Dominio euclidiano

En matemáticas , más específicamente en teoría de anillos , un dominio euclidiano (también llamado anillo euclidiano ) es un dominio integral que puede estar dotado de una función euclidiana que permite una adecuada generalización de la división euclidiana de números enteros . Este algoritmo euclidiano generalizado puede tener muchos de los mismos usos que el algoritmo original de Euclides en el anillo de números enteros: en cualquier dominio euclidiano, se puede aplicar el algoritmo euclidiano para calcular el máximo común divisor de dos elementos cualesquiera. En particular, el máximo común divisor de dos elementos cualesquiera existe y puede escribirse como una combinación lineal de ellos ( identidad de Bézout ). Además todo ideal en un dominio euclidiano es principal , lo que implica una generalización adecuada del teorema fundamental de la aritmética : cada dominio euclidiano es un dominio de factorización único .

Es importante comparar la clase de dominios euclidianos con la clase más amplia de dominios ideales principales (PID). Un PID arbitrario tiene prácticamente las mismas "propiedades estructurales" de un dominio euclidiano (o, de hecho, incluso del anillo de números enteros), pero cuando se conoce un algoritmo explícito para la división euclidiana, se puede utilizar el algoritmo euclidiano y el algoritmo euclidiano extendido para calcular los máximos comunes divisores y la identidad de Bézout . En particular, la existencia de algoritmos eficientes para la división euclidiana de números enteros y de polinomios en una variable sobre un campo es de importancia básica en álgebra informática .

Entonces, dado un dominio integral $R$ , a menudo es muy útil saber que $R$ tiene una función euclidiana: en particular, esto implica que $R$ es un PID. Sin embargo, si no existe una función euclidiana "obvia", determinar si $R$ es un PID es generalmente un problema mucho más fácil que determinar si es un dominio euclidiano.

Los dominios euclidianos aparecen en la siguiente cadena de inclusiones de clases :

rngs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios integrales ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios MCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios ideales principales ⊃ dominios euclidianos ⊃ campos ⊃ campos algebraicamente cerrados

Definición

Sea $R$ un dominio integral. Una función euclidiana en $R$ es una función $f$ desde $R \ {0}$ hasta los enteros no negativos que satisfacen la siguiente propiedad fundamental de división con resto:

(EF1) Si $a$ y $b$ están en $R$ y $b$ es distinto de cero, entonces existen $q$ y $r$ en $R$ tales que $a = bq + r$ y $r = 0$ o $f (r) < f (b)$ .

Un dominio euclidiano es un dominio integral al que se le puede dotar al menos de una función euclidiana. Una función euclidiana particular $f$ no es parte de la definición de un dominio euclidiano, ya que, en general, un dominio euclidiano puede admitir muchas funciones euclidianas diferentes.

En este contexto, $q$ y $r$ se denominan respectivamente cociente y resto de la división (o división euclidiana ) de $a$ por $b$ . A diferencia del caso de los números enteros y polinomios , el cociente generalmente no está definido de forma única, pero cuando se ha elegido un cociente, el resto está definido de forma única.

La mayoría de los textos de álgebra requieren que una función euclidiana tenga la siguiente propiedad adicional:

(EF2) Para todos los $a$ y $b$ distintos de cero en $R$ , $f (a) \leq f (ab)$ .

Sin embargo, se puede demostrar que (EF1) por sí solo es suficiente para definir un dominio euclidiano; Si un dominio integral $R$ está dotado de una función $g$ que satisface (EF1), entonces $R$ también puede estar dotado de una función que satisface tanto (EF1) como (EF2) simultáneamente. De hecho, para $a$ en $R \ {0}$ , se puede definir $f (a)$ de la siguiente manera: ^[1]

f(a)=\min _{x\in R\setminus \{0\}}g(xa)

En palabras, se puede definir $f (a)$ como el valor mínimo alcanzado por $g$ en el conjunto de todos los elementos distintos de cero del ideal principal generado por $a$ .

Una función euclidiana $f$ es multiplicativa si $f (ab) = f (a) f (b)$ y $f (a)$ nunca es cero. Se deduce que $f (1) = 1$ . De manera más general, $f (a) = 1$ si y solo si $a$ es una unidad .

Notas sobre la definición

Muchos autores utilizan otros términos en lugar de "función euclidiana", como "función de grado", "función de valoración", "función de calibre" o "función de norma". ^[2] Algunos autores también requieren que el dominio de la función euclidiana sea el anillo completo $R$ ; ^[2] sin embargo, esto no afecta esencialmente la definición, ya que (EF1) no involucra el valor de $f (0)$ . La definición a veces se generaliza permitiendo que la función euclidiana tome sus valores en cualquier conjunto bien ordenado ; este debilitamiento no afecta las implicaciones más importantes de la propiedad euclidiana.

La propiedad (EF1) se puede reformular de la siguiente manera: para cualquier ideal principal $I$ de $R$ con generador $b$ distinto de cero , todas las clases distintas de cero del anillo cociente $R / I$ $tienen un r$ representativo con $f (r) < f (b)$ . Dado que los valores posibles de $f$ están bien ordenados, esta propiedad se puede establecer mostrando que $f (r) < f (b)$ para cualquier $r \notin I$ con un valor mínimo de $f (r)$ en su clase. Tenga en cuenta que, para una función euclidiana así establecida, no es necesario que exista un método eficaz para determinar $q$ y $r$ en (EF1).

Ejemplos

Ejemplos de dominios euclidianos incluyen:

Cualquier campo. Defina $f (x) = 1$ para todos $los x$ distintos de cero .
$Z$ , el anillo de los números enteros. Definir $f (n) = | norte |$ , el valor absoluto de $n$ .^[3]
$Z [i]$ , el anillo de los enteros gaussianos . Defina $f (a + bi) = a 2 + b 2$ , la norma del entero gaussiano $a + bi$ .
$Z [ω]$ (donde $ω$ es una raíz cúbica de la unidad primitiva (no real ), el anillo de los números enteros de Eisenstein . Defina $f$ $($ $a$ $+$ $b$ $ω) =$ $a$ $2$ $-$ $ab$ $+$ $b$ $2$ , la norma del entero de Eisenstein $a$ $+$ $b$ $ω$ .
$K [X]$ , el anillo de polinomios sobre un campo $K$ . Para cada polinomio $P$ distinto de cero ,defina $f (P)$ como el grado de $P.$ ^[4]
$K [[X]]$ , el anillo de series de potencias formales sobre el campo $K$ . Para cada serie de potencias $P$ distinta de cero , defina $f (P)$ como el orden de $P$ , es decir, el grado de la potencia más pequeña deX $que$ ocurre en $P.$ En particular, para dos series de potencias distintas de cero $P$ y $Q$ , $f (P) \leq f (Q)$ si y solo si $P$ divide a $Q.$
Cualquier anillo de valoración discreto . Defina $f (x)$ como la potencia más alta del ideal máximo $M$ que contiene $x$ . De manera equivalente, sea $g$ un generador de $M$ y $v$ sea el entero único tal que $g v$ sea un asociado de $x$ , luego defina $f (x) = v$ . El ejemplo anterior $K [[X]]$ es un caso especial de esto.
Un dominio de Dedekind con un número finito de ideales primos distintos de cero $P$ $1$ $, ...,$ $P$ $n$ . Defina , donde $vi$ $es$ la valoración discreta correspondiente al $ideal$ $Pi$ . ^[5] $f(x)=\sum _ {i=1}^{n}v_ {i}(x)$

Ejemplos de dominios que no son dominios euclidianos incluyen:

Todo dominio que no sea un dominio ideal principal , como el anillo de polinomios en al menos dos indeterminados sobre un campo, o el anillo de polinomios univariados con coeficientes enteros , o el anillo numérico $Z [\sqrt -5]$ .
El anillo de números enteros de $Q (\sqrt -19)$ , formado por los números $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}a + b √ −19/2$ donde $a$ y $b$ son números enteros y ambos pares o ambos impares. Es un dominio ideal principal que no es euclidiano. Así lo demostró Theodore Motzkin y fue el primer caso conocido. ^[6]
El anillo $A = R [X, Y]/(X 2 + Y 2 + 1)$ también es un dominio ideal principal ^[7] que no es euclidiano. Para ver que no es un dominio euclidiano, basta demostrar que para cada primo distinto de cero , el mapa inducido por el mapa del cociente no es sobreyectivo . ^[8] $p\en A$ $A^{\times }\to (A/p)^{\times }$ $A\a A/p$

Propiedades

Sea R un dominio y f una función euclidiana sobre R. Entonces:

R es un dominio ideal principal (PID). De hecho, si I es un ideal distinto de cero de R , entonces cualquier elemento a de I \ {0} con un valor mínimo (en ese conjunto) de f ( a ) es un generador de I . ^[9] Como consecuencia, R también es un dominio de factorización único y un anillo noetheriano . Con respecto a los dominios ideales principales generales, la existencia de factorizaciones (es decir, que R es un dominio atómico ) es particularmente fácil de probar en los dominios euclidianos: eligiendo una función euclidiana f que satisfaga (EF2), x no puede tener ninguna descomposición en más de f ( x ) factores no unitarios, por lo que comenzar con x y descomponer repetidamente los factores reducibles seguramente producirá una factorización en elementos irreducibles .
Cualquier elemento de R en el que f toma su valor mínimo global es invertible en R. Si se elige una f que satisface (EF2), entonces lo contrario también se cumple, y f toma su valor mínimo exactamente en los elementos invertibles de R.
Si la división euclidiana es algorítmica, es decir, si existe un algoritmo para calcular el cociente y el resto, entonces se puede definir un algoritmo euclidiano extendido exactamente como en el caso de los números enteros. ^[10]
Si un dominio euclidiano no es un campo entonces tiene un elemento a con la siguiente propiedad: cualquier elemento x no divisible por a puede escribirse como x = ay + u para alguna unidad u y algún elemento y . Esto sigue tomando a como una no unidad con f ( a ) lo más pequeña posible. Esta extraña propiedad se puede utilizar para mostrar que algunos dominios ideales principales no son dominios euclidianos, ya que no todos los PID tienen esta propiedad. Por ejemplo, para d = −19, −43, −67, −163, el anillo de números enteros de es un PID que no es euclidiano, pero los casos d = −1, −2, −3, −7, −11 son euclidianas. ^[11] $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$

Sin embargo, en muchas extensiones finitas de Q con grupo de clases trivial , el anillo de números enteros es euclidiano (no necesariamente con respecto al valor absoluto de la norma de campo; ver más abajo). Suponiendo la hipótesis de Riemann extendida , si K es una extensión finita de Q y el anillo de números enteros de K es un PID con un número infinito de unidades, entonces el anillo de números enteros es euclidiano. ^[12] En particular, esto se aplica al caso de campos de números cuadráticos totalmente reales con grupo de clases trivial. Además (y sin asumir ERH), si el campo K es una extensión de Galois de Q , tiene un grupo de clase trivial y un rango de unidad estrictamente mayor que tres, entonces el anillo de números enteros es euclidiano. ^{[13] Un}corolario inmediato de esto es que si el campo numérico es Galois sobre Q , su grupo de clases es trivial y la extensión tiene un grado mayor que 8, entonces el anillo de números enteros es necesariamente euclidiano.

Campos normativos euclidianos

Los campos de números algebraicos K vienen con una función de norma canónica: el valor absoluto de la norma de campo N que lleva un elemento algebraico α al producto de todos los conjugados de α . Esta norma asigna el anillo de números enteros de un campo numérico K , digamos O _K , a los enteros racionales no negativos , por lo que es candidata a ser una norma euclidiana en este anillo. Si esta norma satisface los axiomas de una función euclidiana entonces el campo numérico K se llama norma-euclidiana o simplemente euclidiana . ^[14]^[15] Estrictamente hablando, lo que es euclidiano es el anillo de números enteros, ya que los campos son dominios trivialmente euclidianos, pero la terminología es estándar.

Si un campo no es norma euclidiano, eso no significa que el anillo de números enteros no sea euclidiano, solo que la norma del campo no satisface los axiomas de una función euclidiana. De hecho, los anillos de números enteros de campos numéricos se pueden dividir en varias clases:

Aquellos que no son principales y por tanto no euclidianos, como los números enteros de $\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)$
Los que son principales y no euclidianos, como los números enteros de $\mathbf {Q} ({\sqrt {-19}}\,)$
Aquellos que son euclidianos y no euclidianos normativos, como los números enteros de ^[16] $\mathbf {Q} ({\sqrt {69}}\,)$
Aquellos que son de norma euclidiana, como los enteros gaussianos (enteros de ) $\mathbf {Q} ({\sqrt {-1}}\,)$

Los campos cuadráticos normativos euclidianos se han clasificado completamente; son de donde toman los valores $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ $d$

−11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (secuencia A048981 en la OEIS ). ^[17]

Cada campo cuadrático imaginario euclidiano es norma-euclidiano y es uno de los cinco primeros campos de la lista anterior.

Ver también

Valoración (álgebra)

Notas

^ Rogers, Kenneth (1971), "Los axiomas de los dominios euclidianos", American Mathematical Monthly , 78 (10): 1127–8, doi :10.2307/2316324, JSTOR 2316324, Zbl 0227.13007
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^ Fraleigh y Katz 1967, pág. 377, Ejemplo 1
^ Fraleigh y Katz 1967, pág. 377, Ejemplo 2
^ Samuel, Pierre (1 de octubre de 1971). "Acerca de los anillos euclidianos". Revista de Álgebra . 19 (2): 282–301 (pág. 285). doi : 10.1016/0021-8693(71)90110-4 . ISSN 0021-8693.
^ Motzkin, Th (diciembre de 1949). "El algoritmo euclidiano". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 55 (12): 1142-1146. ISSN 0002-9904.
^ Pedro, Samuel (1964). Conferencias sobre dominios de factorización únicos (PDF) . Instituto Tata de Investigaciones Fundamentales. págs. 27-28.
^ "¿Cociente de polinomios, PID pero no dominio euclidiano?".
^ Fraleigh y Katz 1967, pág. 377, Teorema 7.4
^ Fraleigh y Katz 1967, pág. 380, Teorema 7.7
^ Motzkin, Theodore (1949), "El algoritmo euclidiano", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 55 (12): 1142–6, doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09344-8 , Zbl 0035.30302
^ Weinberger, Peter J. (1973), "Sobre los anillos euclidianos de enteros algebraicos", Actas de simposios en matemáticas puras , 24 , AMS: 321–332, doi :10.1090/pspum/024/0337902, ISBN 9780821814246
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Referencias

Fraleigh, John B.; Katz, Víctor J. (1967). Un primer curso de álgebra abstracta (5ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-53467-3.
Samuel, Pierre (1971). "Acerca de los anillos euclidianos" (PDF) . Revista de Álgebra . 19 (2): 282–301. doi : 10.1016/0021-8693(71)90110-4 . Archivado desde el original (PDF) el 6 de mayo de 2021 . Consultado el 24 de abril de 2021 .