campo cuadrático

Campo (matemáticas) generado por la raíz cuadrada de un número entero

En teoría algebraica de números , un campo cuadrático es un campo numérico algebraico de grado dos sobre los números racionales . ${\displaystyle \mathbf {Q} }$

Cada uno de estos campos cuadráticos es un lugar donde hay un entero libre de cuadrados (definido de forma única) diferente de y . Si , el campo cuadrático correspondiente se llama campo cuadrático real , y, si , se llama campo cuadrático imaginario o campo cuadrático complejo , correspondiente a si es o no un subcampo del campo de los números reales . ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle d<0}$

Los campos cuadráticos se han estudiado con gran profundidad, inicialmente como parte de la teoría de las formas cuadráticas binarias . Quedan algunos problemas sin resolver. El problema del número de clase es particularmente importante.

Anillo de números enteros

discriminante

Para un entero libre cuadrado distinto de cero , el discriminante del campo cuadrático es si es congruente con el módulo y en caso contrario . Por ejemplo, si es , entonces es el campo de los racionales gaussianos y el discriminante es . La razón de tal distinción es que el anillo de números enteros de se genera por en el primer caso y por en el segundo caso. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 4d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle -4}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (1+{\sqrt {d}})/2}$ ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$

El conjunto de discriminantes de campos cuadráticos es exactamente el conjunto de discriminantes fundamentales .

Factorización prima en ideales

Cualquier número primo da lugar a un ideal en el anillo de los números enteros de un campo cuadrático . De acuerdo con la teoría general de la división de ideales primos en extensiones de Galois , esto puede ser ^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p{\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle p}$es inerte

${\displaystyle (p)}$es un ideal primordial.

El anillo cociente es el campo finito con elementos: . ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p^{2}}}$

${\displaystyle p}$ se divide

${\displaystyle (p)}$es un producto de dos ideales primos distintos de . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

El anillo cociente es el producto . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}=\mathbf {F} _{p}\times \mathbf {F} _{p}}$

${\displaystyle p}$esta ramificado

${\displaystyle (p)}$es el cuadrado de un ideal primo de . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

El anillo cociente contiene elementos nilpotentes distintos de cero .

El tercer caso ocurre si y sólo si divide al discriminante . El primer y segundo caso ocurren cuando el símbolo de Kronecker es igual a y , respectivamente. Por ejemplo, si es un número primo impar que no se divide , entonces se divide si y solo si es congruente con un módulo cuadrado . En cierto sentido, los dos primeros casos tienen la misma probabilidad de ocurrir cuando pasan por los números primos (véase el teorema de densidad de Chebotarev ). ^[2] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (D/p)}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

La ley de reciprocidad cuadrática implica que el comportamiento de división de un primo en un campo cuadrático depende sólo del módulo , donde es el campo discriminante. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

grupo de clase

La determinación del grupo de clases de una extensión de campo cuadrático se puede lograr utilizando la cota de Minkowski y el símbolo de Kronecker debido a la finitud del grupo de clases . ^[3] Un campo cuadrático tiene discriminante ${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$

$${\displaystyle \Delta _{K}={\begin{cases}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}};\end{cases}}}$$

^[4]

$${\displaystyle M_{K}={\begin{cases}2{\sqrt {|\Delta |}}/\pi &d<0\\{\sqrt {|\Delta |}}/2&d>0.\end{cases}}}$$

Entonces, el grupo de clases ideal está generado por los ideales primos cuya norma es menor que . Esto se puede hacer observando la descomposición de los ideales para primos donde ^{[1] página 72} Estas descomposiciones se pueden encontrar usando el teorema de Dedekind-Kummer . ${\displaystyle M_{K}}$ ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle p\in \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle |p|<M_{k}.}$

Subcampos cuadráticos de campos ciclotómicos.

El subcampo cuadrático del campo ciclotómico principal.

Un ejemplo clásico de la construcción de un campo cuadrático es tomar el campo cuadrático único dentro del campo ciclotómico generado por una raíz primitiva de la unidad, con un número primo impar. La unicidad es una consecuencia de la teoría de Galois , existiendo un único subgrupo de índice en el grupo de Galois . Como se explicó en el período gaussiano , el discriminante del campo cuadrático es for y for . Esto también puede predecirse a partir de la teoría de la ramificación . De hecho, es el único primo que se ramifica en el campo ciclotómico, por lo que es el único primo que puede dividir el campo cuadrático discriminante. Eso descarta a los 'otros' discriminantes y en los casos respectivos. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=4n+1}$ ${\displaystyle -p}$ ${\displaystyle p=4n+3}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle -4p}$ ${\displaystyle 4p}$

Otros campos ciclotómicos

Si se toman los otros campos ciclotómicos, tienen grupos de Galois con torsión adicional, por lo que contienen al menos tres campos cuadráticos. En general, se puede obtener un campo cuadrático de campo discriminante como subcampo de un campo ciclotómico de raíces de la unidad. Esto expresa el hecho de que el conductor de un campo cuadrático es el valor absoluto de su discriminante, un caso especial de la fórmula conductor-discriminante . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

Órdenes de campos numéricos cuadráticos de discriminante pequeño

La siguiente tabla muestra algunos órdenes de discriminante pequeño de campos cuadráticos. El orden máximo de un campo numérico algebraico es su anillo de números enteros , y el discriminante del orden máximo es el discriminante del campo. El discriminante de orden no máximo es el producto del discriminante del orden máximo correspondiente por el cuadrado del determinante de la matriz que expresa una base de orden no máximo sobre una base de orden máximo. Todos estos discriminantes pueden definirse mediante la fórmula de Discriminante de un campo numérico algebraico § Definición .

Para anillos de enteros cuadráticos reales, el número de clase ideal , que mide el fallo de la factorización única, se proporciona en OEIS A003649; para el caso imaginario, se dan en OEIS A000924.

Algunos de estos ejemplos se enumeran en Artin, Algebra (2ª ed.), §13.8.

Ver también

• Número de Eisenstein-Kronecker
• Carácter de género
• número de heegner
• Infraestructura (teoría de números)
• Entero cuadrático
• irracional cuadrático
• Teorema de Stark-Heegner
• Función zeta de Dedekind
• Campo cuadráticamente cerrado

Notas

1. Stevenhagen. "Anillos de números" (PDF) . pag. 36.
2. Samuel 1972, págs.76 y siguientes
3. Stein, William. "Teoría algebraica de números, un enfoque computacional" (PDF) . págs. 77–86.
4. Conrado, Keith. «CÁLCULOS DE GRUPO DE CLASES» (PDF) .

Referencias

• Buell, Duncan (1989), Formas cuadráticas binarias: teoría clásica y cálculos modernos , Springer-Verlag , ISBN 0-387-97037-1Capítulo 6.
• Samuel, Pierre (1972), Teoría algebraica de números (Edición de tapa dura), París / Boston: Hermann / Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-901-66506-5
  • Samuel, Pierre (2008), Teoría algebraica de números (edición de bolsillo), Dover, ISBN 978-0-486-46666-8
• Stewart, IN ; Tall, DO (1979), Teoría algebraica de números , Chapman y Hall, ISBN 0-412-13840-9Capítulo 3.1.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Campo cuadrático". MundoMatemático .
• "Campo cuadrático", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]