Resolvente (teoría de Galois)

Invariante de raíces polinómicas

En la teoría de Galois , una disciplina dentro del campo del álgebra abstracta , un resolvente para un grupo de permutaciones G es un polinomio cuyos coeficientes dependen polinómicamente de los coeficientes de un polinomio dado p y tiene, en términos generales, una raíz racional si y solo si el grupo de Galois de p está incluido en G. Más exactamente, si el grupo de Galois está incluido en G , entonces el resolvente tiene una raíz racional, y lo inverso es cierto si la raíz racional es una raíz simple . Los resolventes fueron introducidos por Joseph Louis Lagrange y utilizados sistemáticamente por Évariste Galois . Hoy en día siguen siendo una herramienta fundamental para calcular grupos de Galois . Los ejemplos más simples de resolventes son

• ${\displaystyle X^{2}-\Delta }$donde es el discriminante , que es un resolvente para el grupo alternante . En el caso de una ecuación cúbica , este resolvente a veces se denomina resolvente cuadrático ; sus raíces aparecen explícitamente en las fórmulas para las raíces de una ecuación cúbica. ${\displaystyle \Delta }$
• El resolvente cúbico de una ecuación cuártica , que es un resolvente para el grupo diedro de 8 elementos.
• El resolvente de Cayley es un resolvente para el grupo de Galois de máxima resolución de grado cinco. Es un polinomio de grado 6.

Estos tres resolventes tienen la propiedad de ser siempre separables , lo que significa que, si tienen raíz múltiple , entonces el polinomio p no es irreducible . No se sabe si existe un resolvente siempre separable para cada grupo de permutaciones.

Para cada ecuación las raíces pueden expresarse en términos de radicales y de una raíz de un resolvente para un grupo resoluble, porque el grupo de Galois de la ecuación sobre el campo generado por esta raíz es resoluble.

Definición

Sea n un entero positivo , que será el grado de la ecuación que consideraremos, y ( X ₁ , ..., X _n ) una lista ordenada de indeterminados . Según las fórmulas de Vieta esto define el polinomio mónico  genérico de grado n donde E _i es el i ésimo polinomio simétrico elemental . $${\displaystyle F(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}E_{i}X^{n-i}=\prod _{i=1}^{n}(X-X_{i}),}$$

El grupo simétrico S _n actúa sobre los X _i permutándolos, y esto induce una acción sobre los polinomios en los X _i . El estabilizador de un polinomio dado bajo esta acción es generalmente trivial, pero algunos polinomios tienen un estabilizador mayor. Por ejemplo, el estabilizador de un polinomio simétrico elemental es todo el grupo S _n . Si el estabilizador no es trivial, el polinomio está fijado por algún subgrupo no trivial G ; se dice que es un invariante de G . A la inversa, dado un subgrupo G de S _n , un invariante de G es un invariante resolvente para G si no es un invariante de ningún subgrupo mayor de S _n . ^[1]

Encontrar invariantes para un subgrupo dado G de S _n es relativamente fácil; se puede sumar la órbita de un monomio bajo la acción de S _n . Sin embargo, puede ocurrir que el polinomio resultante sea un invariante para un grupo mayor. Por ejemplo, considere el caso del subgrupo G de S ₄ de orden 4, que consiste en (12)(34) , (13)(24) , (14)(23) y la identidad (para la notación, vea Grupo de permutaciones ). El monomio X ₁ X ₂ da el invariante 2( X ₁ X ₂ + X ₃ X ₄ ) . No es un invariante resolvente para G , porque al ser invariante por (12) , es de hecho un invariante resolvente para el subgrupo diedro más grande D ₄ : ⟨(12), (1324)⟩ , y se utiliza para definir el cúbico resolvente de la ecuación cuártica .

Si P es un invariante resolvente para un grupo G de índice m dentro de S _n , entonces su órbita bajo S _n tiene orden m . Sean P ₁ , ..., P _m los elementos de esta órbita. Entonces el polinomio

${\displaystyle R_{G}=\prod _{i=1}^{m}(Y-P_{i})}$

es invariante bajo S _n . Por lo tanto, cuando se desarrolla, sus coeficientes son polinomios en X _i que son invariantes bajo la acción del grupo de simetría y, por lo tanto, pueden expresarse como polinomios en los polinomios simétricos elementales. En otras palabras, R _G es un polinomio irreducible en Y cuyos coeficientes son polinomios en los coeficientes de F . Al tener el invariante resolvente como raíz, se denomina resolvente (a veces ecuación resolvente ).

Consideremos ahora un polinomio irreducible

${\displaystyle f(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}X^{n-i}=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i}),}$

con coeficientes en un cuerpo dado K (típicamente el cuerpo de los racionales ) y raíces x _i en una extensión de cuerpo algebraicamente cerrada . Sustituyendo X _i por x _i y los coeficientes de F por los de f en lo anterior, obtenemos un polinomio , también llamado resolvente o resolvente especializado en caso de ambigüedad). Si el grupo de Galois de f está contenido en G , la especialización del invariante resolvente es invariante por G y es por lo tanto una raíz de que pertenece a K (es racional en K ). Por el contrario, si tiene una raíz racional, que no es una raíz múltiple, el grupo de Galois de f está contenido en G . ${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$ ${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$ ${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$

Terminología

Existen algunas variantes en la terminología.

• Dependiendo de los autores o del contexto, resolvente puede referirse a invariante resolvente en lugar de ecuación resolvente .
• Un resolvente de Galois es un resolvente tal que el invariante del resolvente es lineal en las raíces.
• ElEl resolvente de Lagrange puede referirse al polinomio linealdondees unaraíz n- ésima primitiva. Es el invariante resolvente de un resolvente de Galois para el grupo identidad. $${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}X_{i}\omega ^{i}}$$ ${\displaystyle \omega }$
• Un resolvente relativo se define de manera similar a un resolvente, pero considerando solo la acción de los elementos de un subgrupo dado H de S _n , teniendo la propiedad de que, si un resolvente relativo para un subgrupo G de H tiene una raíz simple racional y el grupo de Galois de f está contenido en H , entonces el grupo de Galois de f está contenido en G . En este contexto, un resolvente usual se llama resolvente absoluto .

Método de resolución

El grupo de Galois de un polinomio de grado es o un subgrupo propio del mismo. Si un polinomio es separable e irreducible, entonces el grupo de Galois correspondiente es un subgrupo transitivo. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S_{n}}$

Los subgrupos transitivos de forman un grafo dirigido: un grupo puede ser un subgrupo de varios grupos. Un resolvente puede determinar si el grupo de Galois de un polinomio es un subgrupo (no necesariamente propio) de un grupo dado. El método resolvente es simplemente una forma sistemática de comprobar los grupos uno por uno hasta que solo sea posible un grupo. Esto no significa que se deban comprobar todos los grupos: cada resolvente puede cancelar muchos grupos posibles. Por ejemplo, para polinomios de grado cinco nunca es necesario un resolvente de : los resolventes para y proporcionan la información deseada. ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle D_{5}}$ ${\displaystyle A_{5}}$ ${\displaystyle M_{20}}$

Una forma es comenzar desde subgrupos máximos (transitivos) hasta encontrar el correcto y luego continuar con subgrupos máximos de ese.

Referencias

1. http://www.alexhealy.net/papers/math250a.pdf ^{[ URL básica PDF ]}

• Dickson, Leonard E. (1959). Teorías algebraicas . Nueva York: Dover Publications Inc., pág. ix+276. ISBN 0-486-49573-6.
• Girstmair, K. (1983). "Sobre el cálculo de resolventes y grupos de Galois". Manuscripta Mathematica . 43 (2–3): 289–307. doi :10.1007/BF01165834. S2CID  123752910.