Función cuártica

Polynomial function of degree four

Gráfica de un polinomio de grado 4, con 3 puntos críticos y cuatro raíces reales (cruces del eje x ) (y por lo tanto ninguna raíz compleja ). Si uno u otro de los mínimos locales estuviera por encima del eje x , o si el máximo local estuviera por debajo de él, o si no hubiera ningún máximo local y un mínimo por debajo del eje x , sólo habría dos raíces reales (y dos raíces complejas). Si los tres extremos locales estuvieran por encima del eje x , o si no hubiera ningún máximo local y un mínimo por encima del eje x , no habría ninguna raíz real (y cuatro raíces complejas). El mismo razonamiento se aplica a la inversa a un polinomio con un coeficiente cuártico negativo.

En álgebra , una función cuártica es una función de la forma

${\displaystyle f(x)=ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e,}$^alfa

donde a es distinto de cero, lo cual se define mediante un polinomio de grado cuatro, llamado polinomio cuártico .

Una ecuación cuártica , o ecuación de cuarto grado, es una ecuación que iguala un polinomio cuártico a cero, de la forma

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0,}$

donde a ≠ 0 . ^[1] La derivada de una función cuártica es una función cúbica .

A veces se utiliza el término bicuadrático en lugar de cuártico , pero, por lo general, función bicuadrática se refiere a una función cuadrática de un cuadrado (o, equivalentemente, a la función definida por un polinomio cuártico sin términos de grado impar), que tiene la forma

${\displaystyle f(x)=ax^{4}+cx^{2}+e.}$

Como una función cuártica se define por un polinomio de grado par, tiene el mismo límite infinito cuando el argumento tiende a infinito positivo o negativo . Si a es positivo, entonces la función crece hasta infinito positivo en ambos extremos; y por lo tanto la función tiene un mínimo global . Del mismo modo, si a es negativo, decrece hasta infinito negativo y tiene un máximo global. En ambos casos puede tener o no otro máximo local y otro mínimo local.

El grado cuatro ( caso cuártico ) es el grado más alto tal que toda ecuación polinómica puede resolverse mediante radicales , según el teorema de Abel-Ruffini .

Historia

A Lodovico Ferrari se le atribuye el descubrimiento de la solución de la cuártica en 1540, pero como esta solución, como todas las soluciones algebraicas de la cuártica, requiere la solución de una cúbica para ser encontrada, no pudo ser publicada inmediatamente. ^[2] La solución de la cuártica fue publicada junto con la de la cúbica por el mentor de Ferrari, Gerolamo Cardano, en el libro Ars Magna . ^[3]

La prueba de que cuatro es el grado más alto de un polinomio general para el que se pueden encontrar tales soluciones se dio por primera vez en el teorema de Abel-Ruffini en 1824, lo que demostraba que todos los intentos de resolver los polinomios de orden superior serían inútiles. Las notas dejadas por Évariste Galois antes de morir en un duelo en 1832 condujeron más tarde a una elegante teoría completa de las raíces de los polinomios, de la que este teorema fue uno de los resultados. ^[4]

Aplicaciones

Cada coordenada de los puntos de intersección de dos secciones cónicas es una solución de una ecuación de segundo grado. Lo mismo ocurre con la intersección de una línea y un toro . De ello se deduce que las ecuaciones de segundo grado surgen a menudo en la geometría computacional y en todos los campos relacionados, como los gráficos por ordenador , el diseño asistido por ordenador , la fabricación asistida por ordenador y la óptica . A continuación se ofrecen ejemplos de otros problemas geométricos cuya solución implica resolver una ecuación de segundo grado.

En la fabricación asistida por ordenador , el toro es una forma que se asocia habitualmente con la fresa . Para calcular su ubicación en relación con una superficie triangulada, se debe encontrar la posición de un toro horizontal en el eje z donde es tangente a una línea fija, y esto requiere que se calcule la solución de una ecuación cuártica general. ^[5]

Una ecuación cuártica surge también en el proceso de resolver el problema de las escaleras cruzadas , en el que se dan las longitudes de dos escaleras cruzadas, cada una apoyada contra una pared y reclinada contra otra, junto con la altura a la que se cruzan, y se debe encontrar la distancia entre las paredes. ^[6]

En óptica, el problema de Alhazen es: " Dada una fuente de luz y un espejo esférico, encontrar el punto en el espejo donde la luz se reflejará en el ojo de un observador ". Esto conduce a una ecuación cuártica. ^{[7] [8] [9]}

Para hallar la distancia de aproximación más cercana entre dos elipses es necesario resolver una ecuación de cuarto grado.

Los valores propios de una matriz 4×4 son las raíces de un polinomio cuártico que es el polinomio característico de la matriz.

La ecuación característica de una ecuación diferencial o de una ecuación lineal de cuarto orden es una ecuación de cuarto grado. Un ejemplo de ello es la teoría de flexión de vigas de Timoshenko-Rayleigh. ^[10]

Las intersecciones entre esferas, cilindros u otros cuadráticos se pueden encontrar utilizando ecuaciones cuárticas.

Puntos de inflexión y proporción áurea

Siendo F y G los puntos de inflexión distintos del gráfico de una función cuártica, y siendo H la intersección de la línea secante de inflexión FG y la cuártica, más cercana a G que a F , entonces G divide a FH en la sección áurea : ^[11]

${\displaystyle {\frac {FG}{GH}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \;({\text{the golden ratio}}).}$

Además, el área de la región entre la línea secante y el cuartico debajo de la línea secante es igual al área de la región entre la línea secante y el cuartico encima de la línea secante. Una de esas regiones está disjunta en subregiones de igual área.

Solución

Naturaleza de las raíces

Dada la ecuación cuártica general

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$

con coeficientes reales y a ≠ 0 la naturaleza de sus raíces está determinada principalmente por el signo de su discriminante

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ={}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}\end{aligned}}}$

Esto se puede refinar considerando los signos de otros cuatro polinomios:

${\displaystyle P=8ac-3b^{2}}$

de tal manera quePAG/8 a ²⁠ es el coeficiente de segundo grado del cuartico deprimido asociado (ver más abajo);

${\displaystyle R=b^{3}+8da^{2}-4abc,}$

de tal manera queR/8 a ³⁠ es el coeficiente de primer grado del cuartico deprimido asociado;

${\displaystyle \Delta _{0}=c^{2}-3bd+12ae,}$

que es 0 si el cuartico tiene raíz triple; y

${\displaystyle D=64a^{3}e-16a^{2}c^{2}+16ab^{2}c-16a^{2}bd-3b^{4}}$

que es 0 si el cuartico tiene dos raíces dobles.

Los casos posibles para la naturaleza de las raíces son los siguientes: ^[12]

• Si ∆ < 0 entonces la ecuación tiene dos raíces reales distintas y dos raíces no reales conjugadas complejas .
• Si ∆ > 0 entonces las cuatro raíces de la ecuación son todas reales o ninguna lo es.
  • Si P < 0 y D < 0 entonces las cuatro raíces son reales y distintas.
  • Si P > 0 o D > 0 entonces hay dos pares de raíces conjugadas complejas no reales. ^[13]
• Si ∆ = 0 entonces (y sólo entonces) el polinomio tiene raíz múltiple . A continuación se muestran los distintos casos que pueden darse:
  • Si P < 0 y D < 0 y ∆ ₀ ≠ 0 , hay una raíz doble real y dos raíces simples reales.
  • Si D > 0 o ( P > 0 y ( D ≠ 0 o R ≠ 0)), hay una raíz doble real y dos raíces conjugadas complejas.
  • Si ∆ ₀ = 0 y D ≠ 0, hay una raíz triple y una raíz simple, todas reales.
  • Si D = 0, entonces:
    • Si P < 0, hay dos raíces dobles reales.
    • Si P > 0 y R = 0, hay dos raíces dobles conjugadas complejas.
    • Si ∆ ₀ = 0 , las cuatro raíces son iguales a − ⁠b/4 a⁠

Hay algunos casos que no parecen contemplados, pero que en realidad no pueden darse. Por ejemplo, ∆ ₀ > 0 , P = 0 y D ≤ 0 no es uno de los casos. De hecho, si ∆ ₀ > 0 y P = 0 entonces D > 0, por lo que esta combinación no es posible. ${\displaystyle 16a^{2}\Delta _{0}=3D+P^{2};}$

Fórmula general para raíces

Solución escrita en su totalidad. Esta fórmula es demasiado difícil de manejar para un uso general, por lo que generalmente se utilizan otros métodos o fórmulas más simples para casos especiales. ${\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

Las cuatro raíces x ₁ , x ₂ , x ₃ y x ₄ para la ecuación cuártica general

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}$

con un ≠ 0 se dan en la siguiente fórmula, que se deduce de la del apartado sobre el método de Ferrari cambiando de nuevo las variables (véase § Conversión a una cuártica deprimida) y utilizando las fórmulas para las ecuaciones cuadráticas y cúbicas .

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1,2}\ &=-{\frac {b}{4a}}-S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p+{\frac {q}{S}}}}\\x_{3,4}\ &=-{\frac {b}{4a}}+S\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {-4S^{2}-2p-{\frac {q}{S}}}}\end{aligned}}}$

donde p y q son los coeficientes de segundo y primer grado respectivamente en el cuartico deprimido asociado

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}\end{aligned}}}$

Y donde

${\displaystyle {\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {1}{3a}}\left(Q+{\frac {\Delta _{0}}{Q}}\right)}}\\Q&={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}+{\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}}$

(si S = 0 o Q = 0 , ver § Casos especiales de la fórmula, a continuación)

con

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{0}&=c^{2}-3bd+12ae\\\Delta _{1}&=2c^{3}-9bcd+27b^{2}e+27ad^{2}-72ace\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle \Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}=-27\Delta \ ,}$donde es el discriminante antes mencionado . Para la expresión de la raíz cúbica de Q se puede utilizar cualquiera de las tres raíces cúbicas en el plano complejo, aunque si una de ellas es real esa es la natural y más sencilla de elegir. Las expresiones matemáticas de estos últimos cuatro términos son muy similares a las de sus homólogos cúbicos . ${\displaystyle \Delta }$

Casos especiales de la fórmula

• Si el valor de es un número complejo no real. En este caso, o bien todas las raíces son no reales o todas son reales. En este último caso, el valor de también es real, a pesar de expresarse en términos de esto es casus irreducibilis de la función cúbica extendida al presente contexto de la cuártica. Se puede preferir expresarlo de una manera puramente real, utilizando funciones trigonométricas , como sigue: ${\displaystyle \Delta >0,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Q;}$

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {-{\frac {2}{3}}\ p+{\frac {2}{3a}}{\sqrt {\Delta _{0}}}\cos {\frac {\varphi }{3}}}}}$

dónde

${\displaystyle \varphi =\arccos \left({\frac {\Delta _{1}}{2{\sqrt {\Delta _{0}^{3}}}}}\right).}$

• Si y el signo de tiene que ser elegido para tener eso es uno debe definir como mantener el signo de ${\displaystyle \Delta \neq 0}$ ${\displaystyle \Delta _{0}=0,}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}={\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}}$ ${\displaystyle Q\neq 0,}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Delta _{1}^{2}}}}$ ${\displaystyle \Delta _{1},}$ ${\displaystyle \Delta _{1}.}$
• Si entonces uno debe cambiar la elección de la raíz cúbica en para tener Esto siempre es posible excepto si el cuártico puede factorizarse en El resultado es entonces correcto, pero engañoso porque oculta el hecho de que no se necesita raíz cúbica en este caso. De hecho, este caso ^{[ aclaración necesaria ]} puede ocurrir solo si el numerador de es cero, en cuyo caso el cuártico deprimido asociado es bicuadrático; por lo tanto, puede resolverse mediante el método descrito a continuación. ${\displaystyle S=0,}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle S\neq 0.}$ ${\displaystyle \left(x+{\tfrac {b}{4a}}\right)^{4}.}$ ${\displaystyle q}$
• Si y y por lo tanto también al menos tres raíces son iguales entre sí, y las raíces son funciones racionales de los coeficientes. La raíz triple es una raíz común de la cuártica y su segunda derivada es por lo tanto también la raíz única del resto de la división euclidiana de la cuártica por su segunda derivada, que es un polinomio lineal. La raíz simple se puede deducir de ${\displaystyle \Delta =0}$ ${\displaystyle \Delta _{0}=0,}$ ${\displaystyle \Delta _{1}=0,}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle 2(6ax^{2}+3bx+c);}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}+3x_{0}=-b/a.}$
• Si la expresión anterior para las raíces es correcta pero engañosa, oculta el hecho de que el polinomio es reducible y no se necesita una raíz cúbica para representar las raíces. ${\displaystyle \Delta =0}$ ${\displaystyle \Delta _{0}\neq 0,}$

Casos más simples

Cuárticos reducibles

Consideremos el cuartico general

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.}$

Es reducible si Q ( x ) = R ( x ) × S ( x ) , donde R ( x ) y S ( x ) son polinomios no constantes con coeficientes racionales (o más generalmente con coeficientes en el mismo cuerpo que los coeficientes de Q ( x ) ). Tal factorización tomará una de dos formas:

${\displaystyle Q(x)=(x-x_{1})(b_{3}x^{3}+b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0})}$

o

${\displaystyle Q(x)=(c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0})(d_{2}x^{2}+d_{1}x+d_{0}).}$

En cualquier caso, las raíces de Q ( x ) son las raíces de los factores, que pueden calcularse utilizando las fórmulas para las raíces de una función cuadrática o una función cúbica .

La detección de la existencia de tales factorizaciones se puede realizar mediante la función cúbica resolvente de Q ( x ) . Resulta que:

• Si estamos trabajando sobre R (es decir, si los coeficientes están restringidos a ser números reales) (o, más generalmente, sobre algún cuerpo real cerrado ) entonces siempre existe dicha factorización;
• Si estamos trabajando sobre Q (es decir, si los coeficientes están restringidos a ser números racionales), entonces existe un algoritmo para determinar si Q ( x ) es reducible o no y, si lo es, cómo expresarlo como un producto de polinomios de menor grado.

De hecho, varios métodos para resolver ecuaciones de cuarto grado (el método de Ferrari, el método de Descartes y, en menor medida, el método de Euler) se basan en encontrar dichas factorizaciones.

Ecuación bicuadrática

Si a ₃ = a ₁ = 0 entonces la función

${\displaystyle Q(x)=a_{4}x^{4}+a_{2}x^{2}+a_{0}}$

se llama función bicuadrática ; al igualarla a cero se define una ecuación bicuadrática , que es fácil de resolver de la siguiente manera

Sea la variable auxiliar z = x ² . Entonces Q ( x ) se convierte en una q cuadrática en z : q ( z ) = a ₄ z ² + a ₂ z + a ₀ . Sean z ₊ y z ₋ las raíces de q ( z ) . Entonces las raíces de la cuártica Q ( x ) son

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=+{\sqrt {z_{+}}},\\x_{2}&=-{\sqrt {z_{+}}},\\x_{3}&=+{\sqrt {z_{-}}},\\x_{4}&=-{\sqrt {z_{-}}}.\end{aligned}}}$

Ecuación cuasi-palindrómica

El polinomio

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}mx+a_{0}m^{2}}$

es casi palindrómica , ya que P ( mx ) = ⁠4 ^veces/metros ^cuadrados⁠ P ( ⁠metro/incógnita⁠ ) ​​(es palindrómica si m = 1 ). El cambio de variables z = x + ⁠metro/incógnita⁠ en ⁠P ( x )/x2^​⁠ = 0 produce la ecuación cuadrática a ₀ z ² + a ₁ z + a ₂ − 2 ma ₀ = 0 . Como x ² − xz + m = 0 , la ecuación cuártica P ( x ) = 0 se puede resolver aplicando la fórmula cuadrática dos veces.

Métodos de solución

Conversión a un cuartico deprimido

Para fines de resolución, generalmente es mejor convertir el cuártico en un cuártico deprimido mediante el siguiente cambio simple de variable. Todas las fórmulas son más simples y algunos métodos funcionan solo en este caso. Las raíces del cuártico original se recuperan fácilmente a partir de las del cuártico deprimido mediante el cambio inverso de variable.

Dejar

${\displaystyle a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0}$

sea ​​la ecuación cuártica general que queremos resolver.

Dividiendo por 4 , se obtiene la ecuación equivalente _x 4 ⁺ bx 3 ⁺ cx 2 ⁺ dx + e = 0 , con b = ⁠un ₃/un ₄⁠ , c = ⁠un ₂/un ₄⁠ , d = ⁠un ₁/un ₄⁠ , y e = ⁠un ₀/un ₄⁠ . Sustituyendo y − ⁠b/4⁠ para x da, después de reagrupar los términos, la ecuación y ⁴ + py ² + qy + r = 0 , donde

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {8c-3b^{2}}{8}}={\frac {8a_{2}a_{4}-3{a_{3}}^{2}}{8{a_{4}}^{2}}}\\q&={\frac {b^{3}-4bc+8d}{8}}={\frac {{a_{3}}^{3}-4a_{2}a_{3}a_{4}+8a_{1}{a_{4}}^{2}}{8{a_{4}}^{3}}}\\r&={\frac {-3b^{4}+256e-64bd+16b^{2}c}{256}}={\frac {-3{a_{3}}^{4}+256a_{0}{a_{4}}^{3}-64a_{1}a_{3}{a_{4}}^{2}+16a_{2}{a_{3}}^{2}a_{4}}{256{a_{4}}^{4}}}.\end{aligned}}}$

Si y ₀ es una raíz de este cuártico deprimido, entonces y ₀ − ⁠b/4⁠ (es decir y ₀ − ⁠un ₃/4 a ₄) es una raíz del cuartico original y cada raíz del cuartico original se puede obtener mediante este proceso.

La solución de Ferrari

Como se explicó en la sección anterior, podemos comenzar con la ecuación cuártica deprimida

${\displaystyle y^{4}+py^{2}+qy+r=0.}$

Esta ecuación de cuarto grado deprimida se puede resolver mediante un método descubierto por Lodovico Ferrari . La ecuación deprimida se puede reescribir (esto se verifica fácilmente expandiendo el cuadrado y reagrupando todos los términos en el lado izquierdo) como

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}\right)^{2}=-qy-r+{\frac {p^{2}}{4}}.}$

Luego, introducimos una variable m en el factor del lado izquierdo sumando 2 y ² m + pm + m ² a ambos lados. Después de reagrupar los coeficientes de la potencia de y en el lado derecho, obtenemos la ecuación

lo que es equivalente a la ecuación original, cualquiera que sea el valor dado a m .

Como el valor de m puede elegirse arbitrariamente, lo elegiremos para completar el cuadrado del lado derecho. Esto implica que el discriminante en y de esta ecuación cuadrática es cero, es decir, m es una raíz de la ecuación.

${\displaystyle (-q)^{2}-4(2m)\left(m^{2}+pm+{\frac {p^{2}}{4}}-r\right)=0,\,}$

que puede reescribirse como

Esta es la cúbica resolvente de la ecuación cuártica. El valor de m puede obtenerse de la fórmula de Cardano . Cuando m es una raíz de esta ecuación, el lado derecho de la ecuación ( 1 ) es el cuadrado

${\displaystyle \left({\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.}$

Sin embargo, esto induce una división por cero si m = 0 . Esto implica q = 0 , y por lo tanto que la ecuación deprimida es bicuadrática, y puede resolverse mediante un método más fácil (ver arriba). Esto no era un problema en la época de Ferrari, cuando uno resolvía solo ecuaciones explícitamente dadas con coeficientes numéricos. Para una fórmula general que siempre es verdadera, uno necesita entonces elegir una raíz de la ecuación cúbica tal que m ≠ 0 . Esto siempre es posible excepto para la ecuación deprimida y ⁴ = 0 .

Ahora bien, si m es una raíz de la ecuación cúbica tal que m ≠ 0 , la ecuación ( 1 ) se convierte en

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m\right)^{2}=\left(y{\sqrt {2m}}-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)^{2}.}$

Esta ecuación tiene la forma M ² = N ² , que puede reordenarse como M ² − N ² = 0 o ( M + N )( M − N ) = 0 . Por lo tanto, la ecuación ( 1 ) puede reescribirse como

${\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m+{\sqrt {2m}}y-{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)\left(y^{2}+{\frac {p}{2}}+m-{\sqrt {2m}}y+{\frac {q}{2{\sqrt {2m}}}}\right)=0.}$

Esta ecuación se resuelve fácilmente aplicando a cada factor la fórmula cuadrática . Resolviéndolas podemos escribir las cuatro raíces como

${\displaystyle y={\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2},}$

donde ± ₁ y ± ₂ denotan + o − . Como las dos apariciones de ± ₁ deben denotar el mismo signo, esto deja cuatro posibilidades, una para cada raíz.

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuártica original son

${\displaystyle x=-{a_{3} \over 4a_{4}}+{\pm _{1}{\sqrt {2m}}\pm _{2}{\sqrt {-\left(2p+2m\pm _{1}{{\sqrt {2}}q \over {\sqrt {m}}}\right)}} \over 2}.}$

Una comparación con la fórmula general anterior muestra que √ 2 m = 2 S .

La solución de Descartes

Descartes ^[14] introdujo en 1637 el método de hallar las raíces de un polinomio de segundo grado factorizándolo en dos polinomios de segundo grado. Sea

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e&=(x^{2}+sx+t)(x^{2}+ux+v)\\&=x^{4}+(s+u)x^{3}+(t+v+su)x^{2}+(sv+tu)x+tv\end{aligned}}}$

Igualando los coeficientes , se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}b=s+u\\c=t+v+su\\d=sv+tu\\e=tv\end{array}}\right.}$

Esto se puede simplificar comenzando de nuevo con la ecuación cuártica deprimida y ⁴ + py ² + qy + r , que se puede obtener sustituyendo y − b /4 por x . Como el coeficiente de y ³ es  0 , obtenemos s = − u , y:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}p+u^{2}=t+v\\q=u(t-v)\\r=tv\end{array}}\right.}$

Ahora podemos eliminar tanto t como v haciendo lo siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}(p+u^{2})^{2}-q^{2}&=u^{2}(t+v)^{2}-u^{2}(t-v)^{2}\\&=u^{2}[(t+v+(t-v))(t+v-(t-v))]\\&=u^{2}(2t)(2v)\\&=4u^{2}tv\\&=4u^{2}r\end{aligned}}}$

Si establecemos U = u ² , entonces resolver esta ecuación se convierte en encontrar las raíces de la ecuación cúbica resolvente.

lo cual se hace en otra parte . Esta cúbica resolvente es equivalente a la cúbica resolvente dada anteriormente (ecuación (1a)), como se puede ver sustituyendo U = 2m.

Si u es una raíz cuadrada de una raíz distinta de cero de este resolvente (tal raíz distinta de cero existe excepto para el cuártico x ⁴ , que está factorizado trivialmente),

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}s=-u\\2t=p+u^{2}+q/u\\2v=p+u^{2}-q/u\end{array}}\right.}$

Las simetrías en esta solución son las siguientes: hay tres raíces de la cúbica, que corresponden a las tres formas en que una cuártica se puede factorizar en dos cuadráticas, y al elegir valores positivos o negativos de u para la raíz cuadrada de U simplemente se intercambian las dos cuadráticas entre sí.

La solución anterior muestra que un polinomio cuártico con coeficientes racionales y un coeficiente cero en el término cúbico es factorizable en cuadráticos con coeficientes racionales si y solo si el cúbico resolvente ( 2 ) tiene una raíz distinta de cero que es el cuadrado de un racional, o p ² − 4 r es el cuadrado de un racional y q = 0 ; esto se puede comprobar fácilmente utilizando la prueba de la raíz racional . ^[15]

Solución de Euler

Una variante del método anterior se debe a Euler . ^{[16] [17]} A diferencia de los métodos anteriores, que utilizan alguna raíz de la cúbica resolvente, el método de Euler las utiliza todas. Consideremos una cuártica deprimida x ⁴ + px ² + qx + r . Observe que, si

• x ⁴ + px ² + qx + r = ( x ² + sx + t )( x ² − sx + v ) ,
• r ₁ y r ₂ son las raíces de x ² + sx + t ,
• r ₃ y r ₄ son las raíces de x ² − sx + v ,

entonces

• las raíces de x ⁴ + px ² + qx + r son r ₁ , r ₂ , r ₃ y r ₄ ,
• r1 + r2 = − _s ,_​
• r3 + r4 = s ._​​

Por lo tanto, ( r ₁ + r ₂ )( r ₃ + r ₄ ) = − s ² . En otras palabras, −( r ₁ + r ₂ )( r ₃ + r ₄ ) es una de las raíces de la cúbica resolvente ( 2 ) y esto sugiere que las raíces de esa cúbica son iguales a −( r ₁ + r ₂ )( r ₃ + r ₄ ) , −( r ₁ + r ₃ )( r ₂ + r ₄ ) y −( r ₁ + r ₄ )( r ₂ + r ₃ ) . Esto es de hecho cierto y se sigue de las fórmulas de Vieta . También se sigue de las fórmulas de Vieta, junto con el hecho de que estamos trabajando con una cuártica deprimida, que r ₁ + r ₂ + r ₃ + r ₄ = 0 . (Por supuesto, esto también se sigue del hecho de que r ₁ + r ₂ + r ₃ + r ₄ = − s + s .) Por lo tanto, si α , β y γ son las raíces de la cúbica resolutiva, entonces los números r ₁ , r ₂ , r ₃ y r ₄ son tales que

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\(r_{1}+r_{2})(r_{3}+r_{4})=-\alpha \\(r_{1}+r_{3})(r_{2}+r_{4})=-\beta \\(r_{1}+r_{4})(r_{2}+r_{3})=-\gamma {\text{.}}\end{array}}\right.}$

De las dos primeras ecuaciones se deduce que r ₁ + r ₂ es una raíz cuadrada de α y que r ₃ + r ₄ es la otra raíz cuadrada de α . Por la misma razón,

• r ₁ + r ₃ es una raíz cuadrada de β ,
• r ₂ + r ₄ es la otra raíz cuadrada de β ,
• r ₁ + r ₄ es una raíz cuadrada de γ ,
• r ₂ + r ₃ es la otra raíz cuadrada de γ .

Por lo tanto, los números r ₁ , r ₂ , r ₃ y r ₄ son tales que

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=0\\r_{1}+r_{2}={\sqrt {\alpha }}\\r_{1}+r_{3}={\sqrt {\beta }}\\r_{1}+r_{4}={\sqrt {\gamma }}{\text{;}}\end{array}}\right.}$

El signo de las raíces cuadradas se tratará a continuación. La única solución de este sistema es:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}r_{1}={\frac {{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{2}={\frac {{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{3}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\beta }}-{\sqrt {\gamma }}}{2}}\\[2mm]r_{4}={\frac {-{\sqrt {\alpha }}-{\sqrt {\beta }}+{\sqrt {\gamma }}}{2}}{\text{.}}\end{array}}\right.}$

Dado que, en general, hay dos opciones para cada raíz cuadrada, podría parecer que esto proporciona 8 (= 2 ³ ) opciones para el conjunto { r ₁ , r ₂ , r ₃ , r ₄ }, pero, de hecho, no proporciona más de 2  de esas opciones, porque la consecuencia de reemplazar una de las raíces cuadradas por la simétrica es que el conjunto { r ₁ , r ₂ , r ₃ , r ₄ } se convierte en el conjunto {− r ₁ , − r ₂ , − r ₃ , − r ₄ }.

Para determinar el signo correcto de las raíces cuadradas, uno simplemente elige alguna raíz cuadrada para cada uno de los números α , β y γ y las usa para calcular los números r ₁ , r ₂ , r ₃ y r ₄ a partir de las igualdades anteriores. Luego, uno calcula el número √ α √ β √ γ . Como α , β y γ son las raíces de ( 2 ), es una consecuencia de las fórmulas de Vieta que su producto es igual a q ² y, por lo tanto, que √ α √ β √ γ = ± q . Pero un cálculo sencillo muestra que

√α√β√γ = r1r2r3 + r1r2r4 + r1r3r4 + _r2r3r4 ._​​_​​​_​​_​​_​​​_​​_​​_​​​_​​_​​_​​

If this number is −q, then the choice of the square roots was a good one (again, by Vieta's formulas); otherwise, the roots of the polynomial will be −r₁, −r₂, −r₃, and −r₄, which are the numbers obtained if one of the square roots is replaced by the symmetric one (or, what amounts to the same thing, if each of the three square roots is replaced by the symmetric one).

This argument suggests another way of choosing the square roots:

• pick any square root √α of α and any square root √β of β;
• define √γ as ${\displaystyle -{\frac {q}{{\sqrt {\alpha }}{\sqrt {\beta }}}}}$.

Of course, this will make no sense if α or β is equal to 0, but 0 is a root of (2) only when q = 0, that is, only when we are dealing with a biquadratic equation, in which case there is a much simpler approach.

Solving by Lagrange resolvent

The symmetric group S₄ on four elements has the Klein four-group as a normal subgroup. This suggests using a resolvent cubic whose roots may be variously described as a discrete Fourier transform or a Hadamard matrix transform of the roots; see Lagrange resolvents for the general method. Denote by x_i, for i from 0 to 3, the four roots of x⁴ + bx³ + cx² + dx + e. If we set

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}),\\[4pt]s_{1}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}+x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{2}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}+x_{1}-x_{2}-x_{3}),\\[4pt]s_{3}&={\tfrac {1}{2}}(x_{0}-x_{1}-x_{2}+x_{3}),\end{aligned}}}$

then since the transformation is an involution we may express the roots in terms of the four s_i in exactly the same way. Since we know the value s₀ = −⁠b/2⁠, we only need the values for s₁, s₂ and s₃. These are the roots of the polynomial

${\displaystyle (s^{2}-{s_{1}}^{2})(s^{2}-{s_{2}}^{2})(s^{2}-{s_{3}}^{2}).}$

Substituting the s_i by their values in term of the x_i, this polynomial may be expanded in a polynomial in s whose coefficients are symmetric polynomials in the x_i. By the fundamental theorem of symmetric polynomials, these coefficients may be expressed as polynomials in the coefficients of the monic quartic. If, for simplification, we suppose that the quartic is depressed, that is b = 0, this results in the polynomial

This polynomial is of degree six, but only of degree three in s², and so the corresponding equation is solvable by the method described in the article about cubic function. By substituting the roots in the expression of the x_i in terms of the s_i, we obtain expression for the roots. In fact we obtain, apparently, several expressions, depending on the numbering of the roots of the cubic polynomial and of the signs given to their square roots. All these different expressions may be deduced from one of them by simply changing the numbering of the x_i.

These expressions are unnecessarily complicated, involving the cubic roots of unity, which can be avoided as follows. If s is any non-zero root of (3), and if we set

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(x)&=x^{2}+sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}-{\frac {d}{2s}}\\F_{2}(x)&=x^{2}-sx+{\frac {c}{2}}+{\frac {s^{2}}{2}}+{\frac {d}{2s}}\end{aligned}}}$

then

${\displaystyle F_{1}(x)\times F_{2}(x)=x^{4}+cx^{2}+dx+e.}$

We therefore can solve the quartic by solving for s and then solving for the roots of the two factors using the quadratic formula.

This gives exactly the same formula for the roots as the one provided by Descartes' method.

Solving with algebraic geometry

There is an alternative solution using algebraic geometry^[18] In brief, one interprets the roots as the intersection of two quadratic curves, then finds the three reducible quadratic curves (pairs of lines) that pass through these points (this corresponds to the resolvent cubic, the pairs of lines being the Lagrange resolvents), and then use these linear equations to solve the quadratic.

The four roots of the depressed quartic x⁴ + px² + qx + r = 0 may also be expressed as the x coordinates of the intersections of the two quadratic equations y² + py + qx + r = 0 and y − x² = 0 i.e., using the substitution y = x² that two quadratics intersect in four points is an instance of Bézout's theorem. Explicitly, the four points are P_i ≔ (x_i, x_i²) for the four roots x_i of the quartic.

These four points are not collinear because they lie on the irreducible quadratic y = x² and thus there is a 1-parameter family of quadratics (a pencil of curves) passing through these points. Writing the projectivization of the two quadratics as quadratic forms in three variables:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(X,Y,Z)&:=Y^{2}+pYZ+qXZ+rZ^{2},\\F_{2}(X,Y,Z)&:=YZ-X^{2}\end{aligned}}}$

the pencil is given by the forms λF₁ + μF₂ for any point [λ, μ] in the projective line — in other words, where λ and μ are not both zero, and multiplying a quadratic form by a constant does not change its quadratic curve of zeros.

This pencil contains three reducible quadratics, each corresponding to a pair of lines, each passing through two of the four points, which can be done ${\displaystyle \textstyle {\binom {4}{2}}}$ = 6 different ways. Denote these Q₁ = L₁₂ + L₃₄, Q₂ = L₁₃ + L₂₄, and Q₃ = L₁₄ + L₂₃. Given any two of these, their intersection has exactly the four points.

The reducible quadratics, in turn, may be determined by expressing the quadratic form λF₁ + μF₂ as a 3×3 matrix: reducible quadratics correspond to this matrix being singular, which is equivalent to its determinant being zero, and the determinant is a homogeneous degree three polynomial in λ and μ and corresponds to the resolvent cubic.

See also

• Linear function – Linear map or polynomial function of degree one
• Quadratic function – Polynomial function of degree two
• Cubic function – Polynomial function of degree 3
• Quintic function – Polynomial function of degree 5

Notes

^α For the purposes of this article, e is used as a variable as opposed to its conventional use as Euler's number(except when otherwise specified).

References

1. Weisstein, Eric W. "Quartic Equation". mathworld.wolfram.com. Retrieved 27 July 2020.
2. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Lodovico Ferrari", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews
3. Cardano, Gerolamo (1993) [1545], Ars magna or The Rules of Algebra, Dover, ISBN 0-486-67811-3
4. Stewart, Ian, Galois Theory, Third Edition (Chapman & Hall/CRC Mathematics, 2004)
5. "DIFFERENTIAL GEOMETRY: A First Course in Curves and Surfaces, p. 36" (PDF). math.gatech.edu.
6. Weisstein, Eric W. "Crossed Ladders Problem". mathworld.wolfram.com. Retrieved 27 July 2020.
7. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews
8. MacKay, R. J.; Oldford, R. W. (August 2000), "Scientific Method, Statistical Method and the Speed of Light", Statistical Science, 15 (3): 254–78, doi:10.1214/ss/1009212817, MR 1847825
9. Neumann, Peter M. (1998), "Reflections on Reflection in a Spherical Mirror", American Mathematical Monthly, 105 (6): 523–528, doi:10.2307/2589403, JSTOR 2589403
10. Shabana, A. A. (8 December 1995). Theory of Vibration: An Introduction. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-94524-8.
11. Aude, H. T. R. (1949), "Notes on Quartic Curves", American Mathematical Monthly, 56 (3): 165–170, doi:10.2307/2305030, JSTOR 2305030
12. Rees, E. L. (1922). "Graphical Discussion of the Roots of a Quartic Equation". The American Mathematical Monthly. 29 (2): 51–55. doi:10.2307/2972804. JSTOR 2972804.
13. Lazard, D. (1988). "Quantifier elimination: Optimal solution for two classical examples". Journal of Symbolic Computation. 5 (1–2): 261–266. doi:10.1016/S0747-7171(88)80015-4.
14. Descartes, René (1954) [1637], "Book III: On the construction of solid and supersolid problems", The Geometry of Rene Descartes with a facsimile of the first edition, Dover, ISBN 0-486-60068-8, JFM 51.0020.07
15. Brookfield, G. (2007). "Factoring quartic polynomials: A lost art" (PDF). Mathematics Magazine. 80 (1): 67–70. doi:10.1080/0025570X.2007.11953453. S2CID 53375377.
16. van der Waerden, Bartel Leendert (1991), "The Galois theory: Equations of the second, third, and fourth degrees", Algebra, vol. 1 (7th ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97424-5, Zbl 0724.12001
17. Euler, Leonhard (1984) [1765], "Of a new method of resolving equations of the fourth degree", Elements of Algebra, Springer-Verlag, ISBN 978-1-4613-8511-0, Zbl 0557.01014
18. Faucette, William M. (1996), "A Geometric Interpretation of the Solution of the General Quartic Polynomial", American Mathematical Monthly, 103 (1): 51–57, doi:10.2307/2975214, JSTOR 2975214, MR 1369151

Further reading

• Carpenter, W. (1966). "On the solution of the real quartic". Mathematics Magazine. 39 (1): 28–30. doi:10.2307/2688990. JSTOR 2688990.
• Yacoub, M.D.; Fraidenraich, G. (July 2012). "A solution to the quartic equation". Mathematical Gazette. 96: 271–275. doi:10.1017/s002555720000454x. S2CID 124512391.

External links

• Quartic formula as four single equations at PlanetMath.
• Ferrari's achievement