Restricción (matemáticas)

Función con un dominio más pequeño

La función con dominio no tiene función inversa . Si nos restringimos a los números reales no negativos , entonces sí tiene una función inversa, conocida como raíz cuadrada de ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x.}$

En matemáticas , la restricción de una función es una nueva función, denotada u obtenida eligiendo un dominio más pequeño para la función original. Luego se dice que la función se extiende. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert _{A}}$ ${\displaystyle f{\upharpoonright _{A}},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert _{A}.}$

Definicion formal

Sea una función de un conjunto a un conjunto. Si un conjunto es un subconjunto de entonces la restricción de to es la función ^[1] dada por for Informalmente, la restricción de to es la misma función que pero solo está definida en . ${\displaystyle f:E\to F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {f|}_{A}:A\to F}$$ ${\displaystyle {f|}_{A}(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\in A.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle A}$

Si se piensa que la función es una relación sobre el producto cartesiano , entonces la restricción de a se puede representar mediante su gráfica , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle E\times F,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),}$

donde los pares representan pares ordenados en el gráfico ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle G.}$

Extensiones

Se dice que una función es una ${\displaystyle F}$extensión de otra funciónsi siempreestá en el dominio deentoncestambién está en el dominio dey Es decir, siy ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(x)=F(x).}$ ${\displaystyle \operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F}$ ${\displaystyle F{\big \vert }_{\operatorname {domain} f}=f.}$

Aextensión lineal (respectivamente,extensión continua , etc.) de una funciónes una extensión deque también es unmapa lineal(respectivamente, unmapa continuo, etc.). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Ejemplos

1. La restricción de la función no inyectiva al dominio es la inyección ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}=[0,\infty )}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}.}$
2. La función factorial es la restricción de la función gamma a los números enteros positivos, con el argumento desplazado en uno: ${\displaystyle {\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!}$

Propiedades de las restricciones

• Restringir una función a todo su dominio devuelve la función original, es decir, ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f|_{X}=f.}$
• Restringir una función dos veces es lo mismo que restringirla una vez, es decir, si entonces ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f,}$ ${\displaystyle \left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}.}$
• La restricción de la función de identidad de un conjunto a un subconjunto de es solo el mapa de inclusión de en ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X.}$
• La restricción de una función continua es continua. ^{[3] [4]}

Aplicaciones

Funciones inversas

Para que una función tenga inversa, ésta debe ser uno a uno . Si una función no es uno a uno, es posible definir una inversa parcial restringiendo el dominio. Por ejemplo, la función definida en el conjunto de no es uno a uno ya que para cualquiera. Sin embargo, la función se vuelve uno a uno si restringimos al dominio, en cuyo caso ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x)=x^{2}}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}=[0,\infty ),}$ $${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$$

(Si, en cambio, restringimos al dominio, entonces la inversa es el negativo de la raíz cuadrada de ) Alternativamente, no hay necesidad de restringir el dominio si permitimos que la inversa sea una función multivaluada . ${\displaystyle (-\infty ,0],}$ ${\displaystyle y.}$

Operadores de selección

En álgebra relacional , una selección (a veces llamada restricción para evitar confusión con el uso de SELECT en SQL ) es una operación unaria escrita como o donde: ${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$ ${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$

• ${\displaystyle a}$y son nombres de atributos, ${\displaystyle b}$
• ${\displaystyle \theta }$es una operación binaria en el conjunto ${\displaystyle \{<,\leq ,=,\neq ,\geq ,>\},}$
• ${\displaystyle v}$es un valor constante,
• ${\displaystyle R}$es una relación .

La selección selecciona todas aquellas tuplas que se encuentran entre el y el atributo. ${\displaystyle \sigma _{a\theta b}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

La selección selecciona todas aquellas tuplas en las que se cumple entre el atributo y el valor. ${\displaystyle \sigma _{a\theta v}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle v.}$

Por tanto, el operador de selección se restringe a un subconjunto de toda la base de datos.

El lema de pegado

El lema de pegado es un resultado de la topología que relaciona la continuidad de una función con la continuidad de sus restricciones a subconjuntos.

Sean dos subconjuntos cerrados (o dos subconjuntos abiertos) de un espacio topológico tal que y sea también un espacio topológico. Si es continuo cuando se restringe a ambos y luego es continuo. ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=X\cup Y,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle f}$

Este resultado permite tomar dos funciones continuas definidas en subconjuntos cerrados (o abiertos) de un espacio topológico y crear una nueva.

gavillas

Las gavillas proporcionan una forma de generalizar restricciones a objetos además de funciones.

En la teoría de gavillas , se asigna un objeto en una categoría a cada conjunto abierto de un espacio topológico y se requiere que los objetos satisfagan ciertas condiciones. La condición más importante es que existan morfismos de restricción entre cada par de objetos asociados a conjuntos abiertos anidados; es decir, si entonces existe un morfismo que satisface las siguientes propiedades, que están diseñadas para imitar la restricción de una función: ${\displaystyle F(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V\subseteq U,}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)}$

• Para cada conjunto abierto del morfismo de restricción es el morfismo de identidad en ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)}$ ${\displaystyle F(U).}$
• Si tenemos tres conjuntos abiertos entonces el compuesto ${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U,}$ ${\displaystyle \operatorname {res} _{W,V}\circ \operatorname {res} _{V,U}=\operatorname {res} _{W,U}.}$
• (Localidad) Si es una cobertura abierta de un conjunto abierto y si son tales que para cada conjunto de la cobertura, entonces ; y ${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle s,t\in F(U)}$ ${\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=t{\big \vert }_{U_{i}}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle s=t}$
• (Pegado) Si es una cubierta abierta de un conjunto abierto y si para cada una se da una sección tal que para cada par de cubiertas establece las restricciones de y conviene en las superposiciones: entonces hay una sección tal que para cada ${\displaystyle \left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i}\in F\left(U_{i}\right)}$ ${\displaystyle U_{i},U_{j}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{j}}$ ${\displaystyle s_{i}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}{\big \vert }_{U_{i}\cap U_{j}},}$ ${\displaystyle s\in F(U)}$ ${\displaystyle s{\big \vert }_{U_{i}}=s_{i}}$ ${\displaystyle i.}$

La colección de todos estos objetos se llama gavilla . Si solo se cumplen las dos primeras propiedades, se trata de una pregavilla .

Restricción izquierda y derecha

De manera más general, la restricción (o restricción de dominio o restricción por la izquierda ) de una relación binaria entre y puede definirse como una relación que tiene un dominio codominio y un gráfico. De manera similar, se puede definir una restricción por la derecha o una restricción de rango. De hecho, se podría definir una restricción. a relaciones arias , así como a subconjuntos entendidos como relaciones, como los del producto cartesiano para relaciones binarias. Estos casos no encajan en el esquema de las gavillas . ^{[ se necesita aclaración ]} ${\displaystyle A\triangleleft R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G(A\triangleleft R)=\{(x,y)\in F(R):x\in A\}.}$ ${\displaystyle R\triangleright B.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E\times F}$

Anti-restricción

La antirestricción de dominio (o resta de dominio ) de una función o relación binaria (con dominio y codominio ) por un conjunto puede definirse como ; elimina todos los elementos del dominio. A veces se denota como  ⩤  ^[5] De manera similar, la antirestricción de rango (o resta de rango ) de una función o relación binaria por un conjunto se define como ; elimina todos los elementos del codominio. A veces se denota  ⩥  ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (E\setminus A)\triangleleft R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R\triangleright (F\setminus B)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B.}$

Ver también

• Restricción  : condición de un problema de optimización que la solución debe satisfacer.
• Retracción de deformación  : mapeo continuo que preserva la posición desde un espacio topológico a un subespacioPages displaying short descriptions of redirect targets
• Propiedad local  : propiedad que ocurre en vecindarios de puntos suficientemente pequeños o arbitrariamente pequeños.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Función (matemáticas) § Restricción y extensión
• Relación binaria § Restricción
• Álgebra relacional § Selección (σ)

Referencias

1. Stoll, Robert (1974). Conjuntos, lógica y teorías axiomáticas (2ª ed.). San Francisco: WH Freeman and Company. págs. [36]. ISBN 0-7167-0457-9.
2. Halmos, Paul (1960). Teoría de conjuntos ingenua . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand.Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag). Reimpreso por Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (edición de bolsillo).  
3. Munkres, James R. (2000). Topología (2ª ed.). Río Upper Saddle: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
4. Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David (2008). Introducción a la topología: pura y aplicada . Pearson-Prentice Hall. ISBN 978-0-13-184869-6.
5. Dunne, S. y Stoddart, Bill Unifying Theories of Programming: First International Symposium, UTP 2006, Walworth Castle, County Durham, Reino Unido, 5 al 7 de febrero de 2006, seleccionados revisados... Informática y cuestiones generales) . Saltador (2006)