Grupo multiplicativo

Estructura matemática que tiene como operación la multiplicación

En matemáticas y teoría de grupos , el término grupo multiplicativo se refiere a uno de los siguientes conceptos:

• el grupo bajo la multiplicación de los elementos invertibles de un cuerpo , ^[1] anillo u otra estructura para la cual una de sus operaciones se denomina multiplicación. En el caso de un cuerpo F , el grupo es ( F ∖ {0}, •) , donde 0 se refiere al elemento cero de F y la operación binaria • es la multiplicación del cuerpo ,
• el toro algebraico GL(1). ^{[ aclaración necesaria ]} .

Ejemplos

• El grupo multiplicativo de los números enteros módulo n es el grupo resultante de la multiplicación de los elementos invertibles de . Cuando n no es primo, existen elementos distintos de cero que no son invertibles. ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• El grupo multiplicativo de los números reales positivos es un grupo abeliano cuyo elemento identidad es 1. El logaritmo es un isomorfismo de grupo de este grupo con el grupo aditivo de los números reales, . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El grupo multiplicativo de un cuerpo es el conjunto de todos los elementos distintos de cero: , bajo la operación de multiplicación. Si es finito de orden q (por ejemplo q = p un primo, y ), entonces el grupo multiplicativo es cíclico: . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{\times }=F-\{0\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle F^{\times }\cong C_{q-1}}$

Esquema de grupo de raíces de unidad

El esquema de grupo de raíces n -ésimas de la unidad es por definición el núcleo de la función de potencias n en el grupo multiplicativo GL(1), considerado como un esquema de grupo . Es decir, para cualquier entero n > 1 podemos considerar el morfismo en el grupo multiplicativo que toma potencias n -ésimas, y tomar un producto de fibra apropiado de esquemas , con el morfismo e que sirve como identidad.

El esquema de grupo resultante se escribe μ _n (o ^[2] ). Da lugar a un esquema reducido , cuando lo tomamos sobre un cuerpo K , si y solo si la característica de K no divide a n . Esto lo convierte en una fuente de algunos ejemplos clave de esquemas no reducidos (esquemas con elementos nilpotentes en sus haces de estructura ); por ejemplo μ _p sobre un cuerpo finito con p elementos para cualquier número primo p . ${\displaystyle \mu \!\!\mu _{n}}$

Este fenómeno no se expresa fácilmente en el lenguaje clásico de la geometría algebraica. Por ejemplo, resulta de gran importancia para expresar la teoría de dualidad de variedades abelianas en característica p (teoría de Pierre Cartier ). La cohomología de Galois de este esquema de grupos es una forma de expresar la teoría de Kummer .

Véase también

• Grupo multiplicativo de números enteros módulo n
• Grupo aditivo

Notas

1. Véase Hazewinkel et al. (2004), pág. 2.
2. Milne, James S. (1980). Étale cohomología . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. xiii, 66.

Referencias

• Michiel Hazewinkel , Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Álgebras, anillos y módulos . Volumen 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0