Campo cuadráticamente cerrado

En matemáticas , un campo cuadráticamente cerrado es un campo en el que cada elemento tiene una raíz cuadrada . ^{[1] [2]}

Ejemplos

• El campo de los números complejos es cuadráticamente cerrado; De manera más general, cualquier campo algebraicamente cerrado es cuadráticamente cerrado.
• El campo de los números reales no es cuadráticamente cerrado ya que no contiene una raíz cuadrada de −1.
• La unión de los cuerpos finitos para n  ≥ 0 es cuadráticamente cerrada pero no algebraicamente cerrada. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {F} _{5^{2^{n}}}}$
• El campo de números construibles es cuadráticamente cerrado pero no algebraicamente cerrado. ^[4]

Propiedades

• Un campo es cuadráticamente cerrado si y sólo si tiene un invariante universal igual a 1.
• Todo cuerpo cuadráticamente cerrado es un cuerpo pitagórico, pero no a la inversa (por ejemplo, R es pitagórico); sin embargo, todo campo pitagórico no formalmente real es cuadráticamente cerrado. ^[2]
• Un campo es cuadráticamente cerrado si y sólo si su anillo de Witt-Grothendieck es isomorfo a Z bajo el mapeo de dimensiones. ^[3]
• Un campo euclidiano formalmente real E no está cuadráticamente cerrado (ya que −1 no es un cuadrado en E ) pero la extensión cuadrática E ( √ −1 ) está cuadráticamente cerrada. ^[4]
• Sea E / F una extensión finita donde E es cuadráticamente cerrado. O −1 es un cuadrado en F y F es cuadráticamente cerrado, o −1 no es un cuadrado en F y F es euclidiano. Este "teorema de descenso" puede deducirse del teorema de Diller-Dress . ^[5]

cierre cuadrático

Un cierre cuadrático de un campo F es un campo cuadráticamente cerrado que contiene F que se incrusta en cualquier campo cuadráticamente cerrado que contiene F . Se puede construir un cierre cuadrático para cualquier F dado como un subcampo del cierre algebraico F ^alg de F , como la unión de todas las extensiones cuadráticas iteradas de F en F ^alg . ^[4]

Ejemplos

• La clausura cuadrática de R es C . ^[4]
• La clausura cuadrática de es la unión de . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {F} _{5}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{5^{2^{n}}}}$
• La clausura cuadrática de Q es el cuerpo de números complejos construibles .

Referencias

1. Lam (2005) pág. 33
2. Rajwade (1993) pág. 230
3. Lam (2005) pág. 34
4. Lam (2005) pág. 220
5. Lam (2005) p.270

• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre campos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 67. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1095-2. SEÑOR  2104929. Zbl  1068.11023.
• Rajwade, AR (1993). Cuadrados . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 171. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-42668-5. Zbl  0785.11022.