Teorema de Abel-Ruffini

Las ecuaciones de grado 5 o superior no se pueden resolver mediante radicales.

En matemáticas , el teorema de Abel-Ruffini (también conocido como teorema de imposibilidad de Abel ) establece que no existe una solución en radicales para ecuaciones polinómicas generales de grado cinco o superior con coeficientes arbitrarios . Aquí, general significa que los coeficientes de la ecuación se consideran y manipulan como indeterminados .

El teorema debe su nombre a Paolo Ruffini , quien realizó una prueba incompleta en 1799 ^[1] (que fue refinada y completada en 1813 ^[2] y aceptada por Cauchy) y a Niels Henrik Abel , quien proporcionó una prueba en 1824. ^{[3] [4]}

El teorema de Abel-Ruffini se refiere también al resultado ligeramente más fuerte de que existen ecuaciones de grado cinco y superiores que no se pueden resolver mediante radicales. Esto no se sigue del enunciado del teorema de Abel, sino que es un corolario de su demostración, ya que su demostración se basa en el hecho de que algunos polinomios en los coeficientes de la ecuación no son el polinomio cero. Este enunciado mejorado se sigue directamente de la teoría de Galois § Un ejemplo de ecuación de quinto grado no resoluble . La teoría de Galois implica también que

${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

es la ecuación más simple que no se puede resolver con radicales, y que casi todos los polinomios de grado cinco o superior no se pueden resolver con radicales.

La imposibilidad de resolver en grado cinco o superior contrasta con el caso de grado inferior: se tiene la fórmula cuadrática , la fórmula cúbica y la fórmula cuártica para los grados dos, tres y cuatro, respectivamente.

Contexto

Las ecuaciones polinómicas de grado dos se pueden resolver con la fórmula cuadrática , que se conoce desde la antigüedad . De manera similar, la fórmula cúbica para el grado tres y la fórmula cuártica para el grado cuatro se encontraron durante el siglo XVI. En ese momento, un problema fundamental era si las ecuaciones de grado superior se podían resolver de manera similar.

El hecho de que toda ecuación polinómica de grado positivo tiene soluciones, posiblemente no reales , fue afirmado durante el siglo XVII, pero no se demostró completamente hasta principios del siglo XIX. Este es el teorema fundamental del álgebra , que no proporciona ninguna herramienta para calcular con exactitud las soluciones, aunque el método de Newton permite aproximarlas con cualquier precisión deseada.

Desde el siglo XVI hasta principios del siglo XIX, el principal problema del álgebra fue la búsqueda de una fórmula para las soluciones de ecuaciones polinómicas de grado cinco y superiores, de ahí el nombre de "teorema fundamental del álgebra". Esto significaba una solución en radicales , es decir, una expresión que involucraba solo los coeficientes de la ecuación y las operaciones de suma , resta , multiplicación , división y extracción de la raíz n -ésima .

El teorema de Abel-Ruffini demuestra que esto es imposible. Sin embargo, esta imposibilidad no implica que una ecuación específica de cualquier grado no pueda resolverse en radicales. Por el contrario, hay ecuaciones de cualquier grado que pueden resolverse en radicales. Este es el caso de la ecuación para cualquier n , y las ecuaciones definidas por polinomios ciclotómicos , todas cuyas soluciones pueden expresarse en radicales. ${\displaystyle x^{n}-1=0}$

La demostración del teorema de Abel no contiene explícitamente la afirmación de que existen ecuaciones específicas que no se pueden resolver mediante radicales. Tal afirmación no es una consecuencia del enunciado del teorema por parte de Abel, ya que el enunciado no excluye la posibilidad de que "toda ecuación de quinto grado particular pueda ser soluble, con una fórmula especial para cada ecuación". ^[5] Sin embargo, la existencia de ecuaciones específicas que no se pueden resolver mediante radicales parece ser una consecuencia de la demostración de Abel, ya que la demostración utiliza el hecho de que algunos polinomios en los coeficientes no son el polinomio cero y, dado un número finito de polinomios, existen valores de las variables en los que ninguno de los polinomios toma el valor cero.

Poco después de la publicación de la prueba de Abel, Évariste Galois introdujo una teoría, ahora llamada teoría de Galois , que permite decidir, para cualquier ecuación dada, si es resoluble en radicales. Esto era puramente teórico antes del surgimiento de las computadoras electrónicas . Con las computadoras y los programas modernos, decidir si un polinomio es resoluble por radicales se puede hacer para polinomios de grado mayor que 100. ^[6] Calcular las soluciones en radicales de polinomios resolubles requiere cálculos enormes. Incluso para el grado cinco, la expresión de las soluciones es tan grande que no tiene interés práctico.

Prueba

La demostración del teorema de Abel-Ruffini es anterior a la teoría de Galois . Sin embargo, la teoría de Galois permite una mejor comprensión del tema y las demostraciones modernas generalmente se basan en ella, mientras que las demostraciones originales del teorema de Abel-Ruffini aún se presentan con fines históricos. ^{[1] [7] [8] [9]}

Las pruebas basadas en la teoría de Galois comprenden cuatro pasos principales: la caracterización de ecuaciones resolubles en términos de la teoría de campos ; el uso de la correspondencia de Galois entre subcampos de un campo dado y los subgrupos de su grupo de Galois para expresar esta caracterización en términos de grupos resolubles ; la prueba de que el grupo simétrico no es resoluble si su grado es cinco o mayor; y la existencia de polinomios con un grupo de Galois simétrico.

Soluciones algebraicas y teoría de campos

Una solución algebraica de una ecuación polinómica es una expresión que involucra las cuatro operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división) y la extracción de raíces . Una expresión de este tipo puede considerarse como la descripción de un cálculo que comienza con los coeficientes de la ecuación que se va a resolver y procede a calcular algunos números, uno tras otro.

En cada paso del cálculo, se puede considerar el campo más pequeño que contiene todos los números que se han calculado hasta el momento. Este campo se modifica únicamente en los pasos que implican el cálculo de una raíz n -ésima .

Entonces, una solución algebraica produce una secuencia

${\displaystyle F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{k}}$

de campos y elementos tales que para con para algún entero Una solución algebraica de la ecuación polinomial inicial existe si y sólo si existe una secuencia de campos tal que contiene una solución. ${\displaystyle x_{i}\in F_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}=F_{i-1}(x_{i})}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,k,}$ ${\displaystyle x_{i}^{n_{i}}\in F_{i-1}}$ ${\displaystyle n_{i}>1.}$ ${\displaystyle F_{k}}$

Para tener extensiones normales , que son fundamentales para la teoría, se debe refinar la secuencia de cuerpos de la siguiente manera. Si no contiene todas las raíces -ésimas de la unidad , se introduce el cuerpo que se extiende por una raíz primitiva de la unidad y se redefine como ${\displaystyle F_{i-1}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle F_{i-1}}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle K_{i}(x_{i}).}$

Así, si se parte de una solución en términos de radicales, se obtiene una secuencia creciente de campos tales que el último contiene la solución, y cada uno es una extensión normal del anterior con un grupo de Galois que es cíclico .

Por el contrario, si se tiene una secuencia de cuerpos, la ecuación es resoluble en términos de radicales. Para demostrarlo, basta con demostrar que se puede construir una extensión normal con un grupo de Galois cíclico a partir de una sucesión de extensiones radicales .

Correspondencia de Galois

La correspondencia de Galois establece una correspondencia biunívoca entre las subextensiones de una extensión de cuerpo normal y los subgrupos del grupo de Galois de la extensión. Esta correspondencia asigna un cuerpo K tal al grupo de Galois de los automorfismos de F que dejan K fijo y, a la inversa, asigna un subgrupo H de al cuerpo de los elementos de F que están fijos por H . ${\displaystyle F/E}$ ${\displaystyle E\subseteq K\subseteq F}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/K)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/E)}$

La sección precedente muestra que una ecuación es resoluble en términos de radicales si y sólo si el grupo de Galois de su cuerpo de descomposición (el cuerpo más pequeño que contiene todas las raíces) es resoluble , es decir, contiene una secuencia de subgrupos tales que cada uno es normal al precedente, con un grupo cociente que es cíclico . (Los grupos resolubles se definen comúnmente con grupos cocientes abelianos en lugar de cíclicos, pero el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos muestra que las dos definiciones son equivalentes).

Así pues, para demostrar el teorema de Abel-Ruffini, queda demostrar que el grupo simétrico no es resoluble y que existen polinomios con grupos de Galois simétricos. ${\displaystyle S_{5}}$

Grupos simétricos resolubles

Para n > 4 , el grupo simétrico de grado n tiene solo el grupo alternado como subgrupo normal no trivial (ver Grupo simétrico § Subgrupos normales ). Para n > 4 , el grupo alternado es simple (es decir, no tiene ningún subgrupo normal no trivial) y no abeliano . Esto implica que tanto y no son resolubles para n > 4 . Por lo tanto, el teorema de Abel-Ruffini resulta de la existencia de polinomios con un grupo de Galois simétrico; esto se mostrará en la siguiente sección. ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$

Por otra parte, para n ≤ 4 , el grupo simétrico y todos sus subgrupos son resolubles. Esto explica la existencia de las fórmulas cuadrática , cúbica y cuártica , ya que un resultado importante de la teoría de Galois es que una ecuación polinómica tiene una solución en radicales si y solo si su grupo de Galois es resoluble (el término "grupo resoluble" toma su origen de este teorema).

Polinomios con grupos de Galois simétricos

Ecuación general

La ecuación polinómica general o genérica de grado n es la ecuación

${\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}=0,}$

donde son indeterminados distintos . Esta es una ecuación definida sobre el cuerpo de las fracciones racionales en con coeficientes de números racionales . El teorema original de Abel-Ruffini afirma que, para n > 4 , esta ecuación no es resoluble en radicales. En vista de las secciones anteriores, esto resulta del hecho de que el grupo de Galois sobre F de la ecuación es el grupo simétrico (este grupo de Galois es el grupo de los automorfismos de cuerpo del cuerpo de descomposición de la ecuación que fijan los elementos de F , donde el cuerpo de descomposición es el cuerpo más pequeño que contiene todas las raíces de la ecuación). ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle F=\mathbb {Q} (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$

Para demostrar que el grupo de Galois es es más sencillo empezar desde las raíces. Sean nuevas indeterminadas, que se pretende que sean las raíces, y consideremos el polinomio ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n},}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle P(x)=x^{n}+b_{1}x^{n-1}+\cdots +b_{n-1}x+b_{n}=(x-x_{1})\cdots (x-x_{n}).}$

Sea el campo de las fracciones racionales en y su subcampo generado por los coeficientes de Las permutaciones de las inducen automorfismos de H . Las fórmulas de Vieta implican que cada elemento de K es una función simétrica de la y, por lo tanto, está fijado por todos estos automorfismos. De ello se deduce que el grupo de Galois es el grupo simétrico ${\displaystyle H=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (b_{1},\ldots ,b_{n})}$ ${\displaystyle P(x).}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i},}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (H/K)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}.}$

El teorema fundamental de los polinomios simétricos implica que son algebraicamente independientes y, por lo tanto, que la función que envía cada una a la correspondiente es un isomorfismo de cuerpo de F a K. Esto significa que se puede considerar como una ecuación genérica. Esto finaliza la prueba de que el grupo de Galois de una ecuación general es el grupo simétrico y, por lo tanto, prueba el teorema original de Abel-Ruffini, que afirma que la ecuación polinómica general de grado n no se puede resolver en radicales para n > 4 . ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle P(x)=0}$

Ejemplo explícito

La ecuación no es solucionable en radicales, como se explicará a continuación. ${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

Sea q . Sea G su grupo de Galois, que actúa fielmente sobre el conjunto de raíces complejas de q . Numerar las raíces permite identificar G con un subgrupo del grupo simétrico . Puesto que los factores son como en , el grupo G contiene una permutación que es un producto de ciclos disjuntos de longitudes 2 y 3 (en general, cuando un polinomio entero mónico reduce módulo un primo a un producto de polinomios irreducibles mónicos distintos, los grados de los factores dan las longitudes de los ciclos disjuntos en alguna permutación perteneciente al grupo de Galois); entonces G también contiene , que es una transposición . Puesto que es irreducible en , el mismo principio muestra que G contiene un 5-ciclo . Puesto que 5 es primo, cualquier transposición y 5-ciclo en generan todo el grupo; véase Grupo simétrico § Generadores y relaciones . Por tanto . Puesto que el grupo no es resoluble, la ecuación no es resoluble en radicales. ${\displaystyle x^{5}-x-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}$ ${\displaystyle q{\bmod {2}}}$ ${\displaystyle (x^{2}+x+1)(x^{3}+x^{2}+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{3}}$ ${\displaystyle q{\bmod {3}}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}[x]}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}$ ${\displaystyle G={\mathcal {S}}_{5}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}$ ${\displaystyle x^{5}-x-1=0}$

El resolutivo de Cayley

Para comprobar si una ecuación de quinto grado específica es resoluble en radicales, se puede utilizar el resolvente de Cayley . Se trata de un polinomio univariante de grado seis cuyos coeficientes son polinomios en los coeficientes de una ecuación de quinto grado genérica. Una ecuación de quinto grado irreducible específica es resoluble en radicales si, y solo cuando sus coeficientes se sustituyen en el resolvente de Cayley, el polinomio séxtico resultante tiene una raíz racional .

Historia

Alrededor de 1770, Joseph Louis Lagrange inició el trabajo de base que unificó los muchos métodos diferentes que se habían utilizado hasta ese momento para resolver ecuaciones, relacionándolos con la teoría de grupos de permutaciones , en forma de resolventes de Lagrange . ^[10] Este trabajo innovador de Lagrange fue un precursor de la teoría de Galois, y su fracaso en el desarrollo de soluciones para ecuaciones de quinto grado y superiores insinuó que tales soluciones podrían ser imposibles, pero no proporcionó una prueba concluyente. La primera persona que conjeturó que el problema de resolver ecuaciones de quinto grado por radicales podría ser imposible de resolver fue Carl Friedrich Gauss , quien escribió en 1798 en la sección 359 de su libro Disquisitiones Arithmeticae (que se publicaría recién en 1801) que "hay pocas dudas de que este problema no desafía tanto los métodos modernos de análisis como que propone lo imposible". Al año siguiente, en su tesis , escribió: «Después de que los trabajos de muchos geómetras dejaron pocas esperanzas de llegar alguna vez a la resolución algebraica de la ecuación general, parece cada vez más probable que esta resolución sea imposible y contradictoria». Y añadió: «Tal vez no sea tan difícil demostrar, con todo rigor, la imposibilidad para el quinto grado. Expondré mis investigaciones sobre esto con mayor extensión en otro lugar». En realidad, Gauss no publicó nada más sobre este tema. ^[1]

Paolo Ruffini , Teoria generale delle equazioni , 1799

El teorema fue casi probado por primera vez por Paolo Ruffini en 1799. ^[11] Envió su prueba a varios matemáticos para que la reconocieran, entre ellos Lagrange (que no respondió) y Augustin-Louis Cauchy , quien le envió una carta diciendo: "Sus memorias sobre la solución general de ecuaciones son un trabajo que siempre he creído que los matemáticos deberían tener en cuenta y que, en mi opinión, prueba de manera concluyente la insolubilidad algebraica de ecuaciones generales de grado superior al cuarto". ^[12] Sin embargo, en general, la prueba de Ruffini no se consideró convincente. Abel escribió: "El primero y, si no me equivoco, el único que, antes que yo, ha tratado de demostrar la imposibilidad de la solución algebraica de ecuaciones generales es el matemático Ruffini. Pero sus memorias son tan complicadas que es muy difícil determinar la validez de su argumento. Me parece que su argumento no es completamente satisfactorio". ^{[12] [13]}

La prueba también, como se descubrió más tarde, estaba incompleta. Ruffini supuso que todos los radicales con los que estaba tratando podían expresarse a partir de las raíces del polinomio utilizando solo operaciones de campo; en términos modernos, supuso que los radicales pertenecían al campo de descomposición del polinomio. Para ver por qué esto es realmente una suposición adicional, considere, por ejemplo, el polinomio . Según la fórmula de Cardano , una de sus raíces (todas, en realidad) puede expresarse como la suma de una raíz cúbica de con una raíz cúbica de . Por otro lado, como , , , y , las raíces , , y de son todas reales y, por lo tanto, el campo es un subcuerpo de . Pero entonces los números no pueden pertenecer a . Si bien Cauchy no se dio cuenta de la suposición de Ruffini o sintió que era menor, la mayoría de los historiadores creen que la prueba no estuvo completa hasta que Abel demostró el teorema sobre irracionalidades naturales, que afirma que la suposición se cumple en el caso de polinomios generales. ^{[8] [14]} El teorema de Abel-Ruffini se atribuye generalmente a Abel, quien publicó una prueba comprimida en sólo seis páginas en 1824. ^[3] (Abel adoptó un estilo muy conciso para ahorrar papel y dinero: la prueba se imprimió a su propio costo. ^[9] ) Una versión más elaborada de la prueba se publicaría en 1826. ^[4] ${\displaystyle P(x)=x^{3}-15x-20}$ ${\displaystyle 10+5i}$ ${\displaystyle 10-5i}$ ${\displaystyle P(-3)<0}$ ${\displaystyle P(-2)>0}$ ${\displaystyle P(-1)<0}$ ${\displaystyle P(5)>0}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle 10\pm 5i}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})}$

Demostrar que las ecuaciones de quinto grado (y superiores) no se pueden resolver mediante radicales no resolvió por completo el asunto, porque el teorema de Abel-Ruffini no proporciona las condiciones necesarias y suficientes para decir con precisión qué ecuaciones de quinto grado (y superiores) no se pueden resolver mediante radicales. Abel estaba trabajando en una caracterización completa cuando murió en 1829. ^[15]

Según Nathan Jacobson , "Las pruebas de Ruffini y de Abel [...] pronto fueron reemplazadas por el logro más importante de esta línea de investigación: los descubrimientos de Galois en la teoría de ecuaciones". ^[16] En 1830, Galois (a la edad de 18 años) presentó a la Academia de Ciencias de París una memoria sobre su teoría de solubilidad por radicales, que finalmente fue rechazada en 1831 por ser demasiado esquemática y por dar una condición en términos de las raíces de la ecuación en lugar de sus coeficientes. Galois conocía las aportaciones de Ruffini y Abel, ya que escribió "Es una verdad común, hoy en día, que la ecuación general de grado mayor que 4 no puede ser resuelta por radicales... esta verdad se ha vuelto común (de oídas) a pesar del hecho de que los geómetras han ignorado las pruebas de Abel y Ruffini..." ^[1] Galois murió entonces en 1832 y su artículo Mémoire sur les conditions de resolubilité des équations par radicaux ^[17] permaneció inédito hasta 1846, cuando fue publicado por Joseph Liouville acompañado de algunas de sus propias explicaciones. ^[15] Antes de esta publicación, Liouville anunció el resultado de Galois a la academia en un discurso que dio el 4 de julio de 1843. ^[5] Una simplificación de la prueba de Abel fue publicada por Pierre Wantzel en 1845. ^[18] Cuando Wantzel la publicó, ya estaba al tanto de las contribuciones de Galois y menciona que, mientras que la prueba de Abel es válida solo para polinomios generales, el enfoque de Galois puede usarse para proporcionar un polinomio concreto de grado 5 cuyas raíces no pueden expresarse en radicales a partir de sus coeficientes.

En 1963, Vladimir Arnold descubrió una prueba topológica del teorema de Abel-Ruffini, ^{[19] [20] [21]} que sirvió como punto de partida para la teoría topológica de Galois . ^[22]

Referencias

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2. Ruffini, Paolo (1813). Riflessioni alrededor de todas las soluciones delle equazioni algebraiche generali opuscolo del cav. punto. Paolo Ruffini... (en italiano). presso la Societa Tipografica.
3. Abel, Niels Henrik (1881) [1824], "Mémoire sur les équations algébriques, ou l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré" (PDF) , en Sylow, Ludwig ; Mentira, Sophus (eds.), Œuvres Complètes de Niels Henrik Abel (en francés), vol. I (2ª ed.), Grøndahl & Søn , págs. 28–33
4. Abel, Niels Henrik (1881) [1826], "Démonstration de l'impossibilité de la résolution algébrique des équations générales qui passent le quatrième degré" (PDF) , en Sylow, Ludwig ; Mentira, Sophus (eds.), Œuvres Complètes de Niels Henrik Abel (en francés), vol. I (2ª ed.), Grøndahl & Søn , págs. 66–87
5. Stewart, Ian (2015), "Introducción histórica", Teoría de Galois (4.ª ed.), CRC Press , ISBN 978-1-4822-4582-0
6. Fieker, Claus; Klüners, Jürgen (2014), "Cálculo de grupos de Galois de polinomios racionales", LMS Journal of Computation and Mathematics , 17 (1): 141–158, arXiv : 1211.3588 , doi :10.1112/S1461157013000302, MR  3230862
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9. Pesic, Peter (2004), La prueba de Abel: un ensayo sobre las fuentes y el significado de la insolubilidad matemática , Cambridge: MIT Press , ISBN 0-262-66182-9, Zbl1166.01010 ​
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11. Ruffini, Paolo (1799), Teoria generale delle equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto (en italiano), Stamperia di S. Tommaso d'Aquino
12. Kiernan, B. Melvin (1971), "El desarrollo de la teoría de Galois desde Lagrange hasta Artin", Archivo de Historia de las Ciencias Exactas , 8 (1/2): 40–154, doi :10.1007/BF00327219, JSTOR  41133337, MR  1554154, S2CID  121442989
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14. Stewart, Ian (2015), "La idea detrás de la teoría de Galois", Teoría de Galois (4.ª ed.), CRC Press , ISBN 978-1-4822-4582-0
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16. Jacobson, Nathan (2009), "Teoría de ecuaciones de Galois", Álgebra básica , vol. 1 (2.ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
17. Galois, Évariste (1846), "Mémoire sur les condition de resolubilité des équations par radicaux" (PDF) , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (en francés), XI : 417–433
18. Wantzel, Pierre (1845), "Démonstration de l'impossibilité de résoudre toutes les équations algébriques avec des radicaux", Nouvelles Annales de Mathématiques (en francés), 4 : 57–65
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20. "Breve demostración del teorema de Abel de que las ecuaciones polinómicas de quinto grado no pueden resolverse" en YouTube
21. Goldmakher, Leo, Prueba elemental de Arnold de la insolubilidad de la ecuación de Quinto (PDF)
22. Khovanskii, Askold (2014), Teoría topológica de Galois: solubilidad e insolubilidad de ecuaciones en términos finitos , Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-38871-2, ISBN 978-3-642-38870-5