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Cirugía de Dehn

En topología , una rama de las matemáticas, una cirugía de Dehn , llamada así por Max Dehn , es una construcción utilizada para modificar variedades de 3 elementos . El proceso toma como entrada una variedad de 3 elementos junto con un enlace . A menudo se conceptualiza como dos pasos: perforación y luego llenado .

Definiciones

Para describir una cirugía de Dehn, [1] se escogen dos curvas cerradas simples orientadas y en el toro límite correspondiente de la variedad 3 perforada, donde es un meridiano de (una curva que permanece en una pequeña bola en y que tiene un número de enlace +1 con o, equivalentemente, una curva que limita un disco que interseca una vez el componente ) y es una longitud de (una curva que viaja una vez a lo largo o, equivalentemente, una curva en tal que la intersección algebraica es igual a +1). Las curvas y generan el grupo fundamental del toro , y forman una base de su primer grupo de homología . Esto da a cualquier curva cerrada simple en el toro dos coordenadas y , de modo que . Estas coordenadas solo dependen de la clase de homotopía de .

Podemos especificar un homeomorfismo del límite de un toro sólido a haciendo que la curva meridiana del toro sólido se asigne a una curva homotópica a . Mientras el meridiano se asigne a la pendiente de la cirugía , la cirugía de Dehn resultante producirá una variedad de 3 dimensiones que no dependerá del pegado específico (hasta el homeomorfismo). La relación se denomina coeficiente de cirugía de .

En el caso de enlaces en la 3-esfera o, más generalmente, en una esfera de homología integral orientada, existe una elección canónica de las longitudes : cada longitud se elige de modo que sea nulamente homóloga en el complemento del nudo, equivalentemente, si es el límite de una superficie de Seifert .

Cuando los cocientes son todos enteros (nótese que esta condición no depende de la elección de las longitudes, ya que corresponde a que los nuevos meridianos intersecan exactamente una vez a los antiguos), la cirugía se denomina cirugía integral . Tales cirugías están estrechamente relacionadas con los cuerpos de manija , el cobordismo y las funciones de Morse .

Ejemplos

Resultados

Toda variedad 3- cerrada , orientable y conexa se obtiene realizando una cirugía de Dehn sobre un eslabón de la 3-esfera . Este resultado, el teorema de Lickorish-Wallace , fue demostrado por primera vez por Andrew H. Wallace en 1960 e independientemente por WBR Lickorish en una forma más fuerte en 1962. A través de la relación ahora bien conocida entre la cirugía genuina y el cobordismo , este resultado es equivalente al teorema de que el grupo de cobordismo orientado de variedades 3-es trivial, un teorema demostrado originalmente por Vladimir Abramovich Rokhlin en 1951.

Dado que todas las variedades orientables de 3 dimensiones pueden generarse mediante enlaces adecuadamente decorados, uno podría preguntarse cómo podrían relacionarse las distintas presentaciones quirúrgicas de una variedad dada de 3 dimensiones. La respuesta se llama cálculo de Kirby .

Véase también

Notas al pie

  1. ^ Rolfsen (1976), pág. 259.

Referencias