En álgebra , una ecuación séptica es una ecuación de la forma
donde un ≠ 0 .
Una función séptica es una función de la forma.
donde un ≠ 0 . En otras palabras, es un polinomio de grado siete. Si a = 0 , entonces f es una función sextica ( b ≠ 0 ), función quíntica ( b = 0, c ≠ 0 ), etc.
La ecuación se puede obtener a partir de la función estableciendo f ( x ) = 0 .
Los coeficientes a , b , c , d , e , f , g , h pueden ser números enteros , números racionales , números reales , números complejos o, más generalmente, miembros de cualquier campo .
Debido a que tienen un grado impar, las funciones sépticas parecen similares a las funciones quínticas y cúbicas cuando se representan gráficamente, excepto que pueden poseer máximos y mínimos locales adicionales (hasta tres máximos y tres mínimos). La derivada de una función séptica es una función sextica .
Algunas ecuaciones de séptimo grado se pueden resolver factorizando en radicales , pero otras sépticas no. Évariste Galois desarrolló técnicas para determinar si una ecuación dada podía resolverse mediante radicales, lo que dio lugar al campo de la teoría de Galois . Para dar un ejemplo de un sistema séptico irreducible pero con solución, se puede generalizar la quinta de Moivre con solución para obtener,
donde la ecuación auxiliar es
Esto significa que la séptica se obtiene eliminando u y v entre x = u + v , uv + α = 0 y u 7 + v 7 + β = 0 .
De ello se deduce que las siete raíces del séptico están dadas por
donde ω k es cualquiera de las 7 séptimas raíces de la unidad . El grupo de Galois de este séptico es el grupo máximo resoluble de orden 42. Esto se generaliza fácilmente a cualquier otro grado k , no necesariamente primo.
Otra familia con solución es,
cuyos miembros aparecen en la Base de datos de campos numéricos de Kluner . Su discriminante es
El grupo Galois de estos sépticos es el grupo diédrico de orden 14.
La ecuación séptica general se puede resolver con los grupos de Galois alternados o simétricos A 7 o S 7 . [1] Tales ecuaciones requieren funciones hiperelípticas y funciones theta asociadas del género 3 para su solución. [1] Sin embargo, estas ecuaciones no fueron estudiadas específicamente por los matemáticos del siglo XIX que estudiaban las soluciones de ecuaciones algebraicas, porque las soluciones de las ecuaciones sexticas ya estaban en los límites de sus capacidades computacionales sin computadoras. [1]
Las sépticas son las ecuaciones de orden más bajo para las cuales no es obvio que sus soluciones puedan obtenerse componiendo funciones continuas de dos variables. El decimotercer problema de Hilbert fue la conjetura de que esto no era posible en el caso general de ecuaciones de séptimo grado. Vladimir Arnold resolvió esto en 1957, demostrando que siempre fue posible. [2] Sin embargo, el propio Arnold consideró que el verdadero problema de Hilbert era si para los sépticos sus soluciones pueden obtenerse superponiendo funciones algebraicas de dos variables. [3] A partir de 2023, el problema sigue abierto.
El cuadrado del área de un pentágono cíclico es la raíz de una ecuación séptica cuyos coeficientes son funciones simétricas de los lados del pentágono. [4] Lo mismo ocurre con el cuadrado del área de un hexágono cíclico . [5]
![{\displaystyle x_{k}=\omega _ {k}{\sqrt[{7}]{y_ {1}}}+\omega _ {k}^{6}{\sqrt[{7}]{y_ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bebaee11b85461c981511ca41b3bbb0df4c1aead)
