período gaussiano

En matemáticas , en el área de la teoría de números , un período gaussiano es un cierto tipo de suma de raíces de unidad . Los períodos permiten cálculos explícitos en campos ciclotómicos relacionados con la teoría de Galois y con el análisis armónico ( transformada discreta de Fourier ). Son básicos en la teoría clásica llamada ciclotomía . Estrechamente relacionada está la suma de Gauss , un tipo de suma exponencial que es una combinación lineal de períodos.

Historia

Como sugiere el nombre, los períodos fueron introducidos por Gauss y fueron la base de su teoría de la construcción con compás y regla . Por ejemplo, la construcción del heptadecágono (una fórmula que impulsó su reputación) dependía del álgebra de dichos períodos, de los cuales

${\displaystyle 2\cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)=\zeta +\zeta ^{16}\,}$

es un ejemplo que involucra la raíz decimoséptima de la unidad

${\displaystyle \zeta =\exp \left({\frac {2\pi i}{17}}\right).}$

Definición general

Dado un número entero n > 1, sea H cualquier subgrupo del grupo multiplicativo

${\displaystyle G=(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$

de residuos invertibles módulo n , y sea

${\displaystyle \zeta =\exp \left({\frac {2\pi i}{n}}\right).}$

Un período gaussiano P es una suma de las n-ésimas raíces primitivas de la unidad , donde recorre todos los elementos en una clase lateral fija de H en G. ${\displaystyle \zeta ^{a}}$ ${\displaystyle a}$

La definición de P también puede expresarse en términos de la traza del campo . Tenemos

${\displaystyle P=\operatorname {Tr} _{\mathbb {Q} (\zeta )/L}(\zeta ^{j})}$

para algún subcampo L de Q (ζ) y algún j coprimo a n . Esto corresponde a la definición anterior al identificar G y H con los grupos de Galois de Q (ζ)/ Q y Q (ζ)/ L , respectivamente. La elección de j determina la elección de la clase lateral de H en G en la definición anterior.

Ejemplo

La situación es más simple cuando n es un número primo p > 2. En ese caso G es cíclico de orden p − 1 y tiene un subgrupo H de orden d para cada factor d de p − 1. Por ejemplo, podemos tomar H del índice dos. En ese caso H consta de residuos cuadráticos módulo p . Correspondiente a esta H tenemos el periodo gaussiano

${\displaystyle P=\zeta +\zeta ^{4}+\zeta ^{9}+\cdots }$

sumado sobre ( p − 1)/2 residuos cuadráticos, y el otro período P* sumado sobre los ( p − 1)/2 no residuos cuadráticos. Es fácil ver eso

${\displaystyle P+P^{*}=-1}$

ya que el lado izquierdo suma todas las raíces p -ésimas primitivas de 1. También sabemos, por la definición de la traza, que P se encuentra en una extensión cuadrática de Q. Por lo tanto, como sabía Gauss, P satisface una ecuación cuadrática con coeficientes enteros. La evaluación del cuadrado de la suma P está relacionada con el problema de contar cuántos residuos cuadráticos entre 1 y p − 1 son seguidos por residuos cuadráticos. La solución es elemental (como diríamos ahora, calcula una función zeta local , para una curva que es cónica ). Uno tiene

( P − P *) ² = p o − p , para p = 4 m + 1 o 4 m + 3 respectivamente.

Por lo tanto, esto nos da información precisa sobre qué campo cuadrático se encuentra en Q (ζ). (Eso podría derivarse también mediante argumentos de ramificación en la teoría algebraica de números ; ver campo cuadrático ).

Como finalmente demostró Gauss, para evaluar P − P *, la raíz cuadrada correcta a tomar es la positiva (resp. i multiplicada por la real positiva), en los dos casos. Así, el valor explícito del período P viene dado por

${\displaystyle P={\begin{cases}{\frac {-1+{\sqrt {p}}}{2}},&{\text{if }}p=4m+1,\\[6pt]{\frac {-1+i{\sqrt {p}}}{2}},&{\text{if }}p=4m+3.\end{cases}}}$

Sumas de Gauss

Como se analiza con más detalle a continuación, los períodos gaussianos están estrechamente relacionados con otra clase de sumas de raíces de unidad, ahora generalmente llamadas sumas gaussianas (a veces sumas gaussianas ). La cantidad P − P * presentada anteriormente es una suma de Gauss cuadrática mod p , el ejemplo no trivial más simple de una suma de Gauss. Se observa que P − P * también puede escribirse como

${\displaystyle \sum \chi (a)\zeta ^{a}}$

donde aquí representa el símbolo de Legendre ( a / p ), y la suma se toma sobre las clases de residuos módulo p . De manera más general, dado un carácter de Dirichlet χ mod n , la suma de Gauss mod n asociada con χ es ${\displaystyle \chi (a)}$

${\displaystyle G(k,\chi )=\sum _{m=1}^{n}\chi (m)\exp \left({\frac {2\pi imk}{n}}\right).}$

Para el caso especial del personaje principal de Dirichlet , la suma de Gauss se reduce a la suma de Ramanujan : ${\displaystyle \chi =\chi _{1}}$

${\displaystyle G(k,\chi _{1})=c_{n}(k)=\sum _{m=1;(m,n)=1}^{n}\exp \left({\frac {2\pi imk}{n}}\right)=\sum _{d|(n,k)}d\mu \left({\frac {n}{d}}\right)}$

donde μ es la función de Möbius .

Las sumas de Gauss son omnipresentes en la teoría de números; por ejemplo , aparecen significativamente en las ecuaciones funcionales de funciones L. (Las sumas de Gauss son, en cierto sentido, los análogos de campo finito de la función gamma . ^{[ aclaración necesaria ] [ cita necesaria ]} ) ${\displaystyle G(k,\chi )}$

Relación de períodos gaussianos y sumas de Gauss

Los períodos gaussianos están relacionados con las sumas de Gauss para las cuales el carácter χ es trivial en H. Tal χ toma el mismo valor en todos los elementos a en una clase lateral fija de H en G. Por ejemplo, el carácter cuadrático mod p descrito anteriormente toma el valor 1 en cada residuo cuadrático y toma el valor -1 en cada no residuo cuadrático. Por tanto , la suma de Gauss se puede escribir como una combinación lineal de períodos gaussianos (con coeficientes χ ( a )); lo contrario también es cierto, como consecuencia de las relaciones de ortogonalidad para el grupo ( Z / n Z ) ^× . En otras palabras, los períodos gaussianos y las sumas de Gauss son las transformadas de Fourier de cada uno . Los períodos gaussianos generalmente se encuentran en campos más pequeños, ya que, por ejemplo, cuando n es un p primo , los valores χ( a ) son ( p − 1)-ésimas raíces de la unidad. Por otro lado, las sumas de Gauss tienen propiedades algebraicas más agradables. ${\displaystyle G(1,\chi )}$ ${\displaystyle G(1,\chi )}$

Referencias

• H. Davenport, HL Montgomery (2000). Teoría de números multiplicativos . Saltador. pag. 18.ISBN​ 0-387-95097-4.