En geometría , la construcción con regla y compás (también conocida como construcción con regla y compás , construcción euclidiana o construcción clásica ) es la construcción de longitudes, ángulos y otras figuras geométricas utilizando únicamente una regla idealizada y un compás .
Se supone que la regla idealizada, conocida como regla , tiene una longitud infinita, tiene un solo borde y no tiene marcas. Se supone que la brújula no tiene radio máximo ni mínimo y se supone que se "colapsa" cuando se levanta de la página, por lo que no se puede utilizar directamente para transferir distancias. (Esta es una restricción sin importancia ya que, usando un procedimiento de varios pasos, una distancia se puede transferir incluso con un compás plegable; consulte el teorema de equivalencia de la brújula . Tenga en cuenta, sin embargo, que si bien un compás que no se dobla sostenido contra una regla puede parecer equivalente a marcándolo, la construcción neusis sigue siendo inadmisible y esto es lo que realmente significa sin marcar: ver Reglas marcables más abajo.) Más formalmente, las únicas construcciones permitidas son aquellas otorgadas por los primeros tres postulados de los Elementos de Euclides .
Resulta que cada punto que se puede construir usando regla y compás también se puede construir usando solo compás , o solo con regla si se le da un solo círculo y su centro.
Los antiguos matemáticos griegos fueron los primeros en concebir construcciones con regla y compás, y una serie de problemas antiguos de geometría plana imponen esta restricción. Los antiguos griegos desarrollaron muchas construcciones, pero en algunos casos no pudieron hacerlo. Gauss demostró que algunos polígonos son construibles pero la mayoría no. Pierre Wantzel demostró que algunos de los problemas más famosos de regla y compás eran imposibles en 1837 utilizando la teoría de campos , es decir, trisecar un ángulo arbitrario y duplicar el volumen de un cubo (ver § construcciones imposibles). Muchos de estos problemas se pueden resolver fácilmente siempre que se permitan otras transformaciones geométricas; por ejemplo, la construcción de neusis se puede utilizar para resolver los dos primeros problemas.
En términos de álgebra , una longitud es construible si y solo si representa un número construible , y un ángulo es construible si y solo si su coseno es un número construible. Un número es construible si y sólo si se puede escribir utilizando las cuatro operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas, pero no de raíces de orden superior.
La "regla" y el "compás" de las construcciones con regla y compás son versiones idealizadas de reglas y compases del mundo real .
Los compases reales no colapsan y las construcciones geométricas modernas suelen utilizar esta característica. Una "brújula colapsable" parece ser un instrumento menos poderoso. Sin embargo, según el teorema de equivalencia de la brújula de la Proposición 2 del Libro 1 de los Elementos de Euclides , no se pierde potencia al utilizar una brújula que colapsa. Aunque la proposición es correcta, sus pruebas tienen una historia larga y accidentada. [1] En cualquier caso, la equivalencia es la razón por la cual esta característica no está estipulada en la definición de brújula ideal.
Cada construcción debe ser matemáticamente exacta . No se permiten distancias "observadoras" (mirar la construcción y adivinar su precisión) o usar marcas en una regla. Cada construcción también debe terminar . Es decir, debe tener un número finito de pasos y no ser el límite de aproximaciones cada vez más estrechas. (Si se permite un número ilimitado de pasos, algunas construcciones que de otro modo serían imposibles se vuelven posibles mediante secuencias infinitas que convergen hacia un límite ).
Dicho de esta manera, las construcciones con regla y compás parecen ser un juego de salón , más que un problema práctico serio; pero el propósito de la restricción es garantizar que se pueda demostrar que las construcciones son exactamente correctas.
Los antiguos matemáticos griegos intentaron por primera vez construcciones con regla y compás y descubrieron cómo construir sumas , diferencias , productos , proporciones y raíces cuadradas de longitudes determinadas. [2] : pág. 1 También podrían construir la mitad de un ángulo dado , un cuadrado cuya área sea el doble de la de otro cuadrado, un cuadrado que tenga la misma área que un polígono dado y polígonos regulares de 3, 4 o 5 lados [2] : p. xi (o uno con el doble de lados de un polígono dado [2] : págs. 49-50 ). Pero no podían construir un tercio de un ángulo dado salvo en casos particulares, ni un cuadrado con la misma área que un círculo dado , ni polígonos regulares con otro número de lados. [2] : pág. xi Tampoco podrían construir el lado de un cubo cuyo volumen sea el doble del volumen de un cubo con un lado dado. [2] : pág. 29
Hipócrates y Menecmo demostraron que el volumen del cubo se podía duplicar encontrando las intersecciones de hipérbolas y parábolas , pero éstas no se podían construir con regla y compás. [2] : pág. 30 En el siglo V a. C., Hipias utilizó una curva a la que llamó cuadratriz para trisecar el ángulo general y cuadrar el círculo, y Nicomedes en el siglo II a. C. mostró cómo utilizar una concoide para trisecar un ángulo arbitrario; [2] : pág. 37 pero estos métodos tampoco se pueden seguir solo con regla y compás.
Durante dos milenios no se lograron avances en los problemas no resueltos, hasta que en 1796 Gauss demostró que se podía construir un polígono regular con 17 lados; cinco años más tarde demostró el criterio suficiente para que un polígono regular de n lados fuera construible. [2] : págs. 51 y siguientes.
En 1837 Pierre Wantzel publicó una prueba de la imposibilidad de trisecar un ángulo arbitrario o de duplicar el volumen de un cubo, [3] basada en la imposibilidad de construir raíces cúbicas de longitudes. También demostró que la condición de constructibilidad suficiente de Gauss para polígonos regulares también es necesaria. [4]
Luego, en 1882, Lindemann demostró que es un número trascendental y, por tanto, que es imposible con regla y compás construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado. [2] : pág. 47
Todas las construcciones con regla y compás consisten en la aplicación repetida de cinco construcciones básicas utilizando los puntos, líneas y círculos que ya se han construido. Estos son:
Por ejemplo, comenzando con sólo dos puntos distintos, podemos crear una línea o cualquiera de dos círculos (a su vez, usando cada punto como centro y pasando por el otro punto). Si dibujamos ambos círculos, se crean dos nuevos puntos en sus intersecciones. Dibujar líneas entre los dos puntos originales y uno de estos nuevos puntos completa la construcción de un triángulo equilátero.
Por tanto, en cualquier problema geométrico tenemos un conjunto inicial de símbolos (puntos y rectas), un algoritmo y algunos resultados. Desde esta perspectiva, la geometría equivale a un álgebra axiomática , sustituyendo sus elementos por símbolos. Probablemente Gauss fue el primero en darse cuenta de esto y lo utilizó para demostrar la imposibilidad de algunas construcciones; Sólo mucho más tarde Hilbert encontró un conjunto completo de axiomas para la geometría .
Las construcciones con regla y compás más utilizadas incluyen:
Se puede asociar un álgebra a nuestra geometría utilizando un sistema de coordenadas cartesiano formado por dos rectas, y representar puntos de nuestro plano mediante vectores . Finalmente podemos escribir estos vectores como números complejos.
Usando las ecuaciones para rectas y círculos, se puede demostrar que los puntos en los que se cruzan se encuentran en una extensión cuadrática del campo más pequeño F que contiene dos puntos en la recta, el centro del círculo y el radio del círculo. Es decir, son de la forma , donde x , y y k están en F .
Dado que el campo de puntos construibles está cerrado bajo raíces cuadradas , contiene todos los puntos que pueden obtenerse mediante una secuencia finita de extensiones cuadráticas del campo de números complejos con coeficientes racionales. Mediante el párrafo anterior, se puede demostrar que cualquier punto construible puede obtenerse mediante tal secuencia de extensiones. Como corolario de esto, se encuentra que el grado del polinomio mínimo para un punto construible (y por lo tanto de cualquier longitud construible) es una potencia de 2. En particular, cualquier punto (o longitud) construible es un número algebraico , aunque no todo número algebraico es construible; por ejemplo, 3 √ 2 es algebraico pero no construible. [3]
Existe una biyección entre los ángulos construibles y los puntos construibles en cualquier círculo construible. Los ángulos que se pueden construir forman un grupo abeliano bajo suma módulo 2π (que corresponde a la multiplicación de los puntos del círculo unitario vistos como números complejos). Los ángulos que son construibles son exactamente aquellos cuya tangente (o equivalentemente, seno o coseno) es construible como un número. Por ejemplo, el heptadecágono regular (el polígono regular de diecisiete lados ) es construible porque
como lo descubrió Gauss . [5]
El grupo de ángulos construibles se cierra mediante la operación que divide ángulos por la mitad (que corresponde a sacar raíces cuadradas en los números complejos). Los únicos ángulos de orden finito que pueden construirse a partir de dos puntos son aquellos cuyo orden es una potencia de dos o un producto de una potencia de dos y un conjunto de primos de Fermat distintos . Además existe un denso conjunto de ángulos construibles de orden infinito.
Dado un conjunto de puntos en el plano euclidiano , seleccionar cualquiera de ellos para llamarlo 0 y otro para llamarlo 1 , junto con una elección arbitraria de orientación , nos permite considerar los puntos como un conjunto de números complejos .
Dada cualquier interpretación de este tipo de un conjunto de puntos como números complejos, los puntos construibles utilizando únicamente construcciones válidas con regla y compás son precisamente los elementos del campo más pequeño que contiene el conjunto original de puntos y cerrado bajo las operaciones complejas conjugadas y de raíz cuadrada ( Para evitar ambigüedades, podemos especificar la raíz cuadrada con un argumento complejo menor que π). Los elementos de este campo son precisamente aquellos que pueden expresarse como fórmula en los puntos originales utilizando únicamente las operaciones de suma , resta , multiplicación , división , conjugado complejo y raíz cuadrada , que se ve fácilmente como un subconjunto denso contable de el avión. Cada una de estas seis operaciones corresponde a una construcción simple con regla y compás. A partir de dicha fórmula es sencillo producir una construcción del punto correspondiente combinando las construcciones para cada una de las operaciones aritméticas. Las construcciones más eficientes de un conjunto particular de puntos corresponden a atajos en dichos cálculos.
De manera equivalente (y sin necesidad de elegir dos puntos arbitrariamente) podemos decir que, dada una elección arbitraria de orientación, un conjunto de puntos determina un conjunto de razones complejas dadas por las razones de las diferencias entre dos pares de puntos cualesquiera. El conjunto de razones que se pueden construir usando regla y compás a partir de dicho conjunto de razones es precisamente el campo más pequeño que contiene las razones originales y cerrado tomando conjugados complejos y raíces cuadradas.
Por ejemplo, la parte real, la parte imaginaria y el módulo de un punto o razón z (tomando uno de los dos puntos de vista anteriores) son construibles ya que pueden expresarse como
Duplicar el cubo y la trisección de un ángulo (excepto ángulos especiales como cualquier φ tal que φ /(2 π ) sea un número racional con denominador no divisible por 3) requiere razones que son la solución de ecuaciones cúbicas , mientras que la cuadratura del círculo requiere una relación trascendental . Ninguno de estos se encuentra en los campos descritos, por lo que no existe una construcción con regla y compás para ellos.
Los antiguos griegos pensaban que los problemas de construcción que no podían resolver eran simplemente obstinados, no irresolubles. [6] Sin embargo, con los métodos modernos, se ha demostrado que estas construcciones con regla y compás son lógicamente imposibles de realizar. (Los problemas en sí, sin embargo, tienen solución, y los griegos sabían cómo resolverlos sin la limitación de trabajar sólo con regla y compás.)
El más famoso de estos problemas, la cuadratura del círculo , también conocido como cuadratura del círculo, implica construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado usando solo una regla y un compás.
Se ha demostrado que la cuadratura del círculo es imposible, ya que implica generar un número trascendental , es decir, √ π . Sólo ciertos números algebraicos se pueden construir solo con regla y compás, es decir, aquellos construidos a partir de números enteros con una secuencia finita de operaciones de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas. Por este motivo, la frase "la cuadratura del círculo" se utiliza a menudo para significar "hacer lo imposible".
Sin la limitación de requerir solución únicamente con regla y compás, el problema se puede resolver fácilmente mediante una amplia variedad de medios geométricos y algebraicos, y se resolvió muchas veces en la antigüedad. [7]
Se puede lograr un método que se aproxima mucho a la "cuadratura del círculo" utilizando un triángulo de Kepler .
Duplicar el cubo es la construcción, utilizando sólo una regla y un compás, de la arista de un cubo que tiene el doble de volumen que un cubo con una arista determinada. Esto es imposible porque la raíz cúbica de 2, aunque algebraica, no se puede calcular a partir de números enteros mediante suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas. Esto se debe a que su polinomio mínimo sobre los racionales tiene grado 3. Esta construcción es posible usando una regla con dos marcas y un compás.
La trisección de ángulos es la construcción, utilizando sólo una regla y un compás, de un ángulo que es un tercio de un ángulo arbitrario dado. Esto es imposible en el caso general. Por ejemplo, el ángulo 2 π /5 radianes (72° = 360°/5) se puede trisectar, pero el ángulo de π /3 radianes (60 ° ) no se puede trisecar. [8] El problema general de la trisección también se resuelve fácilmente cuando se permite una regla con dos marcas (una construcción neusis ).
Se puede construir el segmento de recta desde cualquier punto del plano hasta el punto más cercano de un círculo , pero en general no se puede construir el segmento desde cualquier punto del plano hasta el punto más cercano de una elipse de excentricidad positiva . Ver [9] Tenga en cuenta que los resultados probados aquí son en su mayoría una consecuencia de la no constructividad de las cónicas. Si la cónica inicial se considera dada, entonces se debe revisar la prueba para verificar si es necesario generar otra cónica distinta. Por ejemplo, se conocen construcciones para las normales de una parábola, pero deben utilizar una intersección entre el círculo y la parábola misma. Entonces no son construibles en el sentido en que la parábola no es construible.
En 1997, el matemático de Oxford Peter M. Neumann demostró el teorema de que no existe una construcción de regla y compás para la solución general del antiguo problema de Alhazen (problema de billar o reflejo en un espejo esférico). [10] [11]
Algunos polígonos regulares (por ejemplo, un pentágono ) son fáciles de construir con regla y compás; otros no lo son. Esto llevó a la pregunta: ¿Es posible construir todos los polígonos regulares con regla y compás?
Carl Friedrich Gauss en 1796 demostró que se puede construir un polígono regular de 17 lados, y cinco años más tarde demostró que se puede construir un polígono regular de n lados con regla y compás si los factores primos impares de n son primos de Fermat distintos . Gauss conjeturó que esta condición también era necesaria ; la conjetura fue probada por Pierre Wantzel en 1837. [4]
Los primeros polígonos regulares construibles tienen el siguiente número de lados:
Se sabe que hay una infinidad de polígonos regulares construibles con un número par de lados (porque si un n -gon regular es construible, entonces también lo es un 2 n -gon regular y, por lo tanto, un 4 n -gon regular , 8 n -gon , etc.). Sin embargo, sólo se conocen 31 n -gonos regulares construibles con un número impar de lados.
Dieciséis puntos clave de un triángulo son sus vértices , los puntos medios de sus lados , los pies de sus altitudes , los pies de sus bisectrices de ángulos internos y su circuncentro , centroide , ortocentro e incentro . Estos se pueden tomar de tres en tres para producir 139 problemas distintos y no triviales de construcción de un triángulo a partir de tres puntos. [12] De estos problemas, tres involucran un punto que puede construirse únicamente a partir de los otros dos puntos; 23 puede construirse de forma no única (de hecho, para infinitas soluciones) pero sólo si las ubicaciones de los puntos obedecen ciertas restricciones; en 74 el problema es construible en el caso general; y en 39 el triángulo requerido existe pero no es construible.
Doce longitudes clave de un triángulo son las longitudes de los tres lados, las tres altitudes , las tres medianas y las tres bisectrices de los ángulos . Junto con los tres ángulos, dan 95 combinaciones distintas, 63 de las cuales dan lugar a un triángulo construible, 30 de las cuales no, y dos de las cuales están infradefinidas. [13] : págs. 201-203
Se han hecho varios intentos de restringir las herramientas permitidas para las construcciones bajo diversas reglas, con el fin de determinar qué es aún construible y cómo se puede construir, así como determinar los criterios mínimos necesarios para aún poder construir todo lo que se ajuste a compás y regla. poder.
Es posible (según el teorema de Mohr-Mascheroni ) construir cualquier cosa con solo un compás si se puede construir con regla y compás, siempre que los datos dados y los datos a encontrar consistan en puntos discretos (no líneas o círculos). ). La verdad de este teorema depende de la verdad del axioma de Arquímedes , [14] que no es de primer orden por naturaleza. Ejemplos de construcciones basadas únicamente en brújula incluyen el problema de Napoleón .
Es imposible sacar una raíz cuadrada con sólo una regla, por lo que algunas cosas que no se pueden construir con una regla se pueden construir con un compás; pero (según el teorema de Poncelet-Steiner ) dado un solo círculo y su centro, se pueden construir.
Los antiguos griegos clasificaban las construcciones en tres grandes categorías, en función de la complejidad de las herramientas necesarias para su solución. Si una construcción utilizaba sólo regla y compás, se llamaba plana; si además requería una o más secciones cónicas (distintas del círculo), entonces se llamaba sólido; la tercera categoría incluía todas las construcciones que no entraban en ninguna de las otras dos categorías. [15] Esta categorización encaja muy bien con el punto de vista algebraico moderno. Un número complejo que se puede expresar usando sólo operaciones de campo y raíces cuadradas (como se describió anteriormente) tiene una construcción plana. Un número complejo que incluye también la extracción de raíces cúbicas tiene una construcción sólida.
En el lenguaje de los campos, un número complejo que es plano tiene grado una potencia de dos y se encuentra en una extensión de campo que se puede descomponer en una torre de campos donde cada extensión tiene grado dos. Un número complejo que tiene una construcción sólida tiene grado con factores primos de sólo dos y tres, y se encuentra en una extensión de campo que está en lo alto de una torre de campos donde cada extensión tiene grado 2 o 3.
Un punto tiene una construcción sólida si se puede construir usando una regla, un compás y una herramienta de dibujo cónica (posiblemente hipotética) que pueda dibujar cualquier cónica con foco, directriz y excentricidad ya construidas. A menudo, el mismo conjunto de puntos se puede construir utilizando un conjunto más pequeño de herramientas. Por ejemplo, usando un compás, una regla y una hoja de papel en la que tenemos la parábola y=x 2 junto con los puntos (0,0) y (1,0), se puede construir cualquier número complejo que tenga un lado sólido. construcción. Del mismo modo, una herramienta que puede dibujar cualquier elipse con focos y ejes principales ya construidos (piense en dos alfileres y un trozo de cuerda) es igual de poderosa. [dieciséis]
Los antiguos griegos sabían que duplicar el cubo y trisecar un ángulo arbitrario tenían construcciones sólidas. Arquímedes dio una construcción neusis del heptágono regular , que fue interpretada por los comentaristas árabes medievales Bartel Leendert van der Waerden y otros como basada en una construcción sólida, pero esto ha sido cuestionado, ya que son posibles otras interpretaciones. [17] La cuadratura del círculo no tiene una construcción sólida.
Un n -gon regular tiene una construcción sólida si y sólo si n =2 a 3 b m donde a y b son algunos enteros no negativos y m es un producto de cero o más primos de Pierpont distintos (primos de la forma 2 r 3 s +1). Por lo tanto, un n -gon regular admite una construcción sólida, pero no plana, si y sólo si n está en la secuencia
El conjunto de n para el cual un n -gón regular no tiene una construcción sólida es la secuencia
Al igual que la cuestión de los primos de Fermat, queda abierta la cuestión de si hay un número infinito de primos de Pierpont.
¿Qué pasaría si, junto con la regla y el compás, tuviéramos una herramienta que (sólo) pudiera trisecar un ángulo arbitrario? Estas construcciones son construcciones sólidas, pero existen numerosas construcciones sólidas que no se pueden construir con dicha herramienta. Por ejemplo, no podemos duplicar el cubo con una herramienta de este tipo. [18] Por otro lado, cada n-gon regular que tenga una construcción sólida se puede construir usando dicha herramienta.
La teoría matemática del origami es más poderosa que la construcción con regla y compás. Los pliegues que satisfacen los axiomas de Huzita-Hatori pueden construir exactamente el mismo conjunto de puntos que las construcciones extendidas utilizando un compás y una herramienta de dibujo cónica. Por lo tanto, el origami también se puede utilizar para resolver ecuaciones cúbicas (y por tanto, ecuaciones cuárticas), y así resolver dos de los problemas clásicos. [19]
Arquímedes , Nicomedes y Apolonio dieron construcciones que implicaban el uso de una regla marcable. Esto les permitiría, por ejemplo, tomar un segmento de recta, dos rectas (o círculos) y un punto; y luego dibuje una línea que pase por el punto dado y corte las dos líneas dadas, de modo que la distancia entre los puntos de intersección sea igual al segmento dado. A esto los griegos lo llamaban neusis ("inclinación", "tendencia" o "borde"), porque la nueva línea tiende al punto. En este esquema ampliado, podemos trisecar un ángulo arbitrario (ver trisección de Arquímedes) o extraer una raíz cúbica arbitraria (debido a Nicomedes). Por lo tanto, cualquier distancia cuya relación con una distancia existente sea la solución de una ecuación cúbica o cuártica es construible. Usando una regla marcable, se pueden construir polígonos regulares con construcciones sólidas, como el heptágono ; y John H. Conway y Richard K. Guy dan construcciones para varios de ellos. [20]
La construcción de neusis es más poderosa que una herramienta de dibujo cónica, ya que se pueden construir números complejos que no tienen construcciones sólidas. De hecho, con esta herramienta se pueden resolver algunas quinticas que no se pueden resolver mediante radicales . [21] Se sabe que no se puede resolver un polinomio irreducible de grado primo mayor o igual a 7 usando la construcción de neusis, por lo que no es posible construir un polinomio regular de 23 o 29 gónos usando esta herramienta. Benjamin y Snyder demostraron que es posible construir el 11-gon regular, pero no dieron una construcción. [22] Todavía está abierto si se puede construir un modelo normal de 25 o 31 con esta herramienta.
Dado un segmento de recta llamado AB, ¿podría este dividirse en tres nuevos segmentos iguales y en muchas partes requeridas mediante el uso del teorema de la intersección ?
En 1998, Simon Plouffe desarrolló un algoritmo de regla y compás que puede utilizarse para calcular dígitos binarios de ciertos números. [23] El algoritmo implica la duplicación repetida de un ángulo y se vuelve físicamente impráctico después de aproximadamente 20 dígitos binarios.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\left({\frac {2\pi }{17}}\right)}&=\,-{\frac {1}{16}}\,+\ ,{\frac {1}{16}}{\sqrt {17}}\,+\,{\frac {1}{16}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\ \[5mu]&\qquad +\,{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}} }-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874eae7af8042c041f9ee204b0ecfb567e7a9582)
