El teorema de densidad de Chebotarev en teoría algebraica de números describe estadísticamente la división de números primos en una extensión de Galois K dada del campo de números racionales . En términos generales, un número primo entero se factorizará en varios primos ideales en el anillo de números enteros algebraicos de K. Sólo hay un número finito de patrones de división que pueden ocurrir. Aunque la descripción completa de la división de cada primo p en una extensión general de Galois es un problema importante sin resolver, el teorema de densidad de Chebotarev dice que la frecuencia de aparición de un patrón dado, para todos los primos p menores que un entero grande N , tiende a hasta un cierto límite cuando N tiende al infinito. Esto fue demostrado por Nikolai Chebotaryov en su tesis de 1922, publicada en (Tschebotareff 1926).
Un caso especial que es más fácil de enunciar dice que si K es un campo numérico algebraico que es una extensión de Galois de grado n , entonces los números primos que se dividen completamente en K tienen densidad.
entre todos los primos. De manera más general, el comportamiento de división se puede especificar asignando a (casi) cada número primo un invariante, su elemento de Frobenius , que es un representante de una clase de conjugación bien definida en el grupo de Galois.
Entonces el teorema dice que la distribución asintótica de estos invariantes es uniforme en todo el grupo, de modo que una clase de conjugación con k elementos ocurre con frecuencia asintótica a
Cuando Carl Friedrich Gauss introdujo por primera vez la noción de números enteros complejos Z [ i ], observó que los números primos ordinarios pueden factorizarse aún más en este nuevo conjunto de números enteros. De hecho, si un número primo p es congruente con 1 mod 4, entonces se factoriza en un producto de dos enteros primos gaussianos distintos, o "se divide por completo"; si p es congruente con 3 mod 4, entonces sigue siendo primo o es "inerte"; y si p es 2 entonces se convierte en un producto del cuadrado del primo (1+i) y el entero gaussiano invertible -i ; decimos que 2 "ramifica". Por ejemplo,
De esta descripción, parece que cuando se consideran números primos cada vez más grandes, la frecuencia de una división de números primos se acerca completamente a 1/2, y lo mismo ocurre con los números primos que siguen siendo primos en Z [ i ]. El teorema de Dirichlet sobre las progresiones aritméticas demuestra que éste es efectivamente el caso. Aunque los números primos aparecen de forma bastante errática, la división de los números primos en la extensión
sigue una ley estadística simple.
Leyes estadísticas similares también se aplican a la división de números primos en las extensiones ciclotómicas , obtenidas del campo de números racionales uniendo una raíz primitiva de unidad de un orden dado. Por ejemplo, los números primos enteros ordinarios se agrupan en cuatro clases, cada una con una probabilidad de 1/4, según su patrón de división en el anillo de números enteros correspondientes a las raíces octavas de la unidad. En este caso, la extensión de campo tiene grado 4 y es abeliana , con el grupo de Galois isomorfo al grupo de cuatro de Klein . Resultó que el grupo de Galois de la extensión juega un papel clave en el patrón de división de los números primos. Georg Frobenius estableció el marco para investigar este patrón y demostró un caso especial del teorema. La afirmación general fue demostrada por Nikolai Grigoryevich Chebotaryov en 1922.
El teorema de densidad de Chebotarev puede verse como una generalización del teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas . Una forma cuantitativa del teorema de Dirichlet establece que si N ≥ 2 es un número entero y a es coprimo de N , entonces la proporción de los primos p congruentes con un mod N es asintótica a 1/ n , donde n =φ( N ) es el Función del paciente de Euler . Este es un caso especial del teorema de densidad de Chebotarev para el enésimo campo ciclotómico K. De hecho, el grupo Galois de K / Q es abeliano y puede identificarse canónicamente con el grupo de clases de residuos invertibles mod N. La invariante de división de un primo p que no divide a N es simplemente su clase de residuo porque el número de primos distintos en los que p se divide es φ ( N )/m, donde m es el orden multiplicativo de p módulo N; por lo tanto , según el teorema de densidad de Chebotarev, los primos están asintóticamente distribuidos uniformemente entre diferentes clases de residuos coprimos a N.
En su artículo de estudio, Lenstra y Stevenhagen (1996) dan un resultado anterior de Frobenius en esta área. Supongamos que K es una extensión de Galois del campo de números racionales Q , y P ( t ) un polinomio entero mónico tal que K es un campo de división de P. Tiene sentido factorizar P módulo de un número primo p . Su 'tipo de división' es la lista de grados de factores irreducibles de P mod p , es decir, P factoriza de alguna manera sobre el campo primo F p . Si n es el grado de P , entonces el tipo de división es una partición Π de n . Considerando también el grupo de Galois G de K sobre Q , cada g en G es una permutación de las raíces de P en K ; en otras palabras, al elegir un ordenamiento de α y sus conjugados algebraicos , G se representa fielmente como un subgrupo del grupo simétrico S n . Podemos escribir g mediante su representación de ciclo , que da un 'tipo de ciclo' c ( g ), nuevamente una partición de n .
El teorema de Frobenius establece que para cualquier elección dada de Π, los primos p para los cuales el tipo de división de P mod p es Π tiene una densidad natural δ, con δ igual a la proporción de g en G que tienen tipo de ciclo Π.
El enunciado del teorema de Chebotarev más general es en términos del elemento de Frobenius de un primo (ideal), que de hecho es una clase de conjugación asociada C de elementos del grupo de Galois G. Si fijamos C entonces el teorema dice que asintóticamente una proporción | C |/| GRAMO | de los números primos tienen asociado el elemento de Frobenius como C. Cuando G es abeliano, las clases, por supuesto, tienen tamaño 1. Para el caso de un grupo no abeliano de orden 6, tienen tamaño 1, 2 y 3, y correspondientemente (por ejemplo) hay un 50% de primos p que tienen un Ordene 2 elementos como su Frobenius. Entonces, estos primos tienen un residuo de grado 2, por lo que se dividen en exactamente tres ideales primos en una extensión de grado 6 de Q con él como grupo de Galois. [1]
Sea L una extensión finita de Galois de un campo numérico K con grupo de Galois G. Sea X un subconjunto de G que es estable bajo conjugación. El conjunto de primos v de K que no están ramificados en L y cuya clase de conjugación de Frobenius asociada F v está contenida en X tiene densidad
La afirmación es válida cuando la densidad se refiere a la densidad natural o a la densidad analítica del conjunto de números primos. [3]
La hipótesis de Riemann generalizada implica una versión efectiva [4] del teorema de densidad de Chebotarev: si L / K es una extensión finita de Galois con grupo de Galois G , y C una unión de clases de conjugación de G , el número de primos no ramificados de K de norma debajo de x con la clase de conjugación de Frobenius en C es
donde la constante implícita en la notación O grande es absoluta, n es el grado de L sobre Q y Δ su discriminante.
La forma efectiva de la teoría de la densidad de Chebotarev se vuelve mucho más débil sin GRH. Considere L como una extensión finita de Galois de Q con grupo de Galois G y grado d . Tómelo como una representación irreducible no trivial de G de grado n , y tómelo como el conductor Artin de esta representación. Supongamos que, para una subrepresentación de o , es completa; es decir, la conjetura de Artin se cumple para todos . Toma como personaje asociado a . Entonces hay un positivo absoluto tal que, para ,
donde es 1 si es trivial y en caso contrario es 0, y donde es un cero real excepcional de ; si no existe tal cero, el término puede ignorarse. La constante implícita de esta expresión es absoluta. [5]
El enunciado del teorema de densidad de Chebotarev se puede generalizar al caso de una extensión infinita de Galois L / K que no está ramificada fuera de un conjunto finito S de primos de K (es decir, si hay un conjunto finito S de primos de K tal que cualquier primo de K que no está en S no está ramificado en la extensión L / K ). En este caso, el grupo Galois G de L / K es un grupo profinito equipado con la topología Krull. Dado que G es compacto en esta topología, existe una medida de Haar μ única en G. Para cada primo v de K que no está en S hay una clase de conjugación de Frobenius asociada F v . El teorema de densidad de Chebotarev en esta situación se puede expresar de la siguiente manera: [2]
Esto se reduce al caso finito cuando L / K es finito (la medida de Haar es entonces solo la medida de conteo).
Una consecuencia de esta versión del teorema es que los elementos de Frobenius de los primos no ramificados de L son densos en G.
El teorema de densidad de Chebotarev reduce el problema de clasificar las extensiones de Galois de un cuerpo numérico al de describir la división de números primos en extensiones. Específicamente, implica que, como extensión de Galois de K , L está determinada únicamente por el conjunto de números primos de K que se dividen completamente en él. [6] Un corolario relacionado es que si casi todos los ideales primos de K se dividen completamente en L , entonces, de hecho , L = K. [7]
![{\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3654328584baa5dc58cd9e6155923a5819c078)
