Campo ciclotómico

En teoría de números , un campo ciclotómico es un campo numérico que se obtiene añadiendo una raíz compleja de la unidad a $Q$ , el campo de los números racionales .

Los campos ciclotómicos desempeñaron un papel crucial en el desarrollo del álgebra moderna y la teoría de números debido a su relación con el Último Teorema de Fermat . Fue en el proceso de sus profundas investigaciones de la aritmética de estos campos (para el primo $n$ ) –y más precisamente, debido al fracaso de la factorización única en sus anillos de números enteros– que Ernst Kummer introdujo por primera vez el concepto de número ideal y demostró sus célebres congruencias .

Definición

Para $n \geq 1$ , sea $ζ n = e 2π i / n \in C$ ; ésta es una raíz primitiva $n ésima de la unidad. Entonces el$ $n$ ésimo cuerpo ciclotómico es la extensión $Q (ζ n)$ de $Q$ generada por $ζ n$ .

Propiedades

El $n$ -ésimo polinomio ciclotómico

\Phi _{n}(x)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!\left(xe ^{2\pi ik/n}\right)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\!\!\!(x-{ \zeta_{n}}^{k})

es irreducible , por lo que es el polinomio mínimo de

ζ n

sobre

Q

Los conjugados de $ζ n$ en $C$ son por tanto las otras raíces $n-$ ésimas primitivas de la unidad: $ζ k- n$ para $1 \leq k \leq n$ con $mcd(k, n) = 1$ .
El grado de $Q (ζ n)$ es por lo tanto $[Q (ζ n) : Q] = deg Φ n = φ (n)$ , donde $φ$ es la función totiente de Euler .
Las raíces de $x n - 1$ son las potencias de $ζ n$ , por lo que $Q (ζ n)$ es el campo de división de $x n - 1$ (o de $Φ(x)$ ) sobre $Q$ .
Por lo tanto, $Q (ζ n)$ es una extensión de Galois de $Q$ .
El grupo de Galois es naturalmente isomorfo al grupo multiplicativo , que consiste en los residuos invertibles módulo $n$ , que son los residuos $a$ $módulo$ $n$ con $1 \leq$ $a$ $\leq$ $n$ y $mcd($ $a$ $,$ $n$ $) = 1$ . El isomorfismo envía cada uno a $a$ $módulo$ $n$ , donde $a$ es un entero tal que $σ(ζ$ $n$ $) = ζ$ $\operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _ {n})/\mathbf {Q} )$ $(\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )^{\times }$ $\sigma \in \operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _{n})/\mathbf {Q} )$ $un $ .
El anillo de números enteros de $Q (ζ n)$ es $Z [ζ n]$ .
Para $n > 2$ , el discriminante de la extensión $Q (ζ n) / Q$ es ^[1]

(-1)^{\varphi (n)/2}\,{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi ( n)/(p-1)}}}.

En particular, $Q (ζ n) / Q$ no está ramificado por encima de cada primo que no divida $a n$ .
Si $n$ es una potencia de un primo $p$ , entonces $Q (ζ n) / Q$ está totalmente ramificado por encima de $p$ .
Si $q$ es un primo que no divide $a n$ , entonces el elemento de Frobenius corresponde al residuo de $q$ en . $\operatorname {Frob} _ {q}\in \operatorname {Gal} (\mathbf {Q} (\zeta _ {n})/\mathbf {Q} )$ $(\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )^{\times }$
El grupo de raíces de la unidad en $Q (ζ n)$ tiene orden $n$ o $2 n$ , según que $n$ sea par o impar.
El grupo unitario $Z [ζ n] \times$ es un grupo abeliano finitamente generado de rango $φ (n)/2 - 1$ , para cualquier $n > 2$ , por el teorema unitario de Dirichlet . En particular, $Z [ζ n] \times$ es finito solo para $n \in {1, 2, 3, 4, 6$ }. El subgrupo de torsión de $Z [ζ n] \times$ es el grupo de raíces de la unidad en $Q (ζ n)$ , que se describió en el elemento anterior. Las unidades ciclotómicas forman un subgrupo explícito de índice finito de $Z$ $[ζ$ $n$ $]$ $\times$ .
El teorema de Kronecker-Weber establece que toda extensión abeliana finita de $Q$ en $C$ está contenida en $Q$ $(ζ$ $n$ $)$ para algún $n$ . De manera equivalente, la unión de todos los campos ciclotómicos $Q$ $(ζ$ $n$ $)$ es la extensión abeliana máxima $Q$ $ab$ de $Q$ .

Relación con polígonos regulares

Gauss realizó avances tempranos en la teoría de campos ciclotómicos, en relación con el problema de construir un n -gono regular con un compás y una regla . Su sorprendente resultado, que se les había escapado a sus predecesores, fue que se podía construir un 17-gono regular de esa manera. En términos más generales, para cualquier entero $n \geq 3$ , los siguientes son equivalentes:

un $n$ -gon regular es construible;
hay una secuencia de campos, que comienza con $Q$ y termina con $Q (ζ n)$ , tales que cada uno es una extensión cuadrática del campo anterior;
$φ (n)$ es una potencia de 2 ;
$n=2^{a}p_{1}\cdots p_{r}$ para algunos números enteros $a, r \geq 0$ y primos de Fermat . (Un primo de Fermat es un primo impar $p$ tal que $p$ $- 1$ es una potencia de 2. Los primos de Fermat conocidos son 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 , y es probable que no haya otros). $p_{1},\ldots ,p_{r}$

Pequeños ejemplos

$n = 3$ y $n = 6$ : Las ecuacionesymuestran que $Q$ $(ζ$ $3$ $) =$ $Q$ $(ζ$ $6$ $) =$ $Q$ $($ $\sqrt$ $-3$ $)$ , que es una extensión cuadrática de $Q$ . En consecuencia, un 3-gono regular y un 6-gono regular son construibles. $\zeta _{3}={\tfrac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}$ $\zeta _{6}={\tfrac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}$
$n = 4$ : De manera similar, $ζ 4 = i$ , por lo que $Q (ζ 4) = Q (i)$ , y un 4-gono regular es construible.
$n = 5$ : El campo $Q (ζ 5)$ no es una extensión cuadrática de $Q$ , pero es una extensión cuadrática de la extensión cuadrática $Q (\sqrt 5)$ , por lo que un 5-gono regular es construible.

Relación con el último teorema de Fermat

Un enfoque natural para demostrar el último teorema de Fermat es factorizar el binomio $x n + y n$ , donde $n$ es un primo impar, que aparece en un lado de la ecuación de Fermat.

x^{n}+y^{n}=z^{n}

como sigue:

x^{n}+y^{n}=(x+y)(x+\zeta y)\cdots (x+\zeta ^{n-1}y)

Aquí $x$ $e$ y son números enteros ordinarios, mientras que los factores son números enteros algebraicos en el campo ciclotómico $Q (ζ n)$ . Si la factorización única se cumple en los números enteros ciclotómicos $Z [ζ n]$ , entonces se puede utilizar para descartar la existencia de soluciones no triviales para la ecuación de Fermat.

Varios intentos de abordar el último teorema de Fermat siguieron este mismo camino, y tanto la prueba de Fermat para $n = 4$ como la prueba de Euler para $n = 3$ pueden reformularse en estos términos. La lista completa de $n$ para los que $Z [ζ n]$ tiene factorización única es ^[2]

1 al 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 54, 60, 66, 70, 84, 90.

Kummer encontró una forma de lidiar con el fracaso de la factorización única. Introdujo un reemplazo para los números primos en los enteros ciclotómicos $Z [ζ n]$ , midió el fracaso de la factorización única a través del número de clase $h n$ y demostró que si $h p$ no es divisible por un primo $p$ (tales $p$ se llaman primos regulares ) entonces el teorema de Fermat es verdadero para el exponente $n = p$ . Además, dio un criterio para determinar qué primos son regulares, y estableció el teorema de Fermat para todos los exponentes primos $p$ menores que 100, excepto para los primos irregulares 37 , 59 y 67 . El trabajo de Kummer sobre las congruencias para los números de clase de los campos ciclotómicos fue generalizado en el siglo XX por Iwasawa en la teoría de Iwasawa y por Kubota y Leopoldt en su teoría de las funciones zeta p -ádicas .

Lista de números de clase de campos ciclotómicos

(secuencia A061653 en la OEIS ), o OEIS : A055513 o OEIS : A000927 para la parte - (para el primo n ) ${\estilo de visualización h}$

1-22: 1
23:3
24-28: 1
29:8
30:1
31:9
32-36:1
37:37
38:1
39:2
40:1
41:121
42:1
43:211
44:1
45:1
46:3
47:695
48:1
49:43
50:1
51:5
52:3
53: 4889
54:1
55:10
56:2
57:9
58:8
59:41241
60:1
61:76301
62:9
63:7
64:17
65:64
66:1
67:853513
68:8
69:69
70:1
71:3882809
72:3
73: 11957417
74:37
75:11
76: 19
77:1280
78:2
79: 100146415
80:5
81:2593
82:121
83:838216959
84:1
85:6205
86:211
87:1536
88:55
89: 13379363737
90:1
91: 53872
92:201
93:6795
94:695
95: 107692
96:9
97: 411322824001
98:43
99:2883
100:55
101:3547404378125
102:5
103:9069094643165
104:351
105:13
106:4889
107:63434933542623
108:19
109: 161784800122409
110:10
111: 480852
112:468
113: 1612072001362952
114:9
115: 44697909
116:10752
117: 132678
118:41241
119: 1238459625
120:4
121: 12188792628211
122:76301
123:8425472
124: 45756
125: 57708445601
126:7
127:2604529186263992195
128:359057
129:37821539
130:64
131:28496379729272136525
132:11
133: 157577452812
134:853513
135:75961
136:111744
137:646901570175200968153
138:69
139: 1753848916484925681747
140:39
141: 1257700495
142:3882809
143:36027143124175
144:507
145: 1467250393088
146: 11957417
147: 5874617
148: 4827501
149:687887859687174720123201
150:11
151: 2333546653547742584439257
152: 1666737
153:2416282880
154:1280
155:84473643916800
156: 156
157: 56234327700401832767069245
158:100146415
159:223233182255
160:31365

Véase también

Referencias

^ Washington 1997, Proposición 2.7.
^ Washington 1997, Teorema 11.1.

Fuentes

Bryan Birch , "Campos ciclotómicos y extensiones de Kummer", en JWS Cassels y A. Frohlich (edd), Teoría de números algebraicos , Academic Press , 1973. Cap.III, págs. 45–93.
Daniel A. Marcus, Campos numéricos , primera edición, Springer-Verlag, 1977
Washington, Lawrence C. (1997), Introducción a los campos ciclotómicos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 83 (2.ª ed.), Nueva York: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4612-1934-7, ISBN 0-387-94762-0, Sr. 1421575
Serge Lang , Campos ciclotómicos I y II , segunda edición combinada. Con un apéndice de Karl Rubin . Textos de posgrado en matemáticas , 121. Springer-Verlag, Nueva York, 1990. ISBN 0-387-96671-4

Lectura adicional

Coates, John ; Sujatha, R. (2006). Campos ciclotómicos y valores zeta . Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag . ISBN 3-540-33068-2.Zbl 1100.11002 .
Weisstein, Eric W. "Campo ciclotómico". MathWorld .
"Campo ciclotómico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Sobre el anillo de números enteros de campos ciclotómicos reales. Koji Yamagata y Masakazu Yamagishi: Proc, Japan Academy, 92. Ser a (2016)