Raíz de la unidad

Número que tiene una potencia entera igual a 1

Las 5ª raíces de la unidad (puntos azules) en el plano complejo

En matemáticas , una raíz de la unidad , a veces llamada número de De Moivre , es cualquier número complejo que da como resultado 1 cuando se eleva a una potencia entera positiva n . Las raíces de la unidad se utilizan en muchas ramas de las matemáticas y son especialmente importantes en la teoría de números , la teoría de caracteres de grupo y la transformada de Fourier discreta .

Las raíces de la unidad se pueden definir en cualquier cuerpo . Si la característica del cuerpo es cero, las raíces son números complejos que también son enteros algebraicos . Para cuerpos con una característica positiva, las raíces pertenecen a un cuerpo finito y, a la inversa , cada elemento distinto de cero de un cuerpo finito es una raíz de la unidad. Cualquier cuerpo algebraicamente cerrado contiene exactamente n n ésimas raíces de la unidad, excepto cuando n es un múltiplo de la característica (positiva) del cuerpo.

Definición general

Representación geométrica de la raíz 2 a la 6 de un número complejo general en forma polar. Para la raíz n de la unidad, súmese r  = 1 y φ  = 0. La raíz principal está en negro.

Una raíz n- ésima de la unidad , donde n es un entero positivo, es un número z que satisface la ecuación ^{[1] [2]} A menos que se especifique lo contrario, las raíces de la unidad pueden tomarse como números complejos (incluido el número 1 y el número −1 si n es par , que son complejos con una parte imaginaria cero ), y en este caso, las raíces n -ésimas de la unidad son ^[3] $${\displaystyle z^{n}=1.}$$ $${\displaystyle \exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.}$$

Sin embargo, la ecuación definitoria de raíces de la unidad tiene sentido sobre cualquier cuerpo (e incluso sobre cualquier anillo ) F , y esto permite considerar raíces de la unidad en F . Cualquiera que sea el cuerpo F , las raíces de la unidad en F son números complejos, si la característica de F es 0, o, de lo contrario, pertenecen a un cuerpo finito . Por el contrario, cada elemento distinto de cero en un cuerpo finito es una raíz de la unidad en ese cuerpo. Consulte Raíz de la unidad módulo n y Cuerpo finito para obtener más detalles.

Se dice que una raíz n- ésima de la unidad esprimitivo si no es unammmenor, es decir si^[4][5]

${\displaystyle z^{n}=1\quad {\text{and}}\quad z^{m}\neq 1{\text{ for }}m=1,2,3,\ldots ,n-1.}$

Si n es un número primo , entonces todas las raíces n- ^{ésimas de la unidad, excepto 1, son primitivas. [6]}

En la fórmula anterior en términos de funciones exponenciales y trigonométricas, las raíces n- ésimas primitivas de la unidad son aquellas para las que k y n son números enteros coprimos .

Las secciones posteriores de este artículo se ocuparán de las raíces unitarias complejas. Para el caso de raíces unitarias en cuerpos de característica distinta de cero, véase Cuerpo finito § Raíces unitarias . Para el caso de raíces unitarias en anillos de enteros modulares , véase Raíz unitaria módulo n .

Propiedades elementales

Toda raíz n -ésima de la unidad z es una raíz a- ésima primitiva de la unidad para algún a ≤ n , que es el entero positivo más pequeño tal que z ^a = 1 .

Cualquier potencia entera de una raíz n- ésima de la unidad es también una raíz n ^{-ésima de la unidad, [7]} como

${\displaystyle (z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.}$

Esto también es cierto para los exponentes negativos. En particular, el recíproco de una raíz n -ésima de la unidad es su conjugado complejo , y también es una raíz n -ésima de la unidad: ^[8]

${\displaystyle {\frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.}$

Si z es una raíz n-ésima de la unidad y a ≡ b (mod n ) entonces z ^a = z ^b . De hecho, por la definición de congruencia módulo n , a = b + kn para algún entero k , y por lo tanto

${\displaystyle z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}(z^{n})^{k}=z^{b}1^{k}=z^{b}.}$

Por lo tanto, dada una potencia z ^a de z , se tiene z ^a = z ^r , donde 0 ≤ r < n es el resto de la división euclidiana de a por n .

Sea z una raíz n- ésima primitiva de la unidad. Entonces las potencias z , z ² , ...,  z ^{n −1} , z ⁿ = z ⁰ = 1 son raíces n -ésimas de la unidad y son todas distintas. (Si z ^a = z ^b donde 1 ≤ a < b ≤ n , entonces z ^{b − a} = 1 , lo que implicaría que z no sería primitiva.) Esto implica que z , z ² , ...,  z ^{n −1} , z ⁿ = z ⁰ = 1 son todas las raíces n -ésimas de la unidad, ya que una ecuación polinómica de grado n sobre un cuerpo (en este caso el cuerpo de números complejos) tiene como máximo n soluciones.

De lo anterior se sigue que, si z es una raíz n- ésima primitiva de la unidad, entonces si y solo si Si z no es primitiva entonces implica pero la recíproca puede ser falsa, como se muestra en el siguiente ejemplo. Si n = 4 , una raíz n -ésima no primitiva de la unidad es z = –1 , y uno tiene , aunque ${\displaystyle z^{a}=z^{b}}$ ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}.}$ ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$ ${\displaystyle z^{a}=z^{b},}$ ${\displaystyle z^{2}=z^{4}=1}$ ${\displaystyle 2\not \equiv 4{\pmod {4}}.}$

Sea z una raíz primitiva n- ésima de la unidad. Una potencia w = z ^k de z es una raíz primitiva a- ésima de la unidad para

${\displaystyle a={\frac {n}{\gcd(k,n)}},}$

donde es el máximo común divisor de n y k . Esto resulta del hecho de que ka es el múltiplo más pequeño de k que también es múltiplo de n . En otras palabras, ka es el mínimo común múltiplo de k y n . Por lo tanto ${\displaystyle \gcd(k,n)}$

${\displaystyle a={\frac {\operatorname {lcm} (k,n)}{k}}={\frac {kn}{k\gcd(k,n)}}={\frac {n}{\gcd(k,n)}}.}$

Por lo tanto, si k y n son coprimos , z ^k es también una raíz n- ésima primitiva de la unidad y, por lo tanto, hay φ ( n ) raíces n -ésimas primitivas de la unidad distintas (donde φ es la función totiente de Euler ). Esto implica que si n es un número primo, todas las raíces excepto +1 son primitivas.

En otras palabras, si R( n ) es el conjunto de todas las raíces n ésimas de la unidad y P( n ) es el conjunto de las primitivas, R( n ) es una unión disjunta de las P( n ) :

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),}$

donde la notación significa que d pasa por todos los divisores positivos de n , incluidos 1 y n .

Dado que la cardinalidad de R( n ) es n , y la de P( n ) es φ ( n ) , esto demuestra la fórmula clásica

${\displaystyle \sum _{d\,|\,n}\varphi (d)=n.}$

Propiedades del grupo

Grupo de todas las raíces de la unidad.

El producto y el inverso multiplicativo de dos raíces de la unidad son también raíces de la unidad. De hecho, si x ^m = 1 e y n ⁼ 1 , entonces ( x ⁻¹ ) ^m = 1 , y ( xy ) ^k = 1 , donde k es el mínimo común múltiplo de m y n .

Por lo tanto, las raíces de la unidad forman un grupo abeliano bajo la multiplicación. Este grupo es el subgrupo de torsión del grupo del círculo .

Grupo denorteLas raíces de la unidad

Para un entero n , el producto y el inverso multiplicativo de dos raíces n -ésimas de la unidad también son raíces n -ésimas de la unidad. Por lo tanto, las raíces n- ésimas de la unidad forman un grupo abeliano bajo la multiplicación.

Dada una raíz n -ésima primitiva de la unidad ω , las otras raíces n -ésimas son potencias de ω . Esto significa que el grupo de las raíces n -ésimas de la unidad es un grupo cíclico . Vale la pena señalar que el término de grupo cíclico se originó a partir del hecho de que este grupo es un subgrupo del grupo circular .

Grupo de Galois de los primitivosnorteLas raíces de la unidad

Sea la extensión del campo de los números racionales generados sobre una raíz n -ésima primitiva de la unidad ω . Como toda raíz n -ésima de la unidad es una potencia de ω , el campo contiene todas las raíces n- ésimas de la unidad, y es una extensión de Galois de ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Si k es un entero, ω ^k es una raíz primitiva n- ésima de la unidad si y solo si k y n son coprimos . En este caso, la función

${\displaystyle \omega \mapsto \omega ^{k}}$

induce un automorfismo de , que asigna cada raíz n de la unidad a su k potencia. De esta manera se obtiene todo automorfismo de , y estos automorfismos forman el grupo de Galois de sobre el cuerpo de los racionales. ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$

Las reglas de exponenciación implican que la composición de dos de estos automorfismos se obtiene multiplicando los exponentes. De ello se deduce que la función

${\displaystyle k\mapsto \left(\omega \mapsto \omega ^{k}\right)}$

define un isomorfismo de grupo entre las unidades del anillo de números enteros módulo n y el grupo de Galois de ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega ).}$

Esto demuestra que este grupo de Galois es abeliano , e implica por tanto que las raíces primitivas de la unidad pueden expresarse en términos de radicales .

Grupo de Galois de la parte real de las raíces primitivas de la unidad

Las partes reales de las raíces primitivas de la unidad están relacionadas entre sí como raíces del polinomio mínimo de Las raíces del polinomio mínimo son justo el doble de la parte real; estas raíces forman un grupo de Galois cíclico. ${\displaystyle 2\cos(2\pi /n).}$

Expresión trigonométrica

Las raíces cúbicas de la unidad

La fórmula de De Moivre , que es válida para todos los x reales y los enteros n , es

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}$

Estableciendo x = ⁠2π/norte⁠ da una raíz n- ésima primitiva de la unidad: se obtiene

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,}$

pero

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1}$

para k = 1, 2, …, n − 1 . En otras palabras,

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

es una raíz n- ésima primitiva de la unidad.

Esta fórmula muestra que en el plano complejo las raíces n -ésimas de la unidad están en los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en el círculo unitario , con un vértice en 1 (ver los gráficos para n = 3 y n = 5 a la derecha). Este hecho geométrico explica el término "ciclotómico" en frases como campo ciclotómico y polinomio ciclotómico ; proviene de las raíces griegas "cyclo" (círculo) más "tomos" (cortar, dividir).

Fórmula de Euler

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

que es válida para todos los x reales , se puede utilizar para poner la fórmula para las raíces n -ésimas de la unidad en la forma

${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k<n.}$

De la discusión en la sección anterior se deduce que esta es una raíz n -ésima primitiva si y solo si la fracción ⁠a/norte⁠ está en términos mínimos; es decir, que k y n son coprimos. Un número irracional que puede expresarse como la parte real de la raíz de la unidad; es decir, como, se llama número trigonométrico . ${\displaystyle \cos(2\pi k/n)}$

Expresión algebraica

Las raíces n- ésimas de la unidad son, por definición, las raíces del polinomio x ⁿ − 1 , y son por tanto números algebraicos . Como este polinomio no es irreducible (excepto para n = 1 ), las raíces n -ésimas primitivas de la unidad son raíces de un polinomio irreducible (sobre los enteros) de grado inferior, llamado polinomio ciclotómico n -ésimo , y a menudo denotado Φ _n . El grado de Φ _n viene dado por la función totient de Euler , que cuenta (entre otras cosas) el número de raíces n- ésimas primitivas de la unidad. ^[9] Las raíces de Φ _n son exactamente las raíces n- ésimas primitivas de la unidad.

La teoría de Galois puede utilizarse para demostrar que los polinomios ciclotómicos pueden resolverse convenientemente en términos de radicales. (La forma trivial no es conveniente, porque contiene raíces no primitivas, como 1, que no son raíces del polinomio ciclotómico, y porque no da las partes real e imaginaria por separado). Esto significa que, para cada entero positivo n , existe una expresión construida a partir de enteros mediante extracciones de raíces, adiciones, restas, multiplicaciones y divisiones (y nada más), de modo que las raíces n primitivas de la unidad son exactamente el conjunto de valores que se pueden obtener eligiendo valores para las extracciones de raíces ( k valores posibles para una raíz k ). (Para más detalles, consulte § Campos ciclotómicos, a continuación). ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{1}}}$

Gauss demostró que una raíz n- ésima primitiva de la unidad puede expresarse utilizando únicamente raíces cuadradas , suma, resta, multiplicación y división si y solo si es posible construir con compás y regla el n -gono regular . Este es el caso si y solo si n es una potencia de dos o el producto de una potencia de dos y primos de Fermat que son todos diferentes.

Si z es una raíz primitiva n- ésima de la unidad, lo mismo es cierto para 1/ z , y es el doble de la parte real de z . En otras palabras, Φ _n es un polinomio recíproco , el polinomio que tiene r como raíz puede deducirse de Φ _n mediante la manipulación estándar de polinomios recíprocos, y las raíces primitivas n- ésimas de la unidad pueden deducirse de las raíces de resolviendo la ecuación cuadrática Es decir, la parte real de la raíz primitiva es y su parte imaginaria es ${\displaystyle r=z+{\frac {1}{z}}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle z^{2}-rz+1=0.}$ ${\displaystyle {\frac {r}{2}},}$ ${\displaystyle \pm i{\sqrt {1-\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}}}.}$

El polinomio es un polinomio irreducible cuyas raíces son todas reales. Su grado es una potencia de dos, si y sólo si n es un producto de una potencia de dos por un producto (posiblemente vacío ) de primos de Fermat distintos, y el n -gono regular es construible con compás y regla. De lo contrario, es resoluble en radicales, pero se está en el casus irreducibilis , es decir, toda expresión de las raíces en términos de radicales implica radicales no reales . ${\displaystyle R_{n}}$

Expresiones explícitas en grados bajos

• Para n = 1 , el polinomio ciclotómico es Φ ₁ ( x ) = x − 1 Por lo tanto, la única raíz primitiva primera de la unidad es 1, que es una raíz n -ésima no primitiva de la unidad para cada n > 1.
• Como Φ ₂ ( x ) = x + 1 , la única raíz cuadrada segunda primitiva de la unidad es −1, que también es una raíz n ésima no primitiva de la unidad para todo n > 2 par . Con el caso anterior, esto completa la lista de raíces reales de la unidad.
• Como Φ ₃ ( x ) = x ² + x + 1 , las raíces primitivas terceras ( cúbicas ) de la unidad, que son las raíces de este polinomio cuadrático , son $${\displaystyle {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\ {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}$$
• Como Φ ₄ ( x ) = x ² + 1 , las dos raíces cuartas primitivas de la unidad son i y − i .
• Como Φ ₅ ( x ) = x ⁴ + x ³ + x ² + x + 1 , las cuatro raíces quintas primitivas de la unidad son las raíces de este polinomio cuártico , que puede resolverse explícitamente en términos de radicales, dando las raíces donde pueden tomar los dos valores 1 y −1 (el mismo valor en las dos ocurrencias). $${\displaystyle {\frac {\varepsilon {\sqrt {5}}-1}{4}}\pm i{\frac {\sqrt {10+2\varepsilon {\sqrt {5}}}}{4}},}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$
• Como Φ ₆ ( x ) = x ² − x + 1 , hay dos raíces sextas primitivas de la unidad, que son los negativos (y también las raíces cuadradas) de las dos raíces cúbicas primitivas: $${\displaystyle {\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},\ {\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}$$
• Como 7 no es un primo de Fermat, las raíces séptimas de la unidad son las primeras que requieren raíces cúbicas . Hay 6 raíces séptimas primitivas de la unidad, que son conjugadas complejas por pares . La suma de una raíz y su conjugado es el doble de su parte real. Estas tres sumas son las tres raíces reales del polinomio cúbico y las raíces séptimas primitivas de la unidad son donde r se extiende sobre las raíces del polinomio anterior. Como para cada polinomio cúbico, estas raíces se pueden expresar en términos de raíces cuadradas y cúbicas. Sin embargo, como estas tres raíces son todas reales, esto es casus irreducibilis , y cualquier expresión de este tipo implica raíces cúbicas no reales. ${\displaystyle r^{3}+r^{2}-2r-1,}$ $${\displaystyle {\frac {r}{2}}\pm i{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{4}}}},}$$
• Como Φ ₈ ( x ) = x ⁴ + 1 , las cuatro raíces octavas primitivas de la unidad son las raíces cuadradas de las raíces cuartas primitivas, ±  i . Por lo tanto, son $${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\pm i{\frac {\sqrt {2}}{2}}.}$$
• Véase Heptadecágono para la parte real de una raíz 17 de la unidad.

Periodicidad

Si z es una raíz n- ésima primitiva de la unidad, entonces la secuencia de potencias

… ,  z ⁻¹ ,  z ⁰ ,  z ¹ , …

es n -periódica (porque z ^{j  +  n} = z ^j z ⁿ = z ^j para todos los valores de j ), y las n secuencias de potencias

s _k : … ,  z ^{k ⋅(−1)} ,  z ^{k ⋅0} ,  z ^{k ⋅1} , …

para k = 1, … ,  n son todos n -periódicos (porque z ^{k ⋅( j  +  n )} = z ^{k ⋅ j} ). Además, el conjunto { s ₁ , … ,  s _n } de estas sucesiones es una base del espacio lineal de todas las sucesiones n -periódicas. Esto significa que cualquier sucesión n -periódica de números complejos

… ,  x ₋₁  ,  x ₀  ,  x ₁ , …

se puede expresar como una combinación lineal de potencias de una raíz n- ésima primitiva de la unidad:

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}X_{k}\cdot z^{k\cdot j}=X_{1}z^{1\cdot j}+\cdots +X_{n}\cdot z^{n\cdot j}}$

para algunos números complejos X ₁ , … ,  X _n y cada entero j .

Esta es una forma de análisis de Fourier . Si j es una variable temporal (discreta), entonces k es una frecuencia y X _k es una amplitud compleja .

Elección de la raíz n- ésima primitiva de la unidad

${\displaystyle z=e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

permite expresar x _j como una combinación lineal de cos y sen :

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}A_{k}\cos {\frac {2\pi jk}{n}}+\sum _{k}B_{k}\sin {\frac {2\pi jk}{n}}.}$

Esta es una transformada de Fourier discreta .

Suma

Sea SR( n ) la suma de todas las raíces n-ésimas de la unidad, primitivas o no. Entonces

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1.\end{cases}}}$

Esta es una consecuencia inmediata de las fórmulas de Vieta . De hecho, como las raíces n-ésimas de la unidad son las raíces del polinomio X ⁿ – 1 , su suma es el coeficiente de grado n – 1 , que es 1 o 0 según n = 1 o n > 1 .

Alternativamente, para n = 1 no hay nada que demostrar, y para n > 1 existe una raíz z ≠ 1 – ya que el conjunto S de todas las n -ésimas raíces de la unidad es un grupo , z  S = S , por lo que la suma satisface z SR( n ) = SR( n ) , de donde SR( n ) = 0 .

Sea SP( n ) la suma de todas las raíces n- ésimas primitivas de la unidad. Entonces

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\mu (n),}$

donde μ ( n ) es la función de Möbius .

En la sección Propiedades elementales, se demostró que si R( n ) es el conjunto de todas las raíces n-ésimas de la unidad y P( n ) es el conjunto de las primitivas, R( n ) es una unión disjunta de las P( n ) :

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),}$

Esto implica

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)=\sum _{d\,|\,n}\operatorname {SP} (d).}$

Aplicando la fórmula de inversión de Möbius se obtiene

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\sum _{d\,|\,n}\mu (d)\operatorname {SR} \left({\frac {n}{d}}\right).}$

En esta fórmula, si d < n , entonces SR( ⁠norte/d⁠ ) ​​= 0 , y para d = n : SR( ⁠norte/d⁠ ) ​​= 1 . Por lo tanto, SP( n ) = μ ( n ) .

Este es el caso especial c _n (1) de la suma c _n ( s ) de Ramanujan , ^[10] definida como la suma de las s ésimas potencias de las n ésimas raíces primitivas de la unidad:

${\displaystyle c_{n}(s)=\sum _{a=1 \atop \gcd(a,n)=1}^{n}e^{2\pi i{\frac {a}{n}}s}.}$

Ortogonalidad

De la fórmula de suma se deduce una relación de ortogonalidad : para j  = 1, … ,  n y j′  = 1, … ,  n

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {z^{j\cdot k}}}\cdot z^{j'\cdot k}=n\cdot \delta _{j,j'}}$

donde δ es el delta de Kronecker y z es cualquier raíz n- ésima primitiva de la unidad.

La matriz n  ×  n U cuya entrada ( j ,  k ) es

${\displaystyle U_{j,k}=n^{-{\frac {1}{2}}}\cdot z^{j\cdot k}}$

define una transformada de Fourier discreta . Calcular la transformación inversa mediante eliminación gaussiana requiere O ( n ³ ) operaciones. Sin embargo, de la ortogonalidad se deduce que U es unitaria . Es decir,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {U_{j,k}}}\cdot U_{k,j'}=\delta _{j,j'},}$

y por lo tanto la inversa de U es simplemente el conjugado complejo. (Este hecho fue observado por primera vez por Gauss al resolver el problema de interpolación trigonométrica ). La aplicación directa de U o su inversa a un vector dado requiere O ( n ² ) operaciones. Los algoritmos de transformada rápida de Fourier reducen aún más el número de operaciones a O ( n  log  n ) .

Polinomios ciclotómicos

Los ceros del polinomio

${\displaystyle p(z)=z^{n}-1}$

son precisamente las n -ésimas raíces de la unidad, cada una con multiplicidad 1. El n -ésimo polinomio ciclotómico se define por el hecho de que sus ceros son precisamente las n -ésimas raíces primitivas de la unidad, cada una con multiplicidad 1.

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{k=1}^{\varphi (n)}(z-z_{k})}$

donde z ₁ ,  z ₂ ,  z ₃ , …, z _{φ( n )} son las raíces primitivas n ésimas de la unidad, y φ( n ) es la función totiente de Euler . El polinomio Φ _n ( z ) tiene coeficientes enteros y es un polinomio irreducible sobre los números racionales (es decir, no se puede escribir como el producto de dos polinomios de grado positivo con coeficientes racionales). ^[9] El caso del primo n , que es más fácil que la afirmación general, se deduce aplicando el criterio de Eisenstein al polinomio

${\displaystyle {\frac {(z+1)^{n}-1}{(z+1)-1}},}$

y expandiendo mediante el teorema del binomio .

Toda raíz n- ésima de la unidad es una raíz d -ésima primitiva de la unidad para exactamente un divisor positivo d de n . Esto implica que ^[9]

${\displaystyle z^{n}-1=\prod _{d\,|\,n}\Phi _{d}(z).}$

Esta fórmula representa la factorización del polinomio z ⁿ − 1 en factores irreducibles:

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{1}-1&=z-1\\z^{2}-1&=(z-1)(z+1)\\z^{3}-1&=(z-1)(z^{2}+z+1)\\z^{4}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)\\z^{5}-1&=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{6}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\\z^{7}-1&=(z-1)(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{8}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)(z^{4}+1)\\\end{aligned}}}$

Aplicando la inversión de Möbius a la fórmula se obtiene

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{\frac {n}{d}}-1\right)^{\mu (d)}=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{d}-1\right)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},}$

donde μ es la función de Möbius . Por lo tanto, los primeros polinomios ciclotómicos son

Φ1 ( z ) = z − ₁

Φ ₂ ( z ) = ( z ² − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z + 1

Φ ₃ ( z ) = ( z ³ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ² + z + 1

Φ ₄ ( z ) = ( z ⁴ − 1)⋅( z ² − 1) ⁻¹ = z ² + 1

Φ ₅ ( z ) = ( z ⁵ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1

Φ ₆ ( z ) = ( z ⁶ − 1)⋅( z ³ − 1) ⁻¹ ⋅( z ² − 1) ⁻¹ ⋅( z − 1) = z ² − z + 1

Φ ₇ ( z ) = ( z ⁷ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ⁶ + z ⁵ + z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1

Φ ₈ ( z ) = ( z ⁸ − 1)⋅( z ⁴ − 1) ⁻¹ = z ⁴ + 1

Si p es un número primo , entonces todas las raíces p de la unidad excepto 1 son raíces p primitivas. Por lo tanto, ^[6] Sustituyendo cualquier entero positivo ≥ 2 por z , esta suma se convierte en un repunit de base z . Por lo tanto, una condición necesaria (pero no suficiente) para que un repunit sea primo es que su longitud sea prima. $${\displaystyle \Phi _{p}(z)={\frac {z^{p}-1}{z-1}}=\sum _{k=0}^{p-1}z^{k}.}$$

Nótese que, contrariamente a las primeras apariencias, no todos los coeficientes de todos los polinomios ciclotómicos son 0, 1 o −1. La primera excepción es Φ ₁₀₅ . No es una sorpresa que se necesite tanto tiempo para obtener un ejemplo, porque el comportamiento de los coeficientes no depende tanto de n como de cuántos factores primos impares aparecen en n . Más precisamente, se puede demostrar que si n tiene 1 o 2 factores primos impares (por ejemplo, n  = 150 ), entonces el n º polinomio ciclotómico solo tiene coeficientes 0, 1 o −1. Por lo tanto, el primer n concebible para el que podría haber un coeficiente además de 0, 1 o −1 es un producto de los tres primos impares más pequeños, y es 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105 . Esto por sí solo no prueba que el polinomio 105 tenga otro coeficiente, pero sí muestra que es el primero que tiene una probabilidad de funcionar (y luego un cálculo de los coeficientes muestra que sí la tiene). Un teorema de Schur dice que hay polinomios ciclotómicos con coeficientes arbitrariamente grandes en valor absoluto . En particular, si donde son primos impares y t es impar, entonces 1 − t aparece como coeficiente en el n º polinomio ciclotómico. ^[11] ${\displaystyle n=p_{1}p_{2}\cdots p_{t},}$ ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{t}}$ ${\displaystyle p_{1}+p_{2}>p_{t},}$

Se conocen muchas restricciones sobre los valores que pueden asumir los polinomios ciclotómicos en valores enteros. Por ejemplo, si p es primo, entonces d  ∣ Φ _p ( d ) si y solo si d ≡ 1 (mod p ) .

Los polinomios ciclotómicos se pueden resolver en radicales , ya que las raíces de la unidad son radicales en sí mismas. Además, existen expresiones radicales más informativas para las raíces n -ésimas de la unidad con la propiedad adicional ^[12] de que cada valor de la expresión obtenido al elegir valores de los radicales (por ejemplo, signos de raíces cuadradas) es una raíz n- ésima primitiva de la unidad. Esto ya lo demostró Gauss en 1797. ^{[13] Existen} algoritmos eficientes para calcular tales expresiones. ^[14]

Grupos cíclicos

Las raíces n -ésimas de la unidad forman, bajo la multiplicación, un grupo cíclico de orden n y, de hecho, estos grupos comprenden todos los subgrupos finitos del grupo multiplicativo del cuerpo de números complejos. Un generador para este grupo cíclico es una raíz n- ésima primitiva de la unidad.

Las raíces n- ésimas de la unidad forman una representación irreducible de cualquier grupo cíclico de orden n . La relación de ortogonalidad también se desprende de los principios de la teoría de grupos , como se describe en Grupo de caracteres .

Las raíces de la unidad aparecen como entradas de los vectores propios de cualquier matriz circulante ; es decir, matrices que son invariantes bajo desplazamientos cíclicos, un hecho que también se desprende de la teoría de representación de grupos como una variante del teorema de Bloch . ^{[15] [ página necesaria ] En particular, si se considera una} matriz hermítica circulante (por ejemplo, un laplaciano unidimensional discretizado con límites periódicos ^[16] ), la propiedad de ortogonalidad se desprende inmediatamente de la ortogonalidad habitual de los vectores propios de las matrices hermíticas.

Campos ciclotómicos

Al adjuntar una raíz n -ésima primitiva de la unidad a una se obtiene el n -ésimo cuerpo ciclotómico. Este cuerpo contiene todas las raíces n- ésimas de la unidad y es el cuerpo de descomposición del n -ésimo polinomio ciclotómico sobre La extensión del cuerpo tiene grado φ( n ) y su grupo de Galois es naturalmente isomorfo al grupo multiplicativo de unidades del anillo. ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n)).}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$

Como el grupo de Galois de es abeliano, se trata de una extensión abeliana . Todo subcuerpo de un cuerpo ciclotómico es una extensión abeliana de los racionales. De ello se deduce que toda raíz n- ésima de la unidad puede expresarse en términos de raíces k , y que varios k no superan φ( n ). En estos casos, la teoría de Galois puede escribirse explícitamente en términos de períodos gaussianos : esta teoría de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss se publicó muchos años antes que Galois. ^[17] ${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$

Por el contrario, cada extensión abeliana de los racionales es un subcampo de un campo ciclotómico: este es el contenido de un teorema de Kronecker , usualmente llamado teorema de Kronecker-Weber debido a que Weber completó la prueba.

Relación con números enteros cuadráticos

En el plano complejo , los puntos rojos son las raíces quintas de la unidad, y los puntos negros son las sumas de una raíz quinta de la unidad y su conjugado complejo.

En el plano complejo, los vértices de los dos cuadrados son las octavas raíces de la unidad.

Para n = 1, 2 , ambas raíces de la unidad 1 y −1 son números enteros .

Para tres valores de n , las raíces de la unidad son números enteros cuadráticos :

• Para n = 3, 6 son números enteros de Eisenstein ( D = −3 ).
• Para n = 4 son números enteros gaussianos ( D = −1 ): ver Unidad imaginaria .

Para otros cuatro valores de n , las raíces primitivas de la unidad no son números enteros cuadráticos, pero la suma de cualquier raíz de la unidad con su conjugado complejo (también una raíz n -ésima de la unidad) es un número entero cuadrático.

Para n = 5, 10 , ninguna de las raíces no reales de la unidad (que satisfacen una ecuación cuártica ) es un entero cuadrático, pero la suma z + z = 2  Re z de cada raíz con su conjugado complejo (también una quinta raíz de la unidad) es un elemento del anillo Z [ ⁠1 +  √ 5/2⁠ ] ( D = 5). Para dos pares de raíces quintas no reales de la unidad, estas sumas sonla proporción áureainversa ynegativa.

Para n = 8 , para cualquier raíz de la unidad, z + z es igual a 0, ±2 o ± √ 2 ( D = 2 ).

Para n = 12 , para cualquier raíz de la unidad, z + z es igual a 0, ±1, ±2 o ± √ 3 ( D = 3 ).

Véase también

• Sistema de Argand
• Grupo circular , los números complejos unitarios
• Campo ciclotómico
• Esquema de grupo de raíces de unidad
• Personaje de Dirichlet
• La suma de Ramanujan
• Vector de Witt
• Personaje de Teichmüller

Notas

1. Hadlock, Charles R. (2000). Teoría de campos y sus problemas clásicos, volumen 14. Cambridge University Press. págs. 84-86. ISBN 978-0-88385-032-9.
2. Lang, Serge (2002). "Raíces de la unidad". Álgebra . Springer. pp. 276–277. ISBN 978-0-387-95385-4.
3. Meserve, Bruce E. (1982). Conceptos fundamentales del álgebra . Dover Publications. pág. 52.
4. Moskowitz, Martin A. (2003). Aventura en las matemáticas. World Scientific. pág. 36. ISBN 9789812794949.
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6. Morandi, Patrick (1996). Teoría de campo y de Galois. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 167. Springer. p. 74. doi :10.1007/978-1-4612-4040-2. ISBN 978-0-387-94753-2.
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10. Apostol, Tom M. (1976). Introducción a la teoría analítica de números. Textos de pregrado en matemáticas. Springer. p. 160. doi :10.1007/978-1-4757-5579-4. ISBN 978-1-4419-2805-4.
11. Lehmer, Emma (1936). "Sobre la magnitud de los coeficientes del polinomio ciclotómico". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 42 (6): 389–392. doi : 10.1090/S0002-9904-1936-06309-3 .
12. Landau, Susan ; Miller, Gary L. (1985). "La solubilidad por radicales está en tiempo polinomial". Journal of Computer and System Sciences . 30 (2): 179–208. doi :10.1016/0022-0000(85)90013-3.
13. Gauss, Carl F. (1965). Disquisiciones Arithmeticae . Prensa de la Universidad de Yale. págs. §§359–360. ISBN 0-300-09473-6.
14. Weber, Andreas; Keckeisen, Michael. "Resolución de polinomios ciclotómicos mediante expresiones radicales" (PDF) . Consultado el 22 de junio de 2007 .
15. Inui, Teturo; Tanabe, Yukito; Onodera, Yoshitaka (1996). Teoría de grupos y sus aplicaciones en física . Springer.
16. Strang, Gilbert (1999). "La transformada discreta del coseno". SIAM Review . 41 (1): 135–147. Bibcode :1999SIAMR..41..135S. doi :10.1137/S0036144598336745.
17. Las Disquisitiones se publicaron en 1801, Galois nació en 1811, murió en 1832, pero no se publicaron hasta 1846.

Referencias

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• Milne, James S. (1998). "Teoría algebraica de números". Apuntes del curso .
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• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol. 322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8.MR  1697859.Zbl 0956.11021  .​
• Neukirch, Jürgen (1986). Teoría de campos de clases . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-15251-2.
• Washington, Lawrence C. (1997). Introducción a los campos ciclotómicos (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94762-0.
• Derbyshire, John (2006). "Raíces de la unidad". Cantidad desconocida . Washington, DC: Joseph Henry Press . ISBN. 0-309-09657-X.