En álgebra abstracta , una extensión abeliana es una extensión de Galois cuyo grupo de Galois es abeliano . Cuando el grupo de Galois es también cíclico , la extensión también se denomina extensión cíclica . Yendo en la otra dirección, una extensión de Galois se denomina resoluble si su grupo de Galois es resoluble , es decir, si el grupo se puede descomponer en una serie de extensiones normales de un grupo abeliano. Toda extensión finita de un cuerpo finito es una extensión cíclica.
La teoría de campos de clases proporciona información detallada sobre las extensiones abelianas de campos numéricos , campos de funciones de curvas algebraicas sobre campos finitos y campos locales .
Existen dos definiciones ligeramente diferentes del término extensión ciclotómica. Puede significar una extensión formada por raíces adyacentes de la unidad a un cuerpo, o una subextensión de dicha extensión. Los cuerpos ciclotómicos son ejemplos. Una extensión ciclotómica, bajo cualquiera de las dos definiciones, siempre es abeliana.
Si un cuerpo K contiene una raíz n -ésima primitiva de la unidad y la raíz n -ésima de un elemento de K está adjunta, la extensión de Kummer resultante es una extensión abeliana (si K tiene característica p deberíamos decir que p no divide a n , ya que de lo contrario esta puede dejar de ser incluso una extensión separable ). En general, sin embargo, los grupos de Galois de raíces n -ésimas de elementos operan tanto sobre las raíces n -ésimas como sobre las raíces de la unidad, dando un grupo de Galois no abeliano como producto semidirecto . La teoría de Kummer da una descripción completa del caso de extensión abeliana, y el teorema de Kronecker-Weber nos dice que si K es el cuerpo de números racionales , una extensión es abeliana si y solo si es un subcuerpo de un cuerpo obtenido mediante la adjuntación de una raíz de la unidad.
Existe una analogía importante con el grupo fundamental en topología , que clasifica todos los espacios de cobertura de un espacio: las coberturas abelianas se clasifican por su abelianización , que se relaciona directamente con el primer grupo de homología .