Transformación de Tschirnhaus

Término matemático; tipo de transformación polinómica

Ehrenfried Walther von Tschirnhaus

En matemáticas , una transformación de Tschirnhaus , también conocida como transformación de Tschirnhausen , es un tipo de mapeo sobre polinomios desarrollado por Ehrenfried Walther von Tschirnhaus en 1683. ^[1]

En pocas palabras, es un método para transformar una ecuación polinomial de grado con algunos coeficientes intermedios distintos de cero, , tales que algunos o todos los coeficientes intermedios transformados, , sean exactamente cero. ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle a_{1},...,a_{n-1}}$ ${\displaystyle a'_{1},...,a'_{n-1}}$

Por ejemplo, encontrar una sustitución para una ecuación cúbica de grado , tal que la sustitución produzca una nueva ecuación tal que , , o ambas. $${\displaystyle y(x)=k_{1}x^{2}+k_{2}x+k_{3}}$$ ${\displaystyle n=3}$ $${\displaystyle f(x)=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$$ ${\displaystyle x=x(y)}$ $${\displaystyle f'(y)=y^{3}+a'_{2}y^{2}+a'_{1}y+a'_{0}}$$ ${\displaystyle a'_{1}=0}$ ${\displaystyle a'_{2}=0}$

De manera más general, se puede definir convenientemente mediante la teoría de campos , como la transformación en polinomios mínimos implicada por una elección diferente de elemento primitivo . Esta es la transformación más general de un polinomio irreducible que toma como raíz alguna función racional aplicada a esa raíz.

Definición

Para una ecuación polinomial mónica reducible de grado genérico de la forma , donde y son polinomios y no se desvanece en , la transformación de Tschirnhaus es la función: Tal que la nueva ecuación en , , tiene ciertas propiedades especiales, más comúnmente tales que algunos coeficientes, , son idénticamente cero . ^{[2] [3]} ${\displaystyle n^{th}}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle f(x)=g(x)/h(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle h(x)}$ ${\displaystyle f(x)=0}$ $${\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+...+a_{n-1}x+a_{n}=0}$$ $${\displaystyle y=k_{1}x^{n-1}+k_{2}x^{n-2}+...+k_{n-1}x+k_{n}}$$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f'(y)}$ ${\displaystyle a'_{1},...,a'_{n-1}}$

Ejemplo: Método de Tschirnhaus para ecuaciones cúbicas

En el artículo de Tschirnhaus de 1683, ^[1] resolvió la ecuación usando la transformación de Tschirnhaus Sustituyendo se obtiene la ecuación transformada o Fijando se obtiene, y finalmente, la transformación de Tschirnhaus que puede sustituirse en para obtener una ecuación de la forma: Tschirnhaus continuó describiendo cómo una transformación de Tschirnhaus de la forma: puede usarse para eliminar dos coeficientes de una manera similar. $${\displaystyle f(x)=x^{3}-px^{2}+qx-r=0}$$ $${\displaystyle y(x;a)=x-a\longleftrightarrow x(y;a)=x=y+a.}$$ $${\displaystyle f'(y;a)=y^{3}+(3a-p)y^{2}+(3a^{2}-2pa+q)y+(a^{3}-pa^{2}+qa-r)=0}$$ $${\displaystyle {\begin{cases}a'_{1}=3a-p\\a'_{2}=3a^{2}-2pa+q\\a'_{3}=a^{3}-pa^{2}+qa-r\end{cases}}.}$$ ${\displaystyle a'_{1}=0}$ $${\displaystyle 3a-p=0\rightarrow a={\frac {p}{3}}}$$ $${\displaystyle y=x-{\frac {p}{3}},}$$ ${\displaystyle f'(y;a)}$ $${\displaystyle f'(y)=y^{3}-q'y-r'.}$$ $${\displaystyle x^{2}(y;a,b)=x^{2}=bx+y+a}$$

Generalización

En detalle, sea un cuerpo y un polinomio sobre . Si es irreducible, entonces el anillo cociente del anillo polinomial por el ideal principal generado por , ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle K[t]}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle K[t]/(P(t))=L}$,

es una extensión de campo de . Tenemos ${\displaystyle K}$

${\displaystyle L=K(\alpha )}$

donde es módulo . Es decir, cualquier elemento de es un polinomio en , que es por tanto un elemento primitivo de . Habrá otras opciones de elemento primitivo en : para cualquier elección de este tipo de tendremos por definición: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (P)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta =F(\alpha ),\alpha =G(\beta )}$,

con polinomios y sobre . Ahora bien, si es el polinomio mínimo para sobre , podemos llamar transformación de Tschirnhaus de . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Por lo tanto, el conjunto de todas las transformaciones de Tschirnhaus de un polinomio irreducible se describe como que recorre todas las formas de cambiar , pero deja el mismo. Este concepto se utiliza para reducir ecuaciones de quinto grado a la forma Bring-Jerrard , por ejemplo. Existe una conexión con la teoría de Galois , cuando es una extensión de Galois de . El grupo de Galois puede entonces considerarse como todas las transformaciones de Tschirnhaus de a sí mismo. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P}$

Historia

En 1683, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus publicó un método para reescribir un polinomio de grado tal que los términos y tengan coeficientes cero. En su artículo, Tschirnhaus hizo referencia a un método de René Descartes para reducir un polinomio cuadrático de modo que el término tenga coeficientes cero. ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle x^{n-1}}$ ${\displaystyle x^{n-2}}$ ${\displaystyle (n=2)}$ ${\displaystyle x}$

En 1786, este trabajo fue ampliado por Erland Samuel Bring , quien demostró que cualquier polinomio quíntico genérico podía reducirse de manera similar.

En 1834, George Jerrard amplió aún más el trabajo de Tschirnhaus al demostrar que se puede utilizar una transformación de Tschirnhaus para eliminar , , y para un polinomio general de grado . ^[3] ${\displaystyle x^{n-1}}$ ${\displaystyle x^{n-2}}$ ${\displaystyle x^{n-3}}$ ${\displaystyle n>3}$

Véase también

• Transformaciones polinómicas
• Polinomio mónico
• Polinomio reducible
• Función quíntica
• Teoría de Galois
• Teorema de Abel-Ruffini

Referencias

1. von Tschirnhaus, Ehrenfried Walter; Verde, RF (1 de marzo de 2003). "Un método para eliminar todos los términos intermedios de una ecuación determinada". Boletín ACM SIGSAM . 37 (1): 1–3. doi : 10.1145/844076.844078 . ISSN  0163-5824. S2CID  18911887.
2. Garver, Raymond (1927). "La transformación de Tschirnhaus". Anales de Matemáticas . 29 (1/4): 319–333. doi :10.2307/1968002. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968002.
3. CB Boyer (1968) A History of Mathematics . Wiley, Nueva York pp. 472-473. Según lo informado por : Weisstein, Eric W. "Transformación de Tschirnhausen". mathworld.wolfram.com . Consultado el 2 de febrero de 2022 .