En matemáticas , la cirugía hiperbólica de Dehn es una operación mediante la cual se pueden obtener más 3 variedades hiperbólicas a partir de una 3 variedad hiperbólica en cúspide determinada . La cirugía hiperbólica de Dehn existe sólo en la dimensión tres y es aquella que distingue la geometría hiperbólica en tres dimensiones de otras dimensiones.
Esta operación a menudo también se denomina relleno hiperbólico de Dehn , ya que la cirugía de Dehn propiamente dicha se refiere a una operación de "perforación y relleno" en un eslabón que consiste en perforar una zona del eslabón y luego volver a rellenarlo con toros sólidos. La cirugía hiperbólica de Dehn en realidad sólo implica "relleno".
Generalmente asumiremos que una variedad 3 hiperbólica está completa. Supongamos que M es una variedad 3 hiperbólica en cúspide con n cúspides. M puede considerarse, topológicamente, como el interior de una variedad compacta con límite toral. Supongamos que hemos elegido un meridiano y una longitud para cada toroide límite, es decir, curvas cerradas simples que son generadoras del grupo fundamental del toroide. Denotemos la variedad obtenida de M completando el i -ésimo toro límite con un toro sólido usando la pendiente donde cada par y son enteros coprimos. Permitimos que sea a , lo que significa que no llenamos esa cúspide, es decir, hacemos el relleno "vacío" de Dehn. Entonces M = .
Equipamos el espacio H de 3 variedades hiperbólicas de volumen finito con la topología geométrica .
El teorema hiperbólico de la cirugía de Dehn de Thurston es hiperbólico siempre que se evite un conjunto finito de pendientes excepcionales para la i -ésima cúspide de cada i . converge a M en H como todo para todos correspondientes a empastes de Dehn no vacíos . [ cita necesaria ] Este teorema se debe a William Thurston y es fundamental para la teoría de las 3 variedades hiperbólicas. [1] Muestra que existen límites no triviales en H.
El estudio de la topología geométrica de Troels Jorgensen muestra además que todos los límites no triviales surgen del llenado de Dehn como en el teorema. Otro resultado importante de Thurston es que el volumen disminuye bajo el llenado hiperbólico de Dehn. El teorema establece que el volumen disminuye bajo el llenado topológico de Dehn, asumiendo, por supuesto, que la variedad llena de Dehn es hiperbólica. La prueba se basa en propiedades básicas de la norma de Gromov . Jørgensen también demostró que la función de volumen en este espacio es una función continua y propia . Así, según los resultados anteriores, los límites no triviales en H se llevan a límites no triviales en el conjunto de volúmenes. [ cita necesaria ] De hecho, se puede concluir además, como lo hizo Thurston, que el conjunto de volúmenes de 3 variedades hiperbólicas de volumen finito tiene tipo ordinal . Este resultado se conoce como teorema de Thurston-Jørgensen . [2] Gromov realizó más trabajos para caracterizar este conjunto .
El nudo en forma de ocho y el nudo de pretzel (-2, 3, 7) son los únicos dos nudos cuyos complementos se sabe que tienen más de 6 cirugías excepcionales; tienen 10 y 7, respectivamente. Cameron Gordon conjeturó que 10 es el mayor número posible de cirugías excepcionales de cualquier complemento de nudo hiperbólico. Esto fue demostrado por Marc Lackenby y Rob Meyerhoff, quienes muestran que el número de pendientes excepcionales es 10 para cualquier variedad compacta orientable de 3 con límite de un toro y un interior hiperbólico de volumen finito. Su prueba se basa en la prueba de la conjetura de geometrización originada por Grigori Perelman y en asistencia informática . Actualmente se desconoce si el nudo en forma de ocho es el único que alcanza el límite de 10. Una conjetura es que el límite (a excepción de los dos nudos mencionados) es 6. Agol ha demostrado que sólo hay un número finito de casos en los que el número de pistas excepcionales es de 9 o 10.
