Caso irreducibilis

Cuando la solución de un polinomio no se puede expresar en radicales sin números complejos

En álgebra , casus irreducibilis (del latín  'el caso irreducible') es uno de los casos que pueden surgir al resolver polinomios de grado 3 o superior con coeficientes enteros algebraicamente (en contraposición a numéricamente), es decir, obteniendo raíces que se expresan con radicales . Muestra que muchos números algebraicos tienen valores reales pero no pueden expresarse en radicales sin introducir números complejos . La aparición más notable de casus irreducibilis es en el caso de polinomios cúbicos que tienen tres raíces reales , lo cual fue demostrado por Pierre Wantzel en 1843. ^[1] Se puede ver si un polinomio cúbico dado está en el llamado casus irreducibilis observando el discriminante , a través de la fórmula de Cardano . ^[2]

Los tres casos del discriminante

Dejar

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

ser una ecuación cúbica con . Entonces el discriminante está dado por ${\displaystyle a\neq 0}$

${\displaystyle D:={\bigl (}(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{2}-x_{3}){\bigr )}^{2}=18abcd-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}-4b^{3}d~.}$

Aparece en la solución algebraica y es el cuadrado del producto.

${\displaystyle \Delta :=\prod _{j<k}(x_{j}-x_{k})=(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{2}-x_{3})\qquad \qquad {\bigl (}\!=\pm {\sqrt {D}}{\bigr )}}$

de las diferencias de las 3 raíces . ^[3] ${\displaystyle {\tbinom {3}{2}}=3}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$

1. Si D < 0 , entonces el polinomio tiene una raíz real y dos raíces complejas no reales. es puramente imaginario. Aunque existen polinomios cúbicos con discriminante negativo que son irreducibles en el sentido moderno, el casus irreducibilis no se aplica. ^[4] ${\displaystyle \Delta \in i\mathbb {R} ^{\times }}$
   
2. Si D = 0 , entonces y hay tres raíces reales; dos de ellos son iguales. Si D = 0 se puede encontrar mediante el algoritmo euclidiano y, de ser así, las raíces mediante la fórmula cuadrática . Además, todas las raíces son reales y expresables por radicales reales. Todos los polinomios cúbicos con discriminante cero son reducibles. ${\displaystyle \Delta =0}$
   
3. Si D > 0 , entonces es distinto de cero y real, y hay tres raíces reales distintas que son sumas de dos conjugados complejos . Debido a que se necesitan números complejos (en el sentido de la época: raíces cúbicas de números no reales, es decir, raíces cuadradas de números negativos) para expresarlos en radicales, este caso se denominó en el siglo XVI casus irreducibilis . ^[5] ${\displaystyle \Delta \in \mathbb {R} ^{\times }}$
   

Declaración formal y prueba

De manera más general, supongamos que F es un campo formalmente real , y que p ( x ) ∈ F [ x ] es un polinomio cúbico, irreducible sobre F , pero que tiene tres raíces reales (raíces en la clausura real de F ). Entonces casus irreducibilis establece que es imposible expresar una solución de p ( x ) = 0 mediante radicales con radicandos ∈ F .

Para probar esto, ^[6] observe que el discriminante D es positivo. Forme la extensión de campo F ( √ D ) = F (∆) . Como se trata de F o una extensión cuadrática de F (dependiendo de si D es o no un cuadrado en F ), p ( x ) permanece irreducible en él. En consecuencia, el grupo de Galois de p ( x ) sobre F ( √ D ) es el grupo cíclico C ₃ . Supongamos que p ( x ) = 0 se puede resolver mediante radicales reales. Entonces p ( x ) puede dividirse mediante una torre de extensiones cíclicas

${\displaystyle F\subset F({\sqrt {D}})\subset F({\sqrt {D}},{\sqrt[{p_{1}}]{\alpha _{1}}})\subset \cdots \subset K\subset K({\sqrt[{3}]{\alpha }})}$

En el último paso de la torre, p ( x ) es irreducible en el penúltimo campo K , pero se divide en K ( ³ √ α ) durante algún α . Pero esta es una extensión de campo cíclica y, por lo tanto, debe contener un conjugado de ³ √ α y, por lo tanto, una tercera raíz de la unidad primitiva .

Sin embargo, no existen terceras raíces primitivas de unidad en un campo cerrado real. Supongamos que ω es una tercera raíz primitiva de la unidad. Entonces, según los axiomas que definen un campo ordenado , ω y ω ² son ambos positivos, porque de lo contrario su cubo (=1) sería negativo. Pero si ω ² >ω, entonces elevar al cubo ambos lados da 1>1, una contradicción; de manera similar si ω>ω ² .

Solución en radicales no reales.

La solución de Cardano

La ecuación ax ³ + bx ² + cx + d = 0 se puede reducir a un trinomio mónico dividiendo y sustituyendo x = t − ${\displaystyle a}$b/3a​(la transformación de Tschirnhaus ), dando la ecuación t ³ + pt + q = 0 donde

${\displaystyle p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}}$

${\displaystyle q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.}$

Entonces, independientemente del número de raíces reales, según la solución de Cardano las tres raíces vienen dadas por

${\displaystyle t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}}$

donde ( k =1, 2, 3) es una raíz cúbica de 1 ( , y , donde i es la unidad imaginaria ). Aquí, si los radicandos bajo las raíces cúbicas no son reales, las raíces cúbicas expresadas por radicales se definen como cualquier par de raíces cúbicas conjugadas complejas, mientras que si son reales, estas raíces cúbicas se definen como raíces cúbicas reales. ${\displaystyle \omega _{k}}$ ${\displaystyle \omega _{1}=1}$ ${\displaystyle \omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i}$ ${\displaystyle \omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i}$

Casus irreducibilis ocurre cuando ninguna de las raíces es racional y cuando las tres raíces son distintas y reales; el caso de tres raíces reales distintas ocurre si y sólo siq ²/4+página ³/27< 0 , en cuyo caso la fórmula de Cardano implica primero tomar la raíz cuadrada de un número negativo, que es imaginario , y luego tomar la raíz cúbica de un número complejo (la raíz cúbica en sí misma no se puede colocar en la forma α + βi con datos específicamente dados). expresiones en radicales reales para α y β , ya que hacerlo requeriría resolver independientemente la cúbica original). Incluso en el caso reducible en el que una de las tres raíces reales es racional y, por tanto, puede factorizarse mediante división polinómica larga , la fórmula de Cardano (innecesariamente en este caso) expresa esa raíz (y las demás) en términos de radicales no reales.

Ejemplo

La ecuación cúbica

${\displaystyle 2x^{3}-9x^{2}-6x+3=0}$

es irreducible, porque si pudiera factorizarse habría un factor lineal que daría una solución racional, mientras que ninguna de las posibles raíces dadas por la prueba de la raíz racional son en realidad raíces. Como su discriminante es positivo, tiene tres raíces reales, por lo que es un ejemplo de casus irreducibilis. Estas raíces se pueden expresar como

${\displaystyle t_{k}={\frac {3-\omega _{k}{\sqrt[{3}]{39-26i}}-\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{39+26i}}}{2}}}$

para . Las soluciones están en radicales e involucran las raíces cúbicas de números conjugados complejos . ${\displaystyle k\in \left\{1,2,3\right\}}$

Solución trigonométrica en términos de cantidades reales.

Si bien el casus irreducibilis no se puede resolver en radicales en términos de cantidades reales, se puede resolver trigonométricamente en términos de cantidades reales. ^[7] Específicamente, la ecuación cúbica mónica deprimida se resuelve mediante ${\displaystyle t^{3}+pt+q=0}$

${\displaystyle t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left[{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right]\quad {\text{for}}\quad k=0,1,2\,.}$

Estas soluciones están en términos de cantidades reales si y sólo si, es decir, si y sólo si hay tres raíces reales. La fórmula implica comenzar con un ángulo cuyo coseno se conoce, trisecar el ángulo multiplicándolo por 1/3, tomar el coseno del ángulo resultante y ajustarlo a la escala. ${\displaystyle {q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}<0}$

Aunque el coseno y su función inversa (arcoseno) son funciones trascendentales , esta solución es algebraica en el sentido de que es una función algebraica , equivalente a la trisección de ángulos . ${\displaystyle \cos \left[\arccos \left(x\right)/3\right]}$

Relación con la trisección de ángulos

La distinción entre los casos cúbicos reducibles e irreducibles con tres raíces reales está relacionada con la cuestión de si un ángulo es trisectible o no por los medios clásicos de compás y regla sin marcar . Para cualquier ángulo θ , un tercio de este ángulo tiene un coseno que es una de las tres soluciones a

${\displaystyle 4x^{3}-3x-\cos(\theta )=0.}$

Asimismo, θ ⁄ 3 tiene un seno que es una de las tres soluciones reales de

${\displaystyle 4y^{3}-3y+\sin(\theta )=0.}$

En cualquier caso, si la prueba de la raíz racional revela una solución racional, x o y menos esa raíz se pueden factorizar del polinomio del lado izquierdo, dejando una cuadrática que se puede resolver para las dos raíces restantes en términos de una raíz cuadrada. ; entonces todas estas raíces son clásicamente construibles ya que no se pueden expresar en raíces superiores a las cuadradas, por lo que en particular cos ( θ ⁄ 3 ) o sin ( θ ⁄ 3 ) es construible y también lo es el ángulo asociado θ ⁄ 3 . Por otro lado, si la prueba de la raíz racional muestra que no existe una raíz racional, entonces se aplica casus irreducibilis , cos( θ ⁄ 3 ) o sin( θ ⁄ 3 ) no es construible, el ángulo θ ⁄ 3 no es construible y el ángulo θ no es clásicamente trisectible.

Por ejemplo, mientras que un ángulo de 180° se puede trisecar en tres ángulos de 60°, un ángulo de 60° no se puede trisecar solo con un compás y una regla. Usando fórmulas de triple ángulo se puede ver que cosπ/3= 4 x ³ − 3 x donde x = cos(20°) . Reorganizar da 8 x ³ − 6 x − 1 = 0 , lo que no pasa la prueba de la raíz racional ya que ninguno de los números racionales sugeridos por el teorema es en realidad una raíz. Por lo tanto, el polinomio mínimo de cos(20°) tiene grado 3, mientras que el grado del polinomio mínimo de cualquier número construible debe ser una potencia de dos.

Expresar cos(20°) en radicales da como resultado

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{9}}\right)={\frac {{\sqrt[{3}]{1-i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{1+i{\sqrt {3}}}}}{2{\sqrt[{3}]{2}}}}}$

que implica sacar la raíz cúbica de números complejos. Note la similitud con e ^{iπ /3} =1+ yo √ 3/2y e ^{−iπ /3} =1− yo √ 3/2.

La conexión entre raíces racionales y trisectabilidad también se puede extender a algunos casos en los que el seno y el coseno del ángulo dado son irracionales. Consideremos como ejemplo el caso en el que el ángulo dado θ es un ángulo de vértice de un pentágono regular, un polígono que se puede construir de forma clásica. Para este ángulo, 5θ/3 es 180°, y las identidades trigonométricas estándar dan

${\displaystyle \cos(\theta )+\cos(\theta /3)=2\cos(\theta /3)\cos(2\theta /3)=-2\cos(\theta /3)\cos(\theta )}$

de este modo

${\displaystyle \cos(\theta /3)=-\cos(\theta )/(1+2\cos(\theta )).}$

El coseno del ángulo trisecado se representa como una expresión racional en términos del coseno del ángulo dado, por lo que el ángulo del vértice de un pentágono regular se puede trisecar (mecánicamente, simplemente dibujando una diagonal).

Generalización

Casus irreducibilis se puede generalizar a polinomios de grado superior de la siguiente manera. Sea p  ∈  F [ x ] un polinomio irreducible que se divide en una extensión formalmente real R de F (es decir, p sólo tiene raíces reales). Supongamos que p tiene una raíz en la que hay una extensión de F por radicales. Entonces el grado de p es una potencia de 2 y su campo de división es una extensión cuadrática iterada de F . ^{[8] [9] : 571–572} ${\displaystyle K\subseteq R}$

Así, para cualquier polinomio irreducible cuyo grado no sea una potencia de 2 y que tenga todas las raíces reales, ninguna raíz puede expresarse puramente en términos de radicales reales, es decir, es un casus irreducibilis en el sentido (siglo XVI) de este artículo. Además, si el grado del polinomio es una potencia de 2 y todas las raíces son reales, entonces si hay una raíz que se puede expresar en radicales reales, se puede expresar en términos de raíces cuadradas y no de raíces de mayor grado, al igual que el grado del polinomio. otras raíces, por lo que las raíces son clásicamente construibles .

Dummit analiza el casus irreducibilis de los polinomios quínticos . ^{[10] : 17}

Relación con el ángulo pentasección (quintisección) y superiores

La distinción entre los casos quínticos reducibles e irreducibles con cinco raíces reales está relacionada con la cuestión de si un ángulo con coseno racional o seno racional es pentasectible (capaz de dividirse en cinco partes iguales) por los medios clásicos de compás y sin marcar. regla. Para cualquier ángulo θ , una quinta parte de este ángulo tiene un coseno que es una de las cinco raíces reales de la ecuación.

${\displaystyle 16x^{5}-20x^{3}+5x-\cos(\theta )=0.}$

Asimismo,θ/5tiene un seno que es una de las cinco raíces reales de la ecuación

${\displaystyle 16y^{5}-20y^{3}+5y-\sin(\theta )=0.}$

En cualquier caso, si la prueba de la raíz racional produce una raíz racional x ₁ , entonces la quíntica es reducible ya que puede escribirse como un factor ( x—x ₁ ) multiplicado por un polinomio cuártico . Pero si la prueba muestra que no existe una raíz racional, entonces el polinomio puede ser irreducible, en cuyo caso se aplica casus irreducibilis , cos( θ ⁄ 5 ) y sin( θ ⁄ 5 ) no son construibles, el ángulo θ ⁄ 5 no lo es construible, y el ángulo θ no es clásicamente pentasectible. Un ejemplo de esto es cuando uno intenta construir un icosipentágono de 25 con compás y regla. Si bien un pentágono es relativamente fácil de construir, un góno de 25 requiere un pentasector de ángulo ya que el polinomio mínimo para cos(14,4°) tiene grado 10:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left({\frac {2\pi }{5}}\right)&={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\\16x^{5}-20x^{3}+5x+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}&=0\qquad \qquad x=\cos \left({\frac {2\pi }{25}}\right)\\4\left(16x^{5}-20x^{3}+5x+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}\right)\left(16x^{5}-20x^{3}+5x+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\right)&=0\\4\left(16x^{5}-20x^{3}+5x\right)^{2}+2\left(16x^{5}-20x^{3}+5x\right)-1&=0\\1024x^{10}-2560x^{8}+2240x^{6}+32x^{5}-800x^{4}-40x^{3}+100x^{2}+10x-1&=0.\end{aligned}}}$

De este modo,

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{2\pi i/5}&={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}+{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}i\\e^{-2\pi i/5}&={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}-{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}i\\\cos \left({\frac {2\pi }{25}}\right)&={\frac {{\sqrt[{5}]{-1+{\sqrt {5}}-i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}+{\sqrt[{5}]{-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}}{2{\sqrt[{5}]{4}}}}.\end{aligned}}}$

Notas

1. Wantzel, Pierre (1843), "Classification des nombres incommensurables d'origine algébrique" (PDF) , Nouvelles Annales de Mathématiques (en francés), 2 : 117–127
2. Cox (2012), Teorema 1.3.1, pág. 15.
3. está estrechamente relacionado con el polinomio de Vandermonde . ${\displaystyle \Delta }$
4. Se ve fácilmente que el polinomio con discriminante D = –31 < 0 es irreducible, porque según el teorema de la raíz racional tendría que tener raíces que no tiene. ${\displaystyle x^{3}+x+1}$ ${\displaystyle \in \{-1,1\}}$
5. James Pierpont en Annals of Mathematics 1900-1901 en la p. 42: „Para Cardan y sus contemporáneos, que no tenían idea de cómo se podían encontrar tales raíces cúbicas, este caso era muy paradójico. Desde entonces, los matemáticos han intentado presentar estas raíces reales como sumas de radicales reales. Como sus esfuerzos no tuvieron éxito, el caso en el que D > 0 se conoció como casus irreducibilis.“
   Artur Ekert Complejo e impredecible Cardano toma el ejemplo de Cardano y escribe en la p. 9: "Cardano sabía que esa era una de las soluciones y, sin embargo, era un casus irreducibilis ". Esto muestra que en el siglo XVI "irreducibilis" debió significar algo así como "no reducible a radicales reales". Por otro lado, el ejemplo de Cardano puede usarse para mostrar cómo pueden surgir raíces reales a partir de raíces cúbicas de números no reales: ${\displaystyle x^{3}-15x-4=0}$ ${\textstyle q^{2}/4+p^{3}/27=(-4)^{2}/4+(-15)^{3}/27=-121<0}$ ${\displaystyle x=4}$
   

   Puede observarse que ese no es el discriminante ; es con el signo invertido. Curiosamente ocurre en la fórmula de Cardano (así como en las terceras raíces primitivas de unidad con sus ), aunque y no es necesariamente un elemento del campo de división. ${\textstyle d:=q^{2}/4+p^{3}/27=-121}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D=-108\,d=13068=2^{2}3^{3}11^{2}}$ ${\textstyle {\sqrt {d}}=i{\sqrt {D/108}}}$ ${\displaystyle \omega _{2,3}}$ ${\displaystyle i{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {D}}~,}$ ${\displaystyle {\sqrt {d}}~,}$

6. BL van der Waerden, Álgebra moderna (traducido del alemán por Fred Blum), Frederick Ungar Publ. Co., 1949, pág. 180.
7. Cox (2012), Sección 1.3B Solución trigonométrica del cúbico, págs.
8. Cox (2012), Teorema 8.6.5, pág. 222.
9. IM Isaacs, "Solución de polinomios por radicales reales", American Mathematical Monthly 92 (8), octubre de 1985, 571–575,
10. David S. Dummit Resolviendo quinticas solubles Archivado el 7 de marzo de 2012 en la Wayback Machine.

Referencias

• Cox, David A. (2012), Teoría de Galois , Matemáticas puras y aplicadas (2ª ed.), John Wiley & Sons, doi :10.1002/9781118218457, ISBN 978-1-118-07205-9. Véase en particular la Sección 1.3 Ecuaciones cúbicas sobre números reales (págs. 15-22) y la Sección 8.6 El Casus Irreducibilis (págs. 220-227).
• van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Álgebra moderna I , F. Blum, JR Schulenberg, Springer, ISBN 978-0-387-40624-4

enlaces externos

• casus irreducibilis en PlanetMath .