgrupo de congruencia se cumple para las redes aritméticas asociadas, en caso de que el rango del grupo de Lie asociado (o más generalmente la suma del rango de los factores real y -ádico en el caso de -grupos aritméticos) es al menos 2: ^[14] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S}$

• Cualquier grupo no anisotrópico (esto incluye los casos tratados por Bass–Milnor–Serre, así como is y muchos otros); ${\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)}$ ${\displaystyle \min(p,q)>1}$
• Cualquier grupo de tipo no (por ejemplo todas las formas anisotrópicas de grupos simplécticos u ortogonales de rango real ); ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle \geqslant 2}$
• Grupos unitarios de formas hermitianas.

Los casos de formas tipográficas internas y externas aún están abiertos. Los grupos algebraicos en el caso de formas internas de tipo son los asociados a los grupos unitarios en álgebras centrales de división simple; por ejemplo, la propiedad del subgrupo de congruencia no se conoce para redes en o con cociente compacto. ^[15] ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Grupos de congruencia y grupos de Adèle

El anillo de adeles es el producto restringido de todas las terminaciones de , es decir ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {R} \times \prod _{p}'\mathbb {Q} _{p}}$

donde el producto está sobre el conjunto de todos los números primos, es el cuerpo de p -números ádicos y un elemento pertenece al producto restringido si y sólo si para casi todos los primos , pertenece al subanillo de p -ádicos enteros . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle (x,(x_{p})_{p\in {\mathcal {P}}})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Dado que cualquier grupo algebraico sobre el grupo algebraico adélico está bien definido. Puede estar dotado de una topología canónica, que en el caso de que sea un grupo algebraico lineal es la topología como un subconjunto de . Los adèles finitos son el producto restringido de todas las terminaciones no arquímedes (todos los campos p -ádicos). ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {A} )}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{f}}$

Si es un grupo aritmético entonces sus subgrupos de congruencia se caracterizan por la siguiente propiedad: es un subgrupo de congruencia si y sólo si su cierre es un subgrupo compacto-abierto (la compacidad es automática) y . En general, el grupo es igual al cierre de congruencia de en , y la topología de congruencia en es la topología inducida como un subgrupo de , en particular la finalización de congruencia es su cierre en ese grupo. Estas observaciones también son válidas para subgrupos -aritméticos, reemplazando el anillo de adèles finitos con el producto restringido sobre todos los primos que no están en . ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle H\subset \Gamma }$ ${\displaystyle {\overline {H}}\subset \mathbf {G} (\mathbb {A} _{f})}$ ${\displaystyle H=\Gamma \cap {\overline {H}}}$ ${\displaystyle \Gamma \cap {\overline {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {A} _{f})}$ ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

De manera más general, se puede definir lo que significa que un subgrupo sea un subgrupo de congruencia sin una referencia explícita a un subgrupo aritmético fijo, pidiendo que sea igual a su cierre de congruencia . Por lo tanto, es posible estudiar todos los subgrupos de congruencia a la vez observando el subgrupo discreto . Esto es especialmente conveniente en la teoría de las formas automórficas: por ejemplo, todos los tratamientos modernos de la fórmula de trazas de Arthur-Selberg se realizan en este entorno adélico. ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle {\overline {\Gamma }}\cap \mathbf {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )\subset \mathbf {G} (\mathbb {A} )}$

Notas

1. El grupo modular generalmente se define como el cociente , aquí preferiremos usarlo para simplificar las cosas, pero la teoría es casi la misma. ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )/\{\pm \operatorname {Id} \}}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$
2. Eichler, Martín (1966). Introducción a la Teoría de Números y Funciones Algebraicas . Prensa académica. págs. 36–39.
3. Largo, Darren D.; Maclachlan, Colin; Reid, Alan (2006). "Grupos aritméticos fucsianos del género cero". Matemática Pura y Aplicada Trimestral 2 . Número especial para celebrar el 60 cumpleaños del profesor JH Coates (2): 569–599. doi : 10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a9 .
4. Richter, Olav (2000). "Funciones theta de formas cuadráticas indefinidas sobre campos de números reales". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 128 (3): 701–708. doi : 10.1090/s0002-9939-99-05619-1 .
5. Clozel, Laurent (2003). "Demostración de la conjetura τ". Inventar. Matemáticas. (en francés). 151 (2): 297–328. doi :10.1007/s00222-002-0253-8. S2CID  124409226.
6. Lubotzky y Segal 2003, capítulos 6 a 7.
7. Bajo, H.; Milnor, John Willard ; Serre, Jean-Pierre (1967), "Solución del problema de subgrupos de congruencia para SLn (n ≥ 3) y Sp2n (n ≥ 2)", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 33 (33): 59–137, doi : 10.1007/BF02684586, ISSN  1618-1913, SEÑOR  0244257, S2CID  123107965(Errata)
8. Serre, Jean-Pierre (1970). "El problema de los subgrupos de congruencia para SL ₂ ". Anales de Matemáticas . Segunda Serie (en francés). 92 : 489–527. doi :10.2307/1970630. JSTOR  1970630.
9. Platonov y Rapinchuk 1994, Proposición 9.10.
10. Sury 2003, sección 3.7.
11. Lubotzky y Segal 2003, Teorema 7.2.
12. Agol, Ian (2013). "La conjetura virtual de Haken". Documenta Matemáticas . 18 : 1045-1087. doi : 10.4171/dm/421 . S2CID  255586740.
13. Kazhdan, David (1977). "Algunas aplicaciones de la representación de Weil". Revista de Análisis Matemático . 32 : 235–248. doi :10.1007/bf02803582. S2CID  119982784.
14. Platonov y Rapinchuk 1994, pág. 568.
15. Raghunatan, MS (2004). "El problema de los subgrupos de congruencia". Proc. Académico indio. Ciencia. Matemáticas. Ciencia . 114 (4): 299–308. doi :10.1007/BF02829437. S2CID  18414386.

Referencias

• Lubotzky, Alejandro; Segal, Dan (2003). Crecimiento de subgrupos . Birkhäuser. ISBN 3-7643-6989-2.
• Platonov, Vladimir ; Rapinchuk, Andrei (1994). Grupos algebraicos y teoría de números. (Traducido del original ruso de 1991 por Rachel Rowen) . Matemática Pura y Aplicada. vol. 139. Boston, MA: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-558180-7. SEÑOR  1278263.
• Sury, B. (2003). El problema de los subgrupos de congruencia . Agencia de libros Hindustan. ISBN 81-85931-38-0.