Campo cuadráticamente cerrado

En matemáticas , un campo cuadráticamente cerrado es un campo de característica distinta de 2 en el que cada elemento tiene una raíz cuadrada . ^{[1] [2]}

Ejemplos

• El campo de los números complejos es cuadráticamente cerrado; más generalmente, cualquier campo algebraicamente cerrado es cuadráticamente cerrado.
• El campo de los números reales no es cuadráticamente cerrado ya que no contiene una raíz cuadrada de −1.
• La unión de los campos finitos para n  ≥ 0 es cuadráticamente cerrada pero no algebraicamente cerrada. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {F} _{5^{2^{n}}}}$
• El campo de los números construibles es cuadráticamente cerrado pero no algebraicamente cerrado. ^[4]

Propiedades

• Un campo es cuadráticamente cerrado si y sólo si tiene invariante universal igual a 1.
• Todo cuerpo cuadráticamente cerrado es un cuerpo pitagórico , pero no a la inversa (por ejemplo, R es pitagórico); sin embargo, todo cuerpo pitagórico no formalmente real es cuadráticamente cerrado. ^[2]
• Un campo está cuadráticamente cerrado si y sólo si su anillo de Witt-Grothendieck es isomorfo a Z bajo la función de dimensión. ^[3]
• Un campo euclidiano formalmente real E no es cuadráticamente cerrado (ya que −1 no es un cuadrado en E ) pero la extensión cuadrática E ( √ −1 ) es cuadráticamente cerrada. ^[4]
• Sea E / F una extensión finita donde E es cuadráticamente cerrado. O bien −1 es un cuadrado en F y F es cuadráticamente cerrado, o bien −1 no es un cuadrado en F y F es euclidiana. Este "teorema de descenso" puede deducirse del teorema de Diller-Dress . ^[5]

Cierre cuadrático

Un cierre cuadrático de un cuerpo F es un cuerpo cuadráticamente cerrado que contiene a F y que se integra en cualquier cuerpo cuadráticamente cerrado que contenga a F. Un cierre cuadrático para cualquier F dado puede construirse como un subcuerpo del cierre algebraico F ^alg de F , como la unión de todas las extensiones cuadráticas iteradas de F en F ^alg . ^[4]

Ejemplos

• El cierre cuadrático de R es C . ^[4]
• El cierre cuadrático de es la unión de los . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {F} _{5}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{5^{2^{n}}}}$
• El cierre cuadrático de Q es el campo de números complejos construibles .

Referencias

1. Lam (2005) pág. 33
2. Rajwade (1993) pág. 230
3. Lam (2005) pág. 34
4. Lam (2005) pág. 220
5. Lam (2005) pág. 270

• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre cuerpos . Estudios de posgrado en matemáticas . Vol. 67. American Mathematical Society. ISBN. 0-8218-1095-2.MR  2104929.Zbl 1068.11023  .​
• Rajwade, AR (1993). Squares . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Vol. 171. Cambridge University Press . ISBN. 0-521-42668-5.Zbl 0785.11022  .