Fórmula cuadrática

Fórmula que proporciona las soluciones de una ecuación cuadrática.

Las raíces de la función cuadrática y = ⁠1/2⁠ x ² − 3 x + ⁠5/2⁠ son los lugares donde la gráfica interseca el eje x , los valores x = 1 y x = 5. Se pueden encontrar mediante la fórmula cuadrática.

En álgebra elemental , la fórmula cuadrática es una expresión de forma cerrada que describe las soluciones de una ecuación cuadrática . Otras formas de resolver ecuaciones cuadráticas, como completar el cuadrado , arrojan las mismas soluciones.

Dada una ecuación cuadrática general de la forma ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c=0}$ , donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ representa una incógnita y los coeficientes ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ , y ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ representan números reales o complejos conocidos con ⁠ ⁠ ${\displaystyle a\neq 0}$ , los valores de ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ que satisfacen la ecuación, llamados raíces o ceros , se pueden encontrar utilizando la fórmula cuadrática,

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$$

donde el símbolo más-menos " " ${\displaystyle \pm }$ indica que la ecuación tiene dos raíces. ^[1] Escritas por separado, son :

$${\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\qquad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

La cantidad ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \Delta =b^{2}-4ac}$ se conoce como el discriminante de la ecuación cuadrática. ^[2] Si los coeficientes ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ son números reales, entonces cuando ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Delta >0}$ , la ecuación tiene dos raíces reales distintas ; cuando ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Delta =0}$ , la ecuación tiene una raíz real repetida ; y cuando ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Delta <0}$ , la ecuación no tiene raíces reales pero tiene dos raíces complejas distintas, que son conjugadas complejas entre sí.

Geométricamente, las raíces representan los valores en ${\displaystyle x}$ los que la gráfica de la función cuadrática , una ${\displaystyle \textstyle y=ax^{2}+bx+c}$ parábola , cruza el eje ${\displaystyle x}$ : las intersecciones del gráfico con el ${\displaystyle x}$eje . ^{[3] La fórmula cuadrática también se puede utilizar para identificar el} eje de simetría de la parábola . ^[4]

Derivación completando el cuadrado

Para completar el cuadrado, se forma un binomio al cuadrado en el lado izquierdo de una ecuación cuadrática, cuya solución se puede encontrar tomando la raíz cuadrada de ambos lados.

La forma estándar de derivar la fórmula cuadrática es aplicar el método de completar el cuadrado a la ecuación cuadrática genérica ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c=0}$ . ^{[5] [6] [7] [8]} La idea es manipular la ecuación en la forma ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle (x+k)^{2}=s}$ para algunas expresiones ⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle s}$ escritas en términos de los coeficientes; tomar la raíz cuadrada de ambos lados; y luego aislar ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ .

Comenzamos dividiendo la ecuación por el coeficiente cuadrático ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , lo cual está permitido porque ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ no es cero. Después, restamos el término constante ⁠ ⁠ ${\displaystyle c/a}$ para aislarlo en el lado derecho:

$${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2{\vphantom {|}}}+bx+c&=0\\[3mu]x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}&=0\\[3mu]x^{2}+{\frac {b}{a}}x&=-{\frac {c}{a}}.\end{aligned}}}$$

El lado izquierdo ahora tiene la forma ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle x^{2}+2kx}$ , y podemos "completar el cuadrado" agregando una constante ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle k^{2}}$ para obtener un binomio al cuadrado ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle x^{2}+2kx+k^{2}={}}$​⁠ ⁠ . En este ejemplo, sumamos ⁠ ⁠ a ambos lados para que se pueda factorizar el lado izquierdo (ver la figura): ${\displaystyle \textstyle (x+k)^{2}}$ ${\displaystyle \textstyle (b/2a)^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+2\left({\frac {b}{2a}}\right)x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}&=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\\[5mu]\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Como el lado izquierdo ahora es un cuadrado perfecto, podemos sacar fácilmente la raíz cuadrada de ambos lados:

$${\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.}$$

Finalmente, restando ⁠ ⁠ ${\displaystyle b/2a}$ de ambos lados para aislar ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ se obtiene la fórmula cuadrática:

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

Formulaciones equivalentes

La fórmula cuadrática se puede escribir de manera equivalente utilizando varias expresiones alternativas, por ejemplo

$${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}},}$$

que se puede obtener dividiendo primero una ecuación cuadrática por ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2a}$ , lo que da como resultado ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle {\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {b}{2a}}x+{\tfrac {c}{2a}}=0}$ , y luego sustituyendo los nuevos coeficientes en la fórmula cuadrática estándar. Debido a que esta variante permite la reutilización de la cantidad calculada de manera intermedia ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {b}{2a}}}$ , puede reducir ligeramente la aritmética involucrada.

Raíz cuadrada en el denominador

Una fórmula cuadrática menos conocida, mencionada por primera vez por Giulio Fagnano , ^[9] describe las mismas raíces a través de una ecuación con la raíz cuadrada en el denominador (asumiendo ⁠ ⁠ ${\displaystyle c\neq 0}$ ):

$${\displaystyle x={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}$$

Aquí el símbolo menos-más " " indica ${\displaystyle \mp }$ que las dos raíces de la ecuación cuadrática, en el mismo orden que la fórmula cuadrática estándar, son

$${\displaystyle x_{1}={\frac {2c}{-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}},\qquad x_{2}={\frac {2c}{-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}.}$$

Esta variante ha sido llamada en tono de broma la fórmula "citardauq" ("cuadrático" escrito al revés). ^[10]

Cuando ⁠ ⁠ ${\displaystyle -b}$ tiene el signo opuesto a ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle +{\sqrt {b^{2}-4ac}}}$ o ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle -{\sqrt {b^{2}-4ac}}}$ , la resta puede causar una cancelación catastrófica , lo que resulta en una precisión deficiente en los cálculos numéricos; elegir entre la versión de la fórmula cuadrática con la raíz cuadrada en el numerador o denominador dependiendo del signo de ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ puede evitar este problema. Consulte § Cálculo numérico a continuación.

Esta versión de la fórmula cuadrática se utiliza en el método de Muller para encontrar las raíces de funciones generales. Se puede derivar de la fórmula estándar de la identidad ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{1}x_{2}=c/a}$ , una de las fórmulas de Vieta . Alternativamente, se puede derivar dividiendo cada lado de la ecuación ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c=0}$ por ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle x^{2}}$ para obtener ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle cx^{-2}+bx^{-1}+a=0}$ , aplicando la fórmula estándar para encontrar las dos raíces ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle x^{-1}\!}$ , y luego tomando el recíproco para encontrar las raíces ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ de la ecuación original.

Otras derivaciones

Cualquier método o algoritmo genérico para resolver ecuaciones cuadráticas se puede aplicar a una ecuación con coeficientes simbólicos y utilizarse para derivar una expresión en forma cerrada equivalente a la fórmula cuadrática. Los métodos alternativos a veces son más simples que completar el cuadrado y pueden ofrecer información interesante sobre otras áreas de las matemáticas.

Completando el cuadrado con el método de Śrīdhara

En lugar de dividir por ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ para despejar ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle x^{2}\!}$ , puede ser un poco más simple multiplicar por ⁠ ⁠ ${\displaystyle 4a}$ en lugar de para obtener ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle (2ax)^{2}\!}$ , lo que nos permite completar el cuadrado sin necesidad de fracciones. Entonces los pasos de la derivación son: ^[11]

1. Multiplica cada lado por ⁠ ⁠ ${\displaystyle 4a}$ .
2. Añade ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle b^{2}-4ac}$ a ambos lados para completar el cuadrado.
3. Tome la raíz cuadrada de ambos lados.
4. Aislar ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ .

La aplicación de este método a una ecuación cuadrática genérica con coeficientes simbólicos produce la fórmula cuadrática:

$${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=0\\[3mu]4a^{2}x^{2}+4abx+4ac&=0\\[3mu]4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}&=b^{2}-4ac\\[3mu](2ax+b)^{2}&=b^{2}-4ac\\[3mu]2ax+b&=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\\[5mu]x&={\dfrac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.{\vphantom {\bigg )}}\end{aligned}}}$$

Este método para completar el cuadrado es antiguo y era conocido por el matemático indio Śrīdhara del siglo VIII-IX . ^[12] En comparación con el método estándar moderno para completar el cuadrado, este método alternativo evita las fracciones hasta el último paso y, por lo tanto, no requiere un reordenamiento después del paso 3 para obtener un denominador común en el lado derecho. ^[11]

Por sustitución

Otra derivación utiliza un cambio de variables para eliminar el término lineal. Entonces la ecuación toma la forma ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle u^{2}=s}$ en términos de una nueva variable ⁠ ⁠ ${\displaystyle u}$ y alguna expresión constante ⁠ ⁠ ${\displaystyle s}$ , cuyas raíces son entonces ⁠ ⁠ ${\displaystyle u=\pm {\sqrt {s}}}$ .

Sustituyendo ⁠ ⁠ ${\displaystyle x=u-{\tfrac {b}{2a}}}$ en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c=0}$ , expandiendo los productos y combinando términos semejantes, y luego resolviendo ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle u^{2}\!}$ , tenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\left(u-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(u-{\frac {b}{2a}}\right)+c&=0\\[5mu]a\left(u^{2}-{\frac {b}{a}}u+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)+b\left(u-{\frac {b}{2a}}\right)+c&=0\\[5mu]au^{2}-bu+{\frac {b^{2}}{4a}}+bu-{\frac {b^{2}}{2a}}+c&=0\\[5mu]au^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}&=0\\[5mu]u^{2}&={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Finalmente , después de sacar la raíz cuadrada de ambos lados y sustituir la expresión resultante en , surge la ${\displaystyle u}$ conocida fórmula cuadrática : ${\displaystyle x=u-{\tfrac {b}{2a}},}$

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

Mediante el uso de identidades algebraicas

El siguiente método fue utilizado por muchos matemáticos históricos: ^[13]

Sean las raíces de la ecuación cuadrática ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c=0}$ y ⁠ ⁠ . La derivación ${\displaystyle \alpha }$parte de una identidad para el cuadrado de una diferencia ( ${\displaystyle \beta }$válida para dos números complejos cualesquiera), de la que podemos sacar la raíz cuadrada en ambos lados:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\alpha -\beta )^{2}&=(\alpha +\beta )^{2}-4\alpha \beta \\[3mu]\alpha -\beta &=\pm {\sqrt {(\alpha +\beta )^{2}-4\alpha \beta }}.\end{aligned}}}$$

Como el coeficiente ⁠ ⁠ ${\displaystyle a\neq 0}$ , podemos dividir la ecuación cuadrática por ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ para obtener un polinomio mónico con las mismas raíces. Es decir,

$${\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=(x-\alpha )(x-\beta )=x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta .}$$

Esto implica que la suma ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha +\beta =-{\tfrac {b}{a}}}$ y el producto ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha \beta ={\tfrac {c}{a}}}$ . Por lo tanto, la identidad puede reescribirse:

$${\displaystyle \alpha -\beta =\pm {\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}-4{\frac {c}{a}}}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{a}}.}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )+{\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}},\\[10mu]\beta &={\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )-{\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )=-{\frac {b}{2a}}\mp {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.\end{aligned}}}$$

Las dos posibilidades para cada uno de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha }$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \beta }$ son las mismas dos raíces en orden opuesto, por lo que podemos combinarlas en la ecuación cuadrática estándar: $${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

Por los disolventes de Lagrange

Una forma alternativa de derivar la fórmula cuadrática es a través del método de los resolventes de Lagrange , ^[14] que es una parte temprana de la teoría de Galois . ^[15] Este método se puede generalizar para dar las raíces de polinomios cúbicos y polinomios cuárticos , y conduce a la teoría de Galois, que permite entender la solución de ecuaciones algebraicas de cualquier grado en términos del grupo de simetría de sus raíces, el grupo de Galois .

Este enfoque se centra en las raíces mismas en lugar de reorganizar algebraicamente la ecuación original. Dado un polinomio cuadrático mónico , suponga que y son ${\displaystyle \textstyle x^{2}+px+q}$ las dos raíces. Por lo tanto ${\displaystyle \alpha }$, los factores polinomiales son ${\displaystyle \beta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+px+q&=(x-\alpha )(x-\beta )\\[3mu]&=x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta \end{aligned}}}$$

lo que implica ⁠ ⁠ ${\displaystyle p=-(\alpha +\beta )}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle q=\alpha \beta }$ .

Como la multiplicación y la suma son ambas conmutativas , intercambiar las raíces ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha }$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \beta }$ no cambiará los coeficientes ⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle q}$ : se puede decir que ⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle q}$ son polinomios simétricos en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha }$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \beta }$ . Específicamente, son los polinomios simétricos elementales : cualquier polinomio simétrico en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha }$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \beta }$ se puede expresar en términos de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha +\beta }$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha \beta }$ en su lugar.

El enfoque de la teoría de Galois para analizar y resolver polinomios es preguntar si, dados los coeficientes de un polinomio cada uno de los cuales es una función simétrica en las raíces, uno puede "romper" la simetría y así recuperar las raíces. Usando este enfoque, resolver un polinomio de grado ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ está relacionado con las formas de reordenar (" permutar ") ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ términos, llamado el grupo simétrico en ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ letras y denotado ⁠ ⁠ ${\displaystyle S_{n}}$ . Para el polinomio cuadrático, las únicas formas de reordenar dos raíces son dejarlas como están o transponerlas , por lo que resolver un polinomio cuadrático es simple.

Para encontrar las raíces ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha }$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \beta }$ , considera su suma y diferencia:

$${\displaystyle r_{1}=\alpha +\beta ,\quad r_{2}=\alpha -\beta .}$$

Estos se denominan resolventes de Lagrange del polinomio, a partir de los cuales se pueden recuperar las raíces como

$${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}(r_{1}+r_{2}),\quad \beta ={\tfrac {1}{2}}(r_{1}-r_{2}).}$$

Como ⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{1}=\alpha +\beta }$ es una función simétrica en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha }$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \beta }$ , se puede expresar en términos de ⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle q,}$ específicamente ⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{1}=-p}$ como se describió anteriormente. Sin embargo, ⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{2}=\alpha -\beta }$ no es simétrica, ya que intercambiar ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha }$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \beta }$ produce el inverso aditivo ⁠ ⁠ ${\displaystyle -r_{2}=\beta -\alpha }$ . Por lo tanto , ⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{2}}$ no se puede expresar en términos de los polinomios simétricos. Sin embargo, su cuadrado ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle r_{2}^{2}=(\alpha -\beta )^{2}}$ es simétrico en las raíces, expresable en términos de ⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle q}$ . Específicamente ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle r_{2}^{2}=(\alpha -\beta )^{2}={}}$​⁠ ⁠ ​⁠ ⁠ , lo que implica ⁠ ⁠ . Tomar la raíz positiva "rompe" la simetría, lo que da como resultado ${\displaystyle \textstyle (\alpha +\beta )^{2}-4\alpha \beta ={}}$ ${\displaystyle \textstyle p^{2}-4q}$ ${\displaystyle \textstyle r_{2}=\pm {\sqrt {p^{2}-4q}}}$

$${\displaystyle r_{1}=-p,\qquad r_{2}={\textstyle {\sqrt {p^{2}-4q}}}}$$

de donde se recuperan las raíces ⁠ ⁠ ${\displaystyle \alpha }$ y ⁠ ⁠ como ${\displaystyle \beta }$

$${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}(r_{1}\pm r_{2})={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{-p}\pm {\textstyle {\sqrt {p^{2}-4q}}}\,{\bigr )}}$$

cual es la fórmula cuadrática para un polinomio mónico.

Sustituyendo ⁠ ⁠ ${\displaystyle p=b/a}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle q=c/a}$ se obtiene la expresión habitual para un polinomio cuadrático arbitrario. Los resolventes se pueden reconocer como

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r_{1}=-{\tfrac {1}{2}}p=-{\frac {b}{2a}},\qquad r_{2}^{2}=p_{2}-4q={\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}},}$$

respectivamente el vértice y el discriminante del polinomio mónico.

Un método similar pero más complicado funciona para ecuaciones cúbicas , que tienen tres resolventes y una ecuación cuadrática (el "polinomio resolutivo") que relaciona ⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{2}}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{3}}$ , que se puede resolver mediante la ecuación cuadrática, y de manera similar para una ecuación cuártica ( grado 4), cuyo polinomio resolutivo es un cúbico, que a su vez se puede resolver. ^[14] El mismo método para una ecuación quíntica produce un polinomio de grado 24, que no simplifica el problema y, de hecho, las soluciones de las ecuaciones quínticas en general no se pueden expresar utilizando solo raíces.

Cálculo numérico

La fórmula cuadrática es exactamente correcta cuando se realiza utilizando la aritmética idealizada de números reales , pero cuando se utiliza en su lugar una aritmética aproximada, por ejemplo, la aritmética con lápiz y papel realizada con un número fijo de decimales o la aritmética binaria de punto flotante disponible en las computadoras, las limitaciones de la representación numérica pueden llevar a resultados sustancialmente inexactos a menos que se tenga mucho cuidado en la implementación. Las dificultades específicas incluyen la cancelación catastrófica al calcular la suma ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle -b\pm {\sqrt {\Delta }}}$ si ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle b\approx \pm {\sqrt {\Delta }}}$ ; el cálculo catastrófico al calcular el discriminante ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \Delta =b^{2}-4ac}$ mismo en los casos en que ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle b^{2}\approx 4ac}$ ; la degeneración de la fórmula cuando ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ , o ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ se representa como cero o infinito; y el posible desbordamiento o subdesbordamiento al multiplicar o dividir números extremadamente grandes o pequeños, incluso en los casos en que las raíces se pueden representar con precisión. ^{[16] [17]}

La cancelación catastrófica ocurre cuando se restan dos números que son aproximadamente iguales. Si bien cada uno de los números puede ser representable independientemente con una cierta cantidad de dígitos de precisión, los dígitos iniciales idénticos de cada número se cancelan, lo que resulta en una diferencia de precisión relativa menor. Cuando ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle b\approx {\sqrt {\Delta }}}$ , la evaluación de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle -b+{\sqrt {\Delta }}}$ causa una cancelación catastrófica, al igual que la evaluación de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle -b-{\sqrt {\Delta }}}$ cuando ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle b\approx -{\sqrt {\Delta }}}$ . Cuando se utiliza la fórmula cuadrática estándar, calcular una de las dos raíces siempre implica una suma, que preserva la precisión de trabajo de los cálculos intermedios, mientras que calcular la otra raíz implica una resta, que la compromete. Por lo tanto, seguir ingenuamente la fórmula cuadrática estándar a menudo produce un resultado con menos precisión relativa de lo esperado. Desafortunadamente, los libros de texto de álgebra introductoria generalmente no abordan este problema, a pesar de que hace que los estudiantes obtengan resultados inexactos en otras materias escolares, como la química introductoria. ^[18]

Por ejemplo, si se intenta resolver la ecuación ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle x^{2}-1634x+2=0}$ usando una calculadora de bolsillo, el resultado de la fórmula cuadrática ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle x=817\pm {\sqrt {667\,487}}}$ podría calcularse aproximadamente como: ^[19]

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x_{1}&=817+816.998\,776\,0&&=1.633\,998\,776\times 10^{3},\\x_{2}&=817-816.998\,776\,0&&=1.224\times 10^{-3}.\end{alignedat}}}$$

Aunque la calculadora utilizó diez dígitos decimales de precisión para cada paso, calcular la diferencia entre dos números aproximadamente iguales arrojó un resultado con solo ${\displaystyle x_{2}}$ cuatro dígitos correctos.

Una forma de obtener un resultado preciso es utilizar la identidad ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{1}x_{2}=c/a}$ . En este ejemplo, ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{2}}$ se puede calcular como ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{2}=2/x_{1}={}}$​⁠ ⁠ , que es correcta hasta los diez dígitos. Otro enfoque más o menos equivalente es utilizar la versión de la fórmula cuadrática con la raíz cuadrada en el denominador para calcular una de las raíces (consulte el § Raíz cuadrada en el denominador más arriba). ${\displaystyle 1.223\,991\,125\times 10^{-3}\!}$

Las implementaciones informáticas prácticas de la solución de ecuaciones cuadráticas comúnmente eligen qué fórmula usar para cada raíz dependiendo del signo de ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ . ^[20]

Estos métodos no evitan el posible desbordamiento o subdesbordamiento del exponente de punto flotante al calcular ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle b^{2}}$ o ⁠ ⁠ ${\displaystyle 4ac}$ , lo que puede provocar que las raíces numéricamente representables no se calculen con precisión. Una estrategia más robusta pero computacionalmente costosa es comenzar con la sustitución ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle x=-u\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\vert c\vert }}{\big /}\!{\sqrt {\vert a\vert }}}$ , convirtiendo la ecuación cuadrática en

$${\displaystyle u^{2}-2{\frac {|b|}{2{\sqrt {|a|}}{\sqrt {|c|}}}}u+\operatorname {sgn}(c)=0,}$$

donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ es la función signo . Si ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle d=\vert b\vert {\big /}2{\sqrt {\vert a\vert }}{\sqrt {\vert c\vert }}}$ , esta ecuación tiene la forma ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle u^{2}-2du\pm 1=0}$ , para la cual una solución es ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle u_{1}=d+{\sqrt {d^{2}\mp 1}}}$ y la otra solución es ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle u_{2}=\pm 1/u_{1}}$ . Las raíces de la ecuación original son entonces ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle x_{1}=-\operatorname {sgn}(b){\bigl (}{\sqrt {\vert c\vert }}{\big /}\!{\sqrt {\vert a\vert }}~\!{\bigr )}u_{1}}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle x_{2}=-\operatorname {sgn}(b){\bigl (}{\sqrt {\vert c\vert }}{\big /}\!{\sqrt {\vert a\vert }}~\!{\bigr )}u_{2}}$ . ^{[21] [22]}

Con una complicación adicional, se puede evitar el gasto y el redondeo extra de las raíces cuadradas al aproximarlas como potencias de dos, evitando al mismo tiempo el desbordamiento del exponente para raíces representables. ^[17]

Desarrollo histórico

Los primeros métodos para resolver ecuaciones cuadráticas eran geométricos. Las tablillas cuneiformes babilónicas contienen problemas que se pueden reducir a la resolución de ecuaciones cuadráticas. ^[23] El Papiro egipcio de Berlín , que data del Imperio Medio (2050 a. C. a 1650 a. C.), contiene la solución de una ecuación cuadrática de dos términos. ^[24]

El matemático griego Euclides (circa 300 a. C.) utilizó métodos geométricos para resolver ecuaciones cuadráticas en el Libro 2 de sus Elementos , un influyente tratado matemático ^[25] Las reglas para ecuaciones cuadráticas aparecen en la obra china Los nueve capítulos sobre el arte matemático circa 200 a. C. ^{[26] [27]} En su obra Arithmetica , el matemático griego Diofanto (circa 250 d. C.) resolvió ecuaciones cuadráticas con un método más reconociblemente algebraico que el álgebra geométrica de Euclides. ^[25] Su solución da solo una raíz, incluso cuando ambas raíces son positivas. ^[28]

El matemático indio Brahmagupta incluyó un método genérico para encontrar una raíz de una ecuación cuadrática en su tratado Brāhmasphuṭasiddhānta (circa 628 d. C.), escrito en palabras al estilo de la época pero más o menos equivalente a la fórmula simbólica moderna. ^{[29] [30]} Su solución de la ecuación cuadrática fue la ${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx=c}$ siguiente: "Al número absoluto multiplicado por cuatro veces el [coeficiente del] cuadrado, agregue el cuadrado del [coeficiente del] término medio; la raíz cuadrada del mismo, menos el [coeficiente del] término medio, dividida por dos veces el [coeficiente del] cuadrado es el valor". ^[31] En notación moderna, esto se puede escribir ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle x={\bigl (}{\sqrt {c\cdot 4a+b^{2}}}-b{\bigr )}{\big /}2a}$ . El matemático indio Śrīdhara (siglos VIII-IX) ideó un algoritmo similar para resolver ecuaciones cuadráticas en una obra sobre álgebra ahora perdida citada por Bhāskara II . ^[32] La fórmula cuadrática moderna a veces se denomina fórmula de Sridharacharya en la India y fórmula de Bhaskara en Brasil. ^[33]

El matemático persa del siglo IX Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī resolvió ecuaciones cuadráticas algebraicamente. ^[34] La fórmula cuadrática que cubre todos los casos fue obtenida por primera vez por Simon Stevin en 1594. ^[35] En 1637, René Descartes publicó La Géométrie que contiene casos especiales de la fórmula cuadrática en la forma que conocemos hoy. ^[36]

Significado geométrico

En términos de geometría de coordenadas, una parábola alineada al eje es una curva cuyas coordenadas son la gráfica ${\displaystyle (x,y)}$ de un polinomio de segundo grado, de la forma , donde , ${\displaystyle \textstyle y=ax^{2}+bx+c}$ y son coeficientes constantes de valor real con . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a\neq 0}$

Geométricamente, la fórmula cuadrática define los puntos ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x,0)}$ en la gráfica, donde la parábola corta el eje ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ . Además, se puede separar en dos términos,

$${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}.}$$

El primer término describe el eje de simetría , la línea ⁠ ⁠ ${\displaystyle x=-{\tfrac {b}{2a}}}$ . El segundo término, ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\big /}2a}$ , da la distancia a la que se encuentran las raíces con respecto al eje de simetría.

Si el vértice de la parábola está en el eje ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ , entonces la ecuación correspondiente tiene una única raíz repetida en la línea de simetría, y este término de distancia es cero; algebraicamente, el discriminante ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle b^{2}-4ac=0}$ .

Si el discriminante es positivo, entonces el vértice no está en el eje ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ sino que la parábola se abre en la dirección del eje ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ , cruzándolo dos veces, por lo que la ecuación correspondiente tiene dos raíces reales. Si el discriminante es negativo, entonces la parábola se abre en la dirección opuesta, nunca cruzando el eje ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ , y la ecuación no tiene raíces reales; en este caso las dos raíces complejas serán conjugadas complejas cuya parte real es el valor ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ del eje de simetría.

Análisis dimensional

Si las constantes ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ , y/o ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ no son atípicas , entonces las cantidades ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}$ deben tener las mismas unidades, porque los términos ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle ax^{2}}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle bx}$ concuerdan en sus unidades. Por la misma lógica, el coeficiente ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ debe tener las mismas unidades que ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {b^{2}}{a}}}$ , independientemente de las unidades de ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ . Esta puede ser una herramienta poderosa para verificar que una expresión cuadrática de cantidades físicas se ha configurado correctamente.

Véase también

• Teorema fundamental del álgebra
• Las fórmulas de Vieta

Notas

1. Sterling, Mary Jane (2010), Álgebra I para tontos, Wiley Publishing, pág. 219, ISBN 978-0-470-55964-2
2. "Revisión discriminante", Khan Academy , consultado el 10 de noviembre de 2019
3. "Entender la fórmula cuadrática", Khan Academy , consultado el 10 de noviembre de 2019
4. "Eje de simetría de una parábola. Cómo encontrar el eje a partir de una ecuación o de un gráfico. Para encontrar el eje de simetría...", www.mathwarehouse.com , consultado el 10 de noviembre de 2019
5. Rich, Barnett; Schmidt, Philip (2004), Esquema de teoría y problemas de álgebra elemental de Schaum, The McGraw–Hill Companies, Capítulo 13 §4.4, pág. 291, ISBN 0-07-141083-X
6. Li, Xuhui. Una investigación sobre el conocimiento matemático de los profesores de álgebra de secundaria para enseñar a resolver ecuaciones algebraicas , pág. 56 (ProQuest, 2007): "La fórmula cuadrática es el método más general para resolver ecuaciones cuadráticas y se deriva de otro método general: completar el cuadrado".
7. Rockswold, Gary. Álgebra universitaria y trigonometría y precálculo , pág. 178 (Addison Wesley, 2002).
8. Beckenbach, Edwin y col. Álgebra y trigonometría universitaria moderna , p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).
9. En concreto, Fagnano comenzó con la ecuación ⁠ ⁠ ${\displaystyle xx+bb=ax}$ y encontró que las soluciones eran (en el siglo XVIII, el cuadrado ⁠ ⁠ se escribía convencionalmente como ⁠ ⁠ ). $${\displaystyle x={\frac {2bb}{a\mp a{\sqrt {1-{\dfrac {4bb}{aa}}}}}}.}$$ ${\displaystyle \textstyle x^{2}}$ ${\displaystyle xx}$

   Fagnano, Giulio Carlo (1750), "Applicazione dell' algoritmo nuovo Alla resoluzione analitica dell' equazioni del secondo, del terzo, e del quarto grado" [Aplicación de un nuevo algoritmo a la resolución analítica de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado], Produzioni matematiche del conte Giulio Carlo di Fagnano, Marchese de' Toschi, e DiSant' Ononio (en italiano), vol. 1, Pesaro: Gavelliana, Apéndice segundo, eq. 6, pág. 467, doi : 10.3931/e-rara-8663

10. Goff, Gerald K. (1976), "La fórmula de Citardauq", The Mathematics Teacher , 69 (7): 550–551, JSTOR  27960584
11. Hoehn, Larry (1975), "Un método más elegante para derivar la fórmula cuadrática", The Mathematics Teacher , 68 (5): 442–443, doi :10.5951/MT.68.5.0442, JSTOR  27960212
12. Partiendo de una ecuación cuadrática de la forma ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx=c}$ , el método de Śrīdhara, citado por Bhāskara II (c. 1150): "Multiplica ambos lados de la ecuación por un número igual a cuatro veces el [coeficiente del] cuadrado, y súmales un número igual al cuadrado del [coeficiente de la] cantidad desconocida original. [Luego extrae la raíz.]".
    Smith 1923, pág. 446
13. Debnath, Lokenath (2009), "El legado de Leonhard Euler: un homenaje al tricentenario", Revista internacional de educación matemática en ciencia y tecnología , 40 (3): 353–388, doi :10.1080/00207390802642237, S2CID  123048345
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18. Thompson, H. Bradford (1987), "Buena técnica numérica en química: La ecuación cuadrática", Journal of Chemical Education , 64 (12): 1009, doi :10.1021/ed064p1009
19. Este ejemplo viene de:
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20. Forsythe, George E. (1966), ¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática? (PDF) (informe técnico), Universidad de Stanford, STAN-CS-66-40 (AD639052)
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Referencias

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• Irving, Ron (2013), Más allá de la fórmula cuadrática, MAA, ISBN 978-0-88385-783-0