Función quíntica

Función polinómica de grado 5

Gráfica de un polinomio de grado 5, con 3 ceros reales (raíces) y 4 puntos críticos

En matemáticas , una función quíntica es una función de la forma

${\displaystyle g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f,\,}$

donde a , b , c , d , e y f son miembros de un cuerpo , típicamente los números racionales , los números reales o los números complejos , y a es distinto de cero. En otras palabras, una función quíntica se define mediante un polinomio de grado cinco.

Debido a que tienen un grado impar, las funciones quinticas normales parecen similares a las funciones cúbicas normales cuando se grafican, excepto que pueden poseer un máximo local adicional y un mínimo local adicional. La derivada de una función quintica es una función cuártica .

Si se establece g ( x ) = 0 y se supone que a ≠ 0, se obtiene una ecuación quíntica de la forma:

${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0.\,}$

La resolución de ecuaciones de quinto grado en términos de radicales ( raíces n -ésimas) fue un problema importante en álgebra desde el siglo XVI, cuando se resolvieron ecuaciones cúbicas y cuárticas , hasta la primera mitad del siglo XIX, cuando se demostró la imposibilidad de una solución tan general con el teorema de Abel-Ruffini .

Encontrar raíces de una ecuación quintica

Encontrar las raíces (ceros) de un polinomio dado ha sido un problema matemático importante.

La resolución de ecuaciones lineales , cuadráticas , cúbicas y cuárticas en términos de radicales y operaciones aritméticas elementales sobre los coeficientes siempre se puede hacer, sin importar si las raíces son racionales o irracionales, reales o complejas; existen fórmulas que arrojan las soluciones requeridas. Sin embargo, no existe una expresión algebraica (es decir, en términos de radicales) para las soluciones de ecuaciones de quinto grado generales sobre los racionales; esta afirmación se conoce como el teorema de Abel-Ruffini , afirmado por primera vez en 1799 y completamente demostrado en 1824. Este resultado también es válido para ecuaciones de grado superior. Un ejemplo de una ecuación de quinto grado cuyas raíces no se pueden expresar en términos de radicales es x ⁵ − x + 1 = 0 .

Algunas ecuaciones de quinto grado se pueden resolver en términos de radicales. Sin embargo, la solución suele ser demasiado complicada para su uso en la práctica. En su lugar, se calculan aproximaciones numéricas utilizando un algoritmo de búsqueda de raíces para polinomios .

Quinticas resolubles

Algunas ecuaciones de quinto grado se pueden resolver en términos de radicales. Entre ellas se incluyen las ecuaciones de quinto grado definidas por un polinomio que es reducible , como x ⁵ − x ⁴ − x + 1 = ( x ² + 1)( x + 1)( x − 1) ² . Por ejemplo, se ha demostrado ^[1] que

${\displaystyle x^{5}-x-r=0}$

tiene soluciones en radicales si y solo si tiene una solución entera o r es uno de ±15, ±22440 o ±2759640, en cuyo caso el polinomio es reducible.

Como la resolución de ecuaciones de quinto grado reducibles se reduce inmediatamente a la resolución de polinomios de grado inferior, en el resto de esta sección solo se considerarán ecuaciones de quinto grado irreducibles y el término "de quinto grado" se referirá únicamente a ecuaciones de quinto grado irreducibles. Por lo tanto, una ecuación de quinto grado reducible es un polinomio de quinto grado irreducible cuyas raíces se pueden expresar en términos de radicales.

Para caracterizar las ecuaciones de quinto grado resolubles y, de manera más general, los polinomios resolubles de grado superior, Évariste Galois desarrolló técnicas que dieron origen a la teoría de grupos y a la teoría de Galois . Aplicando estas técnicas, Arthur Cayley encontró un criterio general para determinar si una ecuación de quinto grado dada es resoluble. ^[2] Este criterio es el siguiente. ^[3]

Dada la ecuación

${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,}$

la transformación de Tschirnhaus x = y − ⁠b/5 un⁠ , que deprime la quíntica (es decir, elimina el término de grado cuatro), da la ecuación

${\displaystyle y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0}$,

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {5ac-2b^{2}}{5a^{2}}}\\q&={\frac {25a^{2}d-15abc+4b^{3}}{25a^{3}}}\\r&={\frac {125a^{3}e-50a^{2}bd+15ab^{2}c-3b^{4}}{125a^{4}}}\\s&={\frac {3125a^{4}f-625a^{3}be+125a^{2}b^{2}d-25ab^{3}c+4b^{5}}{3125a^{5}}}\end{aligned}}}$

Ambas quinticas son resolubles por radicales si y solo si son factorizables en ecuaciones de grados inferiores con coeficientes racionales o el polinomio P ² − 1024 z Δ , denominadoEl resolvente de Cayley , tiene una raíz racional enz, donde

${\displaystyle {\begin{aligned}P={}&z^{3}-z^{2}(20r+3p^{2})-z(8p^{2}r-16pq^{2}-240r^{2}+400sq-3p^{4})\\&-p^{6}+28p^{4}r-16p^{3}q^{2}-176p^{2}r^{2}-80p^{2}sq+224prq^{2}-64q^{4}\\&+4000ps^{2}+320r^{3}-1600rsq\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta ={}&-128p^{2}r^{4}+3125s^{4}-72p^{4}qrs+560p^{2}qr^{2}s+16p^{4}r^{3}+256r^{5}+108p^{5}s^{2}\\&-1600qr^{3}s+144pq^{2}r^{3}-900p^{3}rs^{2}+2000pr^{2}s^{2}-3750pqs^{3}+825p^{2}q^{2}s^{2}\\&+2250q^{2}rs^{2}+108q^{5}s-27q^{4}r^{2}-630pq^{3}rs+16p^{3}q^{3}s-4p^{3}q^{2}r^{2}.\end{aligned}}}$

El resultado de Cayley permite comprobar si una ecuación de quinto grado es resoluble. Si es así, hallar sus raíces es un problema más difícil, que consiste en expresar las raíces en términos de radicales que involucran los coeficientes de la ecuación de quinto grado y la raíz racional del resolvente de Cayley.

En 1888, George Paxton Young describió cómo resolver una ecuación quintica resoluble, sin proporcionar una fórmula explícita; ^[4] en 2004, Daniel Lazard escribió una fórmula de tres páginas. ^[5]

Quinticas en forma Bring–Jerrard

Existen varias representaciones paramétricas de ecuaciones quinticas resolubles de la forma x ⁵ + ax + b = 0 , llamadas forma Bring–Jerrard .

Durante la segunda mitad del siglo XIX, John Stuart Glashan, George Paxton Young y Carl Runge dieron esta parametrización: una ecuación quintica irreducible con coeficientes racionales en forma Bring-Jerrard es solucionable si y solo si a = 0 o puede escribirse

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0}$

donde μ y ν son racionales.

En 1994, Blair Spearman y Kenneth S. Williams dieron una alternativa:

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5e^{4}(4c+3)}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(2c-11)}{c^{2}+1}}=0.}$

La relación entre las parametrizaciones de 1885 y 1994 se puede ver definiendo la expresión

${\displaystyle b={\frac {4}{5}}\left(a+20\pm 2{\sqrt {(20-a)(5+a)}}\right)}$

donde a = ⁠5(4 v + 3)/ν ² + 1⁠ . Utilizando el caso negativo de la raíz cuadrada se obtiene, después de escalar las variables, la primera parametrización mientras que el caso positivo da la segunda.

La sustitución c = ⁠- m/el ⁵⁠ , e = ⁠1/yo⁠ en la parametrización de Spearman-Williams permite no excluir el caso especial a = 0 , dando el siguiente resultado:

Si a y b son números racionales, la ecuación x ⁵ + ax + b = 0 se puede resolver mediante radicales si su lado izquierdo es un producto de polinomios de grado menor que 5 con coeficientes racionales o existen dos números racionales l y m tales que

${\displaystyle a={\frac {5l(3l^{5}-4m)}{m^{2}+l^{10}}}\qquad b={\frac {4(11l^{5}+2m)}{m^{2}+l^{10}}}.}$

Raíces de una ecuación quintica resoluble

Una ecuación polinómica es resoluble por radicales si su grupo de Galois es un grupo resoluble . En el caso de ecuaciones de quinto grado irreducibles, el grupo de Galois es un subgrupo del grupo simétrico S ₅ de todas las permutaciones de un conjunto de cinco elementos, que es resoluble si y solo si es un subgrupo del grupo F ₅ , de orden 20 , generado por las permutaciones cíclicas (1 2 3 4 5) y (1 2 4 3) .

Si la ecuación de quinto grado es resoluble, una de las soluciones puede representarse mediante una expresión algebraica que involucre una quinta raíz y, como máximo, dos raíces cuadradas, generalmente anidadas . Las otras soluciones pueden obtenerse entonces ya sea modificando la quinta raíz o multiplicando todas las ocurrencias de la quinta raíz por la misma potencia de una quinta raíz primitiva de la unidad , como

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{4}}.}$

De hecho, las cuatro raíces quintas primitivas de la unidad se pueden obtener cambiando los signos de las raíces cuadradas de manera apropiada, es decir, la expresión

${\displaystyle {\frac {\alpha {\sqrt {-10-2\beta {\sqrt {5}}}}+\beta {\sqrt {5}}-1}{4}},}$

donde , produce las cuatro raíces quintas primitivas distintas de la unidad. ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \{-1,1\}}$

De ello se deduce que se pueden necesitar cuatro raíces cuadradas diferentes para escribir todas las raíces de una ecuación de quinto grado resoluble. Incluso para la primera raíz que implica como máximo dos raíces cuadradas, la expresión de las soluciones en términos de radicales suele ser muy complicada. Sin embargo, cuando no se necesita ninguna raíz cuadrada, la forma de la primera solución puede ser bastante simple, como en el caso de la ecuación x ⁵ − 5 x ⁴ + 30 x ³ − 50 x ² + 55 x − 21 = 0 , para la que la única solución real es

${\displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{2}+\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{3}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{4}.}$

Un ejemplo de una solución más complicada (aunque lo suficientemente pequeña para escribirla aquí) es la raíz real única de x ⁵ − 5 x + 12 = 0 . Sea a = √ 2 φ ⁻¹ , b = √ 2 φ y c = ⁴ √ 5 , donde φ = ⁠1+ √ 5/2⁠ es la proporción áurea . Entonces la única solución real x = −1.84208... viene dada por

${\displaystyle -cx={\sqrt[{5}]{(a+c)^{2}(b-c)}}+{\sqrt[{5}]{(-a+c)(b-c)^{2}}}+{\sqrt[{5}]{(a+c)(b+c)^{2}}}-{\sqrt[{5}]{(-a+c)^{2}(b+c)}}\,,}$

o, equivalentemente, por

${\displaystyle x={\sqrt[{5}]{y_{1}}}+{\sqrt[{5}]{y_{2}}}+{\sqrt[{5}]{y_{3}}}+{\sqrt[{5}]{y_{4}}}\,,}$

donde y _i son las cuatro raíces de la ecuación cuártica

${\displaystyle y^{4}+4y^{3}+{\frac {4}{5}}y^{2}-{\frac {8}{5^{3}}}y-{\frac {1}{5^{5}}}=0\,.}$

De manera más general, si una ecuación P ( x ) = 0 de grado primo p con coeficientes racionales es resoluble en radicales, entonces se puede definir una ecuación auxiliar Q ( y ) = 0 de grado p – 1 , también con coeficientes racionales, tal que cada raíz de P es la suma de las raíces p -ésimas de las raíces de Q . Estas raíces p -ésimas fueron introducidas por Joseph-Louis Lagrange , y sus productos por p se denominan comúnmente resolventes de Lagrange . El cálculo de Q y sus raíces se puede utilizar para resolver P ( x ) = 0 . Sin embargo, estas raíces p -ésimas no se pueden calcular de forma independiente (esto proporcionaría raíces p ^{p –1} en lugar de p ). Por lo tanto, una solución correcta debe expresar todas estas raíces p en términos de una de ellas. La teoría de Galois muestra que esto siempre es teóricamente posible, incluso si la fórmula resultante puede ser demasiado grande para ser de alguna utilidad.

Es posible que algunas de las raíces de Q sean racionales (como en el primer ejemplo de esta sección) o que algunas sean cero. En estos casos, la fórmula para las raíces es mucho más simple, como en el caso de la ecuación de quinto grado de De Moivre resoluble.

${\displaystyle x^{5}+5ax^{3}+5a^{2}x+b=0\,,}$

donde la ecuación auxiliar tiene dos raíces cero y se reduce, al factorizarlas, a la ecuación cuadrática

${\displaystyle y^{2}+by-a^{5}=0\,,}$

de modo que las cinco raíces de la ecuación quintica de De Moivre están dadas por

${\displaystyle x_{k}=\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}-{\frac {a}{\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}}},}$

donde y _i es cualquier raíz de la ecuación cuadrática auxiliar y ω es cualquiera de las cuatro raíces primitivas 5.ª de la unidad . Esto se puede generalizar fácilmente para construir un grado séptico solucionable y otros grados impares, no necesariamente primos.

Otras quinticas solucionables

Hay infinitas quinticas resolubles en forma Bring-Jerrard que han sido parametrizadas en una sección anterior.

Hasta el escalamiento de la variable, hay exactamente cinco quinticas resolubles de la forma , que son ^[6] (donde s es un factor de escala): ${\displaystyle x^{5}+ax^{2}+b}$

${\displaystyle x^{5}-2s^{3}x^{2}-{\frac {s^{5}}{5}}}$

${\displaystyle x^{5}-100s^{3}x^{2}-1000s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}-3s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}+15s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-25s^{3}x^{2}-300s^{5}}$

Paxton Young (1888) dio varios ejemplos de ecuaciones quinticas resolubles:

Se puede construir una secuencia infinita de ecuaciones quinticas resolubles, cuyas raíces sean sumas de raíces n- ésimas de la unidad , siendo n = 10 k + 1 un número primo:

También hay dos familias parametrizadas de quinticas resolubles: la quintica de Kondo-Brumer,

${\displaystyle x^{5}+(a-3)\,x^{4}+(-a+b+3)\,x^{3}+(a^{2}-a-1-2b)\,x^{2}+b\,x+a=0}$

y la familia dependiendo de los parámetros ${\displaystyle a,\ell ,m}$

${\displaystyle x^{5}-5\,p\left(2\,x^{3}+a\,x^{2}+b\,x\right)-p\,c=0}$

dónde

${\displaystyle p={\tfrac {1}{4}}\left[\,\ell ^{2}(4m^{2}+a^{2})-m^{2}\,\right]\;,}$

${\displaystyle b=\ell \,(4m^{2}+a^{2})-5p-2m^{2}\;,}$

${\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}\left[\,b(a+4m)-p(a-4m)-a^{2}m\,\right]\;.}$

Caso irreducible

De manera análoga a las ecuaciones cúbicas , existen ecuaciones de quinto grado resolubles que tienen cinco raíces reales, todas cuyas soluciones en radicales involucran raíces de números complejos. Este es un casus irreducibilis para la ecuación de quinto grado, que se analiza en Dummit. ^{[7] : p.17} De hecho, si una ecuación de quinto grado irreducible tiene todas las raíces reales, ninguna raíz puede expresarse puramente en términos de radicales reales (como es cierto para todos los grados de polinomios que no son potencias de 2).

Más allá de los radicales

En 1835, Jerrard demostró que las ecuaciones de quinto grado se pueden resolver utilizando ultrarradicales (también conocidos como radicales Bring), la única raíz real de t ⁵ + t − a = 0 para números reales a . En 1858, Charles Hermite demostró que el radical Bring se podía caracterizar en términos de las funciones theta de Jacobi y sus funciones modulares elípticas asociadas , utilizando un enfoque similar al enfoque más conocido de resolver ecuaciones cúbicas por medio de funciones trigonométricas . Casi al mismo tiempo, Leopold Kronecker , utilizando la teoría de grupos , desarrolló una forma más simple de derivar el resultado de Hermite, al igual que Francesco Brioschi . Más tarde, Felix Klein ideó un método que relaciona las simetrías del icosaedro , la teoría de Galois y las funciones modulares elípticas que aparecen en la solución de Hermite, dando una explicación de por qué deberían aparecer, y desarrolló su propia solución en términos de funciones hipergeométricas generalizadas . ^[8] Fenómenos similares ocurren en el grado 7 ( ecuaciones sépticas ) y 11 , como lo estudió Klein y discutió en Simetría icosaédrica § Geometrías relacionadas .

Resolver con radicales Bring

Una transformación de Tschirnhaus , que puede calcularse resolviendo una ecuación cuártica , reduce la ecuación quíntica general de la forma

${\displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,}$

a la forma normal de Bring–Jerrard x ⁵ − x + t = 0 .

Las raíces de esta ecuación no pueden expresarse mediante radicales. Sin embargo, en 1858, Charles Hermite publicó la primera solución conocida de esta ecuación en términos de funciones elípticas . ^[9] Casi al mismo tiempo, Francesco Brioschi ^[10] y Leopold Kronecker ^[11] encontraron soluciones equivalentes.

Consulte Bring radical para obtener detalles sobre estas soluciones y algunas relacionadas.

Aplicación a la mecánica celeste

Para encontrar las ubicaciones de los puntos lagrangianos de una órbita astronómica en la que las masas de ambos objetos no son despreciables, es necesario resolver una ecuación quintica.

Más precisamente, las ubicaciones de L ₂ y L ₁ son las soluciones de las siguientes ecuaciones, donde las fuerzas gravitacionales de dos masas sobre una tercera (por ejemplo, el Sol y la Tierra en satélites como Gaia y el Telescopio Espacial James Webb en L ₂ y SOHO en L ₁ ) proporcionan la fuerza centrípeta del satélite necesaria para estar en una órbita sincrónica con la Tierra alrededor del Sol:

${\displaystyle {\frac {GmM_{S}}{(R\pm r)^{2}}}\pm {\frac {GmM_{E}}{r^{2}}}=m\omega ^{2}(R\pm r)}$

El signo ± corresponde a L ₂ y L ₁ , respectivamente; G es la constante gravitacional , ω la velocidad angular , r la distancia del satélite a la Tierra, R la distancia del Sol a la Tierra (es decir, el semieje mayor de la órbita de la Tierra), y m , M _E y M _S son las masas respectivas del satélite, la Tierra y el Sol .

Usando la Tercera Ley de Kepler y reorganizando todos los términos se obtiene la ecuación quintica ${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{P^{2}}}={\frac {G(M_{S}+M_{E})}{R^{3}}}}$

${\displaystyle ar^{5}+br^{4}+cr^{3}+dr^{2}+er+f=0}$

con:

${\displaystyle {\begin{aligned}&a=\pm (M_{S}+M_{E}),\\&b=+(M_{S}+M_{E})3R,\\&c=\pm (M_{S}+M_{E})3R^{2},\\&d=+(M_{E}\mp M_{E})R^{3}\ (thus\ d=0\ for\ L_{2}),\\&e=\pm M_{E}2R^{4},\\&f=\mp M_{E}R^{5}\end{aligned}}}$.

Resolviendo estas dos ecuaciones de quinto grado se obtiene r = 1,501 x 10 ⁹ m para L ₂ y r = 1,491 x 10 ⁹ m para L _1. Los puntos Lagrangianos Sol-Tierra L ₂ y L ₁ se dan generalmente a 1,5 millones de kilómetros de la Tierra.

Si la masa del objeto más pequeño ( M _E ) es mucho menor que la masa del objeto más grande ( M _S ), entonces la ecuación quíntica se puede reducir en gran medida y L ₁ y L ₂ están aproximadamente en el radio de la esfera de Hill , dado por:

${\displaystyle r\approx R{\sqrt[{3}]{\frac {M_{E}}{3M_{S}}}}}$

Esto también produce r = 1,5 x 10 ⁹ m para los satélites en L ₁ y L ₂ en el sistema Sol-Tierra.

Véase también

• Ecuación sextica
• Función séptica
• Teoría de ecuaciones

Notas

1. Elia, M.; Filipponi, P. (1998). "Ecuaciones de la forma Bring-Jerrard, la sección áurea y los números cuadrados de Fibonacci" (PDF) . The Fibonacci Quarterly . 36 (3): 282–286.
2. A. Cayley, "Sobre una nueva ecuación auxiliar en la teoría de ecuaciones de quinto orden", Philosophical Transactions of the Royal Society of London 151 :263-276 (1861) doi :10.1098/rstl.1861.0014
3. Esta formulación del resultado de Cayley se extrae del artículo de Lazard (2004).
4. George Paxton Young, "Ecuaciones quínticas solucionables con coeficientes conmensurables", American Journal of Mathematics 10 :99–130 (1888), JSTOR  2369502
5. Lazard (2004, pág. 207)
6. Elkies, Noam. "Trinomios a xn + bx + c con grupos de Galois interesantes". Universidad de Harvard .
7. David S. Dummit Solución de ecuaciones de quinto grado resolubles
8. (Klein 1888); se da una exposición moderna en (Tóth 2002, Sección 1.6, Tema adicional: Teoría del icosaedro de Klein, pág. 66)
9. Hermita, Charles (1858). "Sobre la resolución de la ecuación del cinquième degré". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . XLVI (I): 508–515.
10. Brioschi, Francesco (1858). "Sul Metodo di Kronecker per la Risoluzione delle Equazioni di Quinto Grado". Atti Dell'i. R. Istituto Lombardo di Scienze, Lettere ed Arti . Yo : 275–282.
11. Kronecker, Leopold (1858). "Sobre la resolución de la ecuación del cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . XLVI (I): 1150-1152.

Referencias

• Charles Hermite, "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré", Obras de Charles Hermite , 2 :5–21, Gauthier-Villars, 1908.
• Klein, Felix (1888). Lecciones sobre el icosaedro y la solución de ecuaciones de quinto grado. Traducido por Morrice, George Gavin. Trübner & Co. ISBN 0-486-49528-0.
• Leopold Kronecker, "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 46 :1:1150–1152 1858.
• Blair Spearman y Kenneth S. Williams, "Caracterización de ecuaciones de quinto grado resolubles x ⁵ + ax + b , American Mathematical Monthly , 101 :986–992 (1994).
• Ian Stewart, Galois Theory 2nd Edition, Chapman and Hall, 1989. ISBN 0-412-34550-1 . Analiza la teoría de Galois en general, incluida una prueba de insolubilidad de la ecuación quintica general. 
• Jörg Bewersdorff , Teoría de Galois para principiantes: una perspectiva histórica , American Mathematical Society, 2006. ISBN 0-8218-3817-2 . El capítulo 8 (La solución de ecuaciones de quinto grado en Wayback Machine (archivado el 31 de marzo de 2010)) da una descripción de la solución de ecuaciones de quinto grado resolubles x ⁵ + cx + d . 
• Victor S. Adamchik y David J. Jeffrey, "Transformaciones polinomiales de Tschirnhaus, Bring y Jerrard", Boletín ACM SIGSAM , Vol. 37, No. 3, septiembre de 2003, págs. 90–94.
• Ehrenfried Walter von Tschirnhaus, "Un método para eliminar todos los términos intermedios de una ecuación dada", Boletín ACM SIGSAM , vol. 37, núm. 1, marzo de 2003, págs. 1–3.
• Lazard, Daniel (2004). "Resolver quinticas en radicales". En Olav Arnfinn Laudal; Ragni Piene (eds.). El legado de Niels Henrik Abel. Berlina. págs. 207–225. ISBN 3-540-43826-2. Archivado desde el original el 6 de enero de 2005.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Tóth, Gábor (2002), Grupos finitos de Möbius, inmersiones mínimas de esferas y módulos

Enlaces externos

• Mathworld - Ecuación de Quinta: más detalles sobre los métodos para resolver ecuaciones de Quinta.
• Resolución de ecuaciones quínticas resolubles: un método para resolver ecuaciones quínticas resolubles creado por David S. Dummit.
• Un método para eliminar todos los términos intermedios de una ecuación dada: una traducción reciente al inglés del artículo de Tschirnhaus de 1683.
• Bruce Bartlett: La quíntica, el icosaedro y las curvas elípticas, AMS Notices (abril de 2024)