En álgebra , una ecuación séptica es una ecuación de la forma
donde a ≠ 0 .
Una función séptica es una función de la forma
donde a ≠ 0 . En otras palabras, es un polinomio de grado siete. Si a = 0 , entonces f es una función séxtica ( b ≠ 0 ), función quíntica ( b = 0, c ≠ 0 ), etc.
La ecuación se puede obtener a partir de la función estableciendo f ( x ) = 0 .
Los coeficientes a , b , c , d , e , f , g , h pueden ser números enteros , números racionales , números reales , números complejos o, más generalmente, miembros de cualquier cuerpo .
Debido a que tienen un grado impar, las funciones sépticas parecen similares a las funciones cúbicas y quínticas cuando se grafican, excepto que pueden poseer máximos y mínimos locales adicionales (hasta tres máximos y tres mínimos). La derivada de una función séptica es una función séptica .
Algunas ecuaciones de séptimo grado se pueden resolver factorizándolas en radicales , pero otras ecuaciones sépticas no. Évariste Galois desarrolló técnicas para determinar si una ecuación dada se podía resolver mediante radicales, lo que dio origen al campo de la teoría de Galois . Para dar un ejemplo de una ecuación séptica irreducible pero resoluble, se puede generalizar la ecuación de quinto grado resoluble para obtener:
donde la ecuación auxiliar es
Esto significa que la séptica se obtiene eliminando u y v entre x = u + v , uv + α = 0 y u 7 + v 7 + β = 0 .
De ello se deduce que las siete raíces del séptico están dadas por
donde ω k es cualquiera de las 7 raíces séptimas de la unidad . El grupo de Galois de este séptico es el grupo resoluble máximo de orden 42. Esto se generaliza fácilmente a cualquier otro grado k , no necesariamente primo.
Otra familia solucionable es,
cuyos miembros aparecen en la base de datos de campos numéricos de Kluner . Su discriminante es
El grupo de Galois de estos sépticos es el grupo diedro de orden 14.
La ecuación séptica general se puede resolver con los grupos de Galois alternos o simétricos A 7 o S 7 . [1] Tales ecuaciones requieren funciones hiperelípticas y funciones theta asociadas de género 3 para su solución. [1] Sin embargo, estas ecuaciones no fueron estudiadas específicamente por los matemáticos del siglo XIX que estudiaban las soluciones de ecuaciones algebraicas, porque las soluciones de las ecuaciones séxticas ya estaban en los límites de sus capacidades computacionales sin computadoras. [1]
Las ecuaciones sépticas son las ecuaciones de orden más bajo para las que no es obvio que sus soluciones se puedan obtener componiendo funciones continuas de dos variables. El decimotercer problema de Hilbert fue la conjetura de que esto no era posible en el caso general de las ecuaciones de séptimo grado. Vladimir Arnold lo resolvió en 1957, demostrando que esto siempre era posible. [2] Sin embargo, el propio Arnold consideró que el verdadero problema de Hilbert era si, para las ecuaciones sépticas, sus soluciones se pueden obtener superponiendo funciones algebraicas de dos variables. [3] A fecha de 2023, el problema sigue abierto.
El cuadrado del área de un pentágono cíclico es una raíz de una ecuación séptica cuyos coeficientes son funciones simétricas de los lados del pentágono. [4] Lo mismo ocurre con el cuadrado del área de un hexágono cíclico . [5]
![{\displaystyle x_{k}=\omega _ {k}{\sqrt[{7}]{y_ {1}}}+\omega _ {k}^{6}{\sqrt[{7}]{y_ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bebaee11b85461c981511ca41b3bbb0df4c1aead)
