Fórmula discriminante de conductores

En matemáticas , la fórmula conductor-discriminante o Führerdiskriminantenproduktformel , introducida por Hasse  (1926, 1930) para las extensiones abelianas y por Artin  (1931) para las extensiones de Galois, es una fórmula que calcula el discriminante relativo de una extensión finita de Galois de campos locales o globales a partir de los Artin directores de los personajes irreductibles del grupo Galois . ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \mathrm {Irr} (G)}$ ${\displaystyle G=G(L/K)}$

Declaración

Sea una extensión finita de Galois de campos globales con el grupo de Galois . Entonces el discriminante es igual ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathfrak {d}}_{L/K}=\prod _{\chi \in \mathrm {Irr} (G)}{\mathfrak {f}}(\chi )^{\chi (1)},}$

donde es igual al conductor global de Artin de . ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\chi )}$ ${\displaystyle \chi }$

Ejemplo

Sea una extensión ciclotómica de los racionales. El grupo de Galois es igual a . Como el único primo finito es ramificado, el conductor global de Artin es igual al local . Como es abeliano, todo carácter irreductible no trivial es de grado . Entonces, el conductor local de Artin de es igual al conductor de la terminación -ádica de , es decir , donde está el número natural más pequeño tal que . Si , el grupo de Galois es cíclico de orden , y mediante la teoría de campos de clases locales y usándola se ve fácilmente que si se factoriza a través de un carácter primitivo de , entonces , como hay caracteres primitivos de que obtenemos de la fórmula , el exponente es ${\displaystyle L=\mathbf {Q} (\zeta _{p^{n}})/\mathbf {Q} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (\mathbf {Z} /p^{n})^{\times }}$ ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\chi )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{(p)}(\chi )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle 1=\chi (1)}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle L^{\chi }=L^{\mathrm {ker} (\chi )}/\mathbf {Q} }$ ${\displaystyle (p)^{n_{p}}}$ ${\displaystyle n_{p}}$ ${\displaystyle U_{\mathbf {Q} _{p}}^{(n_{p})}\subseteq N_{L_{\mathfrak {p}}^{\chi }/\mathbf {Q} _{p}}(U_{L_{\mathfrak {p}}^{\chi }})}$ ${\displaystyle p>2}$ ${\displaystyle G(L_{\mathfrak {p}}/\mathbf {Q} _{p})=G(L/\mathbf {Q} _{p})=(\mathbf {Z} /p^{n})^{\times }}$ ${\displaystyle \varphi (p^{n})}$ ${\displaystyle U_{\mathbf {Q} _{p}}/U_{\mathbf {Q} _{p}}^{(k)}=(\mathbf {Z} /p^{k})^{\times }}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle (\mathbf {Z} /p^{i})^{\times }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{(p)}(\chi )=p^{i}}$ ${\displaystyle \varphi (p^{i})-\varphi (p^{i-1})}$ ${\displaystyle (\mathbf {Z} /p^{i})^{\times }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {d}}_{L/\mathbf {Q} }=(p^{\varphi (p^{n})(n-1/(p-1))})}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(\varphi (p^{i})-\varphi (p^{i-1}))i=n\varphi (p^{n})-1-(p-1)\sum _{i=0}^{n-2}p^{i}=n\varphi (p^{n})-p^{n-1}.}$

Notas

1. Neukirch 1999, VII.11.9.

Referencias

• Artin, Emil (1931), "Die gruppentheoretische Struktur der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper.", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 1931 (164): 1–11, doi :10.1515/crll.1931.164.1, ISSN  0075-4102, S2CID  117731518, Zbl  0001.00801
• Hasse, H. (1926), "Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper. I: Klassenkörpertheorie.", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán), 35 : 1–55
• Hasse, H. (1930), "Führer, Diskriminante und Verzweigungskörper relativ-Abelscher Zahlkörper.", Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán), 1930 (162): 169–184, doi :10.1515/crll.1930.162. 169, ISSN  0075-4102, S2CID  199546442
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol. 322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. SEÑOR  1697859. Zbl  0956.11021.