Subgrupo normal

Invariante de subgrupo bajo conjugación

En álgebra abstracta , un subgrupo normal (también conocido como subgrupo invariante o subgrupo autoconjugado ) ^[1] es un subgrupo que es invariante bajo conjugación por miembros del grupo del que forma parte. En otras palabras, un subgrupo del grupo es normal si y sólo si para todos y La notación habitual para esta relación es ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gng^{-1}\in N}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle n\in N.}$ ${\displaystyle N\triangleleft G.}$

Los subgrupos normales son importantes porque ellos (y sólo ellos) pueden usarse para construir grupos cocientes del grupo dado. Además, los subgrupos normales de son precisamente los núcleos de homomorfismos de grupo con dominio , lo que significa que pueden usarse para clasificar internamente esos homomorfismos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G,}$

Évariste Galois fue el primero en darse cuenta de la importancia de la existencia de subgrupos normales. ^[2]

Definiciones

Un subgrupo de un grupo se llama subgrupo normal de si es invariante bajo conjugación ; es decir, la conjugación de un elemento de por un elemento de siempre está en ^[3] La notación habitual para esta relación es ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle N\triangleleft G.}$

Condiciones equivalentes

Porque cualquier subgrupo de las siguientes condiciones equivale a ser un subgrupo normal de Por lo tanto, cualquiera de ellas puede tomarse como definición. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G.}$

• La imagen de conjugación de por cualquier elemento de es un subconjunto de ^[4] es decir, para todos . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle gNg^{-1}\subseteq N}$ ${\displaystyle g\in G}$
• La imagen de conjugación de por cualquier elemento de es igual a ^[4] es decir, para todos . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle gNg^{-1}=N}$ ${\displaystyle g\in G}$
• Para todas las clases laterales izquierda y derecha son iguales. ^[4] ${\displaystyle g\in G,}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle Ng}$
• Los conjuntos de clases laterales izquierda y derecha de in coinciden. ^[4] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$
• La multiplicación en conserva la relación de equivalencia "está en la misma clase lateral izquierda que". Es decir, por cada satisfactorio y , tenemos ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g,g',h,h'\in G}$ ${\displaystyle gN=g'N}$ ${\displaystyle hN=h'N}$ ${\displaystyle (gh)N=(g'h')N.}$
• Existe un grupo en el conjunto de clases laterales izquierdas donde la multiplicación de dos clases laterales izquierdas cualesquiera produce la clase lateral izquierda . (Este grupo se llama grupo cociente de módulo , denotado ). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle hN}$ ${\displaystyle (gh)N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$
• ${\displaystyle N}$es una unión de clases de conjugación de ^[2] ${\displaystyle G.}$
• ${\displaystyle N}$se conserva mediante los automorfismos internos de ^[5] ${\displaystyle G.}$
• Existe algún homomorfismo de grupo cuyo núcleo es ^[2] ${\displaystyle G\to H}$ ${\displaystyle N.}$
• Existe un homomorfismo de grupo cuyas fibras forman un grupo donde está el elemento de identidad y la multiplicación de dos fibras cualesquiera da como resultado la fibra . (Este grupo es el mismo grupo mencionado anteriormente). ${\displaystyle \phi :G\to H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{1})}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{2})}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}(h_{1}h_{2})}$ ${\displaystyle G/N}$
• Existe alguna relación de congruencia para la cual la clase de equivalencia del elemento de identidad es . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$
• Para todos y el conmutador está en ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle g\in G,}$ ${\displaystyle [n,g]=n^{-1}g^{-1}ng}$ ${\displaystyle N.}$
• Dos elementos cualesquiera conmutan módulo la relación normal de pertenencia a subgrupos. Es decir, para todos si y solo si ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle g,h\in G,}$ ${\displaystyle gh\in N}$ ${\displaystyle hg\in N.}$

Ejemplos

Para cualquier grupo, el subgrupo trivial que consta solo del elemento identidad de es siempre un subgrupo normal de. Del mismo modo, él mismo siempre es un subgrupo normal de (si estos son los únicos subgrupos normales, entonces se dice que es simple ). ^[6] Otros nombrados Los subgrupos normales de un grupo arbitrario incluyen el centro del grupo (el conjunto de elementos que conmutan con todos los demás elementos) y el subgrupo conmutador ^{[7] [8]} De manera más general, dado que la conjugación es un isomorfismo, cualquier subgrupo característico es un subgrupo normal. . ^[9] ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [G,G].}$

Si es un grupo abeliano, entonces cada subgrupo de es normal, porque de manera más general, para cualquier grupo , cada subgrupo del centro de es normal en . (En el caso especial de que es abeliano, el centro es todo de , de ahí el hecho de que todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales). Un grupo que no es abeliano pero para el cual cada subgrupo es normal se llama grupo hamiltoniano . ^[10] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gN=\{gn\}_{n\in N}=\{ng\}_{n\in N}=Ng.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Z(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Un ejemplo concreto de un subgrupo normal es el subgrupo del grupo simétrico que consta de la identidad y ambos tres ciclos. En particular, se puede comprobar que cada clase lateral de es igual a sí misma o es igual a. Por otro lado, el subgrupo no es normal ya que ^[11] Esto ilustra el hecho general de que cualquier subgrupo del índice dos es normal. ${\displaystyle N=\{(1),(123),(132)\}}$ ${\displaystyle S_{3},}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (12)N=\{(12),(23),(13)\}.}$ ${\displaystyle H=\{(1),(12)\}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle (123)H=\{(123),(13)\}\neq \{(123),(23)\}=H(123).}$ ${\displaystyle H\leq G}$

Como ejemplo de un subgrupo normal dentro de un grupo de matrices , considere el grupo lineal general de todas las matrices invertibles con entradas reales bajo la operación de multiplicación de matrices y su subgrupo de todas las matrices del determinante 1 (el grupo lineal especial ). Para ver por qué el subgrupo es normal en , considere cualquier matriz en y cualquier matriz invertible . Luego, usando las dos identidades importantes y , uno tiene eso , y así también. Esta media está cerrada bajo conjugación en , por lo que es un subgrupo normal. ^[a] ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$ ${\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}}$ ${\displaystyle \det(AXA^{-1})=\det(A)\det(X)\det(A)^{-1}=\det(X)=1}$ ${\displaystyle AXA^{-1}\in \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$

En el grupo del Cubo de Rubik , los subgrupos que consisten en operaciones que solo afectan las orientaciones de las piezas de las esquinas o de las piezas de los bordes son normales. ^[12]

El grupo de traducción es un subgrupo normal del grupo euclidiano en cualquier dimensión. ^[13] Esto significa: aplicar una transformación rígida, seguida de una traslación y luego la transformación rígida inversa, tiene el mismo efecto que una sola traslación. Por el contrario, el subgrupo de todas las rotaciones alrededor del origen no es un subgrupo normal del grupo euclidiano, siempre que la dimensión sea al menos 2: primero trasladarse, luego rotar alrededor del origen y luego trasladarse hacia atrás normalmente no fijará el origen. y por lo tanto no tendrá el mismo efecto que una sola rotación alrededor del origen.

Propiedades

• Si es un subgrupo normal de y es un subgrupo de contenedor, entonces es un subgrupo normal de ^[14] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K.}$
• Un subgrupo normal de un subgrupo normal de un grupo no tiene por qué ser normal en el grupo. Es decir, la normalidad no es una relación transitiva . El grupo más pequeño que exhibe este fenómeno es el grupo diédrico de orden 8. ^[15] Sin embargo, un subgrupo característico de un subgrupo normal es normal. ^[16] Un grupo en el que la normalidad es transitiva se llama grupo T. ^[17]
• Los dos grupos y son subgrupos normales de su producto directo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\times H.}$
• Si el grupo es un producto semidirecto entonces es normal aunque no necesita ser normal en ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=N\rtimes H,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G.}$
• Si y son subgrupos normales de un grupo aditivo tal que y , entonces ^[18] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=M+N}$ ${\displaystyle M\cap N=\{0\}}$ ${\displaystyle G=M\oplus N.}$
• La normalidad se conserva bajo homomorfismos sobreyectivos; ^[19] es decir, si es un homomorfismo de grupo sobreyectivo y es normal en entonces la imagen es normal en ${\displaystyle G\to H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle f(N)}$ ${\displaystyle H.}$
• La normalidad se conserva tomando imágenes inversas ; ^[19] es decir, si es un homomorfismo de grupo y es normal en entonces la imagen inversa es normal en ${\displaystyle G\to H}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle f^{-1}(N)}$ ${\displaystyle G.}$
• La normalidad se conserva al tomar productos directos ; ^[20] es decir, si y entonces ${\displaystyle N_{1}\triangleleft G_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}\triangleleft G_{2},}$ ${\displaystyle N_{1}\times N_{2}\;\triangleleft \;G_{1}\times G_{2}.}$
• Cada subgrupo del índice 2 es normal. De manera más general, un subgrupo, de índice finito, contiene un subgrupo, de índice normal y de división, llamado núcleo normal . En particular, si es el primo más pequeño que divide el orden de entonces cada subgrupo de índice es normal. ^[21] ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle p}$
• El hecho de que los subgrupos normales de sean precisamente los núcleos de los homomorfismos de grupo definidos en explica parte de la importancia de los subgrupos normales; son una forma de clasificar internamente todos los homomorfismos definidos en un grupo. Por ejemplo, un grupo finito sin identidad es simple si y solo si es isomorfo a todas sus imágenes homomórficas sin identidad, ^[22] un grupo finito es perfecto si y solo si no tiene subgrupos normales de índice primo , y un grupo es imperfecto si y sólo si el subgrupo derivado no se complementa con ningún subgrupo normal adecuado. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Celosía de subgrupos normales.

Dados dos subgrupos normales, y de su intersección y su producto también son subgrupos normales de ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle N\cap M}$ ${\displaystyle NM=\{nm:n\in N\;{\text{ and }}\;m\in M\}}$ ${\displaystyle G.}$

Los subgrupos normales de forman una red bajo la inclusión de subconjuntos con el menor elemento y el mayor elemento . El encuentro de dos subgrupos normales, y en esta red es su intersección y la unión es su producto. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \{e\},}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M,}$

La celosía es completa y modular . ^[20]

Subgrupos normales, grupos cocientes y homomorfismos.

Si es un subgrupo normal, podemos definir una multiplicación de clases laterales de la siguiente manera: ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \left(a_{1}N\right)\left(a_{2}N\right):=\left(a_{1}a_{2}\right)N.}$$

${\displaystyle G/N\times G/N\to G/N.}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}'\in a_{1}N,a_{2}'\in a_{2}N.}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in N}$ ${\displaystyle a_{1}'=a_{1}n_{1},a_{2}'=a_{2}n_{2}.}$

$${\displaystyle a_{1}'a_{2}'N=a_{1}n_{1}a_{2}n_{2}N=a_{1}a_{2}n_{1}'n_{2}N=a_{1}a_{2}N,}$$

normal ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n_{1}'\in N}$ ${\displaystyle n_{1}a_{2}=a_{2}n_{1}'.}$

Con esta operación, el conjunto de clases laterales es en sí mismo un grupo, llamado grupo cociente y denotado con Hay un homomorfismo natural , dado por Este homomorfismo se asigna al elemento de identidad del cual es la clase lateral ^[23] , es decir, ${\displaystyle G/N.}$ ${\displaystyle f:G\to G/N,}$ ${\displaystyle f(a)=aN.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N,}$ ${\displaystyle eN=N,}$ ${\displaystyle \ker(f)=N.}$

En general, un homomorfismo de grupo envía subgrupos de a subgrupos de Además, la preimagen de cualquier subgrupo de es un subgrupo de Llamamos a la preimagen del grupo trivial en el núcleo del homomorfismo y la denotamos como Resulta que el núcleo es siempre normal y la imagen de siempre es isomorfa a (el primer teorema del isomorfismo ). ^[24] De hecho, esta correspondencia es una biyección entre el conjunto de todos los grupos cocientes de y el conjunto de todas las imágenes homomórficas de ( hasta el isomorfismo). ^[25] También es fácil ver que el núcleo del mapa de cocientes es él mismo, por lo que los subgrupos normales son precisamente los núcleos de homomorfismos con dominio ^[26] ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \ker f.}$ ${\displaystyle G,f(G),}$ ${\displaystyle G/\ker f}$ ${\displaystyle G,G/N,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:G\to G/N,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G.}$

Ver también

Operaciones que llevan subgrupos a subgrupos.

• Normalizador
• Cierre conjugado
• Núcleo normal

Propiedades de los subgrupos complementarias (u opuestas) a la normalidad

• Subgrupo anormal
• Subgrupo contranormal
• Subgrupo anormal
• Subgrupo autonormalizado

Propiedades de subgrupo más fuertes que la normalidad

• Subgrupo característico
• Subgrupo totalmente característico

Propiedades de subgrupo más débiles que la normalidad

• Subgrupo subnormal
• Subgrupo ascendente
• Subgrupo descendiente
• Subgrupo cuasinormal
• Subgrupo seminormal
• Subgrupo permutable conjugado
• Subgrupo modular
• Subgrupo pronormal
• Subgrupo paranormal
• Subgrupo polinormal
• Subgrupo C-normal

Nociones relacionadas en álgebra

• Ideal (teoría del anillo)
• Ideal semigrupo

Notas

1. En otro idioma: es un homomorfismo del subgrupo multiplicativo y es el núcleo. Ambos argumentos también funcionan sobre números complejos , o incluso sobre un campo arbitrario . ${\displaystyle \det }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbf {R} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbf {R} )}$

Referencias

1. Bradley 2010, pag. 12.
2. Cantrell 2000, pag. 160.
3. Dummit y Foote 2004.
4. Hungerford 2003, pag. 41.
5. Fraleigh 2003, pág. 141.
6. Robinson 1996, pag. dieciséis.
7. Hungerford 2003, pág. 45.
8. Salón 1999, pag. 138.
9. Salón 1999, pag. 32.
10. Salón 1999, pag. 190.
11. Judson 2020, sección 10.1.
12. Bergvall y col. 2010, pág. 96.
13. Thurston 1997, pág. 218.
14. Hungerford 2003, pág. 42.
15. Robinson 1996, pag. 17.
16. Robinson 1996, pag. 28.
17. Robinson 1996, pag. 402.
18. Hungerford 2013, pag. 290.
19. Salón 1999, pag. 29.
20. Hungerford 2003, pág. 46.
21. Robinson 1996, pag. 36.
22. Dõmõsi y Nehaniv 2004, pág. 7.
23. Hungerford 2003, págs. 42–43.
24. Hungerford 2003, pág. 44.
25. Robinson 1996, pag. 20.
26. Salón 1999, pag. 27.

Bibliografía

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• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 0-471-43334-9.
• Fraleigh, John B. (2003). Un primer curso de álgebra abstracta (7ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-15608-2.
• Salón, Marshall (1999). La teoría de los grupos . Providencia: Chelsea Publishing. ISBN 978-0-8218-1967-8.
• Hungerford, Thomas (2003). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas. Saltador.
• Hungerford, Thomas (2013). Álgebra abstracta: una introducción . Brooks/Cole Cengage Aprendizaje.
• Judson, Thomas W. (2020). Álgebra abstracta: teoría y aplicaciones.
• Robinson, Derek JS (1996). Un curso de teoría de grupos . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 80 (2ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-1-4612-6443-9. Zbl  0836.20001.
• Thurston, William (1997). Levy, Silvio (ed.). Geometría y topología tridimensionales, vol. 1 . Serie Matemática de Princeton. Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-08304-9.
• Bradley, CJ (2010). La teoría matemática de la simetría en sólidos: teoría de la representación de grupos de puntos y grupos espaciales . Oxford Nueva York: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-958258-7. OCLC  859155300.

Otras lecturas

• EN Herstein , Temas de álgebra. Segunda edicion. Xerox College Publishing, Lexington, Mass.-Toronto, Ontario, 1975. xi+388 págs.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "subgrupo normal". MundoMatemático .
• Subgrupo normal en la Enciclopedia de Matemáticas de Springer
• Robert Ash: Fundamentos grupales en álgebra abstracta. El año de posgrado básico
• Timothy Gowers, Subgrupos normales y grupos de cocientes
• John Baez, ¿Qué es un subgrupo normal?