operador lineal
En matemáticas , un operador lineal T: V → V en un espacio vectorial V es semisimple si cada subespacio T - invariante tiene un subespacio T -invariante complementario . [1] Si T es un operador lineal semisimple en V, entonces V es una representación semisimple de T. De manera equivalente, un operador lineal es semisimple si su polinomio mínimo es un producto de distintos polinomios irreducibles . [2]
Un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado es semisimple si y sólo si es diagonalizable . [1] [3]
Sobre un campo perfecto, la descomposición de Jordan-Chevalley expresa un endomorfismo como la suma de un endomorfismo semisimple s y un endomorfismo nilpotente n tal que tanto s como n son polinomios en x .
Ver también
Notas
- ^ ab Lam (2001), pág. 39
- ^ Jacobson 1979, un párrafo antes del cap. II, § 5, Teorema 11.
- ^ Esto es trivial según la definición en términos de un polinomio mínimo, pero se puede ver más directamente de la siguiente manera. Un operador así siempre tiene un vector propio; si es, además, semisimple, entonces tiene un hiperplano invariante complementario , que a su vez tiene un vector propio y, por tanto, por inducción es diagonalizable. Por el contrario, es fácil considerar que los operadores diagonalizables son semisimples, ya que los subespacios invariantes son sumas directas de espacios propios, y cualquier base para este espacio puede extenderse a una base propia.
Referencias
- Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971). "Operadores semisimples". Álgebra lineal (2ª ed.). Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall, Inc. SEÑOR 0276251.
- Jacobson, Nathan (1979). Álgebras de mentira . Nueva York. ISBN 0-486-63832-4. OCLC 6499793.
{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace ) - Lam, Tsit-Yuen (2001). "Un primer curso en anillos no conmutativos" . Textos de posgrado en matemáticas. vol. 131 (2 ed.). Saltador. ISBN 0-387-95183-0.
