La trisección de ángulos es un problema clásico de construcción con regla y compás de las matemáticas griegas antiguas . Se trata de la construcción de un ángulo igual a un tercio de un ángulo arbitrario dado, utilizando sólo dos herramientas: una regla sin marcar y un compás .
En 1837, Pierre Wantzel demostró que el problema, tal como estaba planteado, es imposible de resolver para ángulos arbitrarios. Sin embargo, algunos ángulos especiales se pueden trisecar: por ejemplo, es trivial trisecar un ángulo recto .
Es posible trisecar un ángulo arbitrario utilizando otras herramientas además de la regla y el compás. Por ejemplo, la construcción de neusis , también conocida por los antiguos griegos, implica el deslizamiento y la rotación simultáneos de una regla marcada, lo que no se podía lograr con las herramientas originales. Los matemáticos desarrollaron otras técnicas a lo largo de los siglos.
Debido a que se define en términos simples, pero complejos que resultan irresolubles, el problema de la trisección de ángulos es un tema frecuente de intentos pseudomatemáticos de solución por parte de entusiastas ingenuos. Estas "soluciones" a menudo implican interpretaciones erróneas de las reglas o simplemente son incorrectas. [1]
Usando sólo una regla sin marcar y un compás, los matemáticos griegos encontraron medios para dividir una línea en un conjunto arbitrario de segmentos iguales, dibujar líneas paralelas , bisectar ángulos , construir muchos polígonos y construir cuadrados de área igual o doble del área de un polígono dado.
Tres problemas resultaron difíciles de resolver, específicamente, trisecar el ángulo, duplicar el cubo y cuadrar el círculo . El problema de trisección de ángulos dice:
Construya un ángulo igual a un tercio de un ángulo arbitrario dado (o divídalo en tres ángulos iguales), utilizando sólo dos herramientas:
Pierre Wantzel publicó una prueba de la imposibilidad de trisecar clásicamente un ángulo arbitrario en 1837. [2] La prueba de Wantzel, reformulada en terminología moderna, utiliza el concepto de extensiones de campo , un tema que ahora se combina típicamente con la teoría de Galois . Sin embargo, Wantzel publicó estos resultados antes que Évariste Galois (cuyo trabajo, escrito en 1830, no se publicó hasta 1846) y no utilizó los conceptos introducidos por Galois. [3]
El problema de construir un ángulo de una medida dada θ es equivalente a construir dos segmentos tales que la razón de sus longitudes sea cos θ . De la solución de uno de estos dos problemas, uno puede pasar a la solución del otro mediante una construcción con compás y regla. La fórmula del ángulo triple da una expresión que relaciona los cosenos del ángulo original y su trisección: cos θ = 4 cos 3 θ/3− 3 porqueθ/3.
De ello se deduce que, dado un segmento que se define como de longitud unitaria, el problema de trisección de ángulos equivale a construir un segmento cuya longitud es la raíz de un polinomio cúbico . Esta equivalencia reduce el problema geométrico original a un problema puramente algebraico.
Todo número racional es construible. Todo número irracional que se puede construir en un solo paso a partir de algunos números dados es raíz de un polinomio de grado 2 con coeficientes en el campo generado por estos números. Por tanto, cualquier número que sea construible mediante una secuencia de pasos es raíz de un polinomio mínimo cuyo grado es una potencia de dos . El ánguloπ/3 radianes (60 grados , escrito 60°) es construible . El siguiente argumento muestra que es imposible construir un ángulo de 20°. Esto implica que no se puede trisecar un ángulo de 60° y, por tanto, que no se puede trisecar un ángulo arbitrario.
Denotamos el conjunto de números racionales por Q. Si se pudiera trisecar 60°, el grado de un polinomio mínimo de cos 20° sobre Q sería una potencia de dos. Ahora sea x = cos 20° . Tenga en cuenta que cos 60° = cosπ/3=1/2. Luego, por la fórmula del triple ángulo, cosπ/3= 4 x 3 − 3 x y entonces 4 x 3 − 3 x =1/2. Por tanto, 8 x 3 − 6 x − 1 = 0 . Defina p ( t ) como el polinomio p ( t ) = 8 t 3 − 6 t − 1 .
Dado que x = cos 20° es una raíz de p ( t ) , el polinomio mínimo para cos 20° es un factor de p ( t ) . Debido a que p ( t ) tiene grado 3, si es reducible por Q entonces tiene una raíz racional . Según el teorema de la raíz racional , esta raíz debe ser ±1, ±1/2, ±1/4o ±1/8, pero ninguno de estos es una raíz. Por lo tanto, p ( t ) es irreducible por Q , y el polinomio mínimo para cos 20° es de grado 3 .
Entonces un ángulo que mide 60° no se puede trisecar.
Sin embargo, algunos ángulos se pueden trisecar. Por ejemplo, para cualquier ángulo construible θ , un ángulo de medida 3 θ se puede trisecar trivialmente ignorando el ángulo dado y construyendo directamente un ángulo de medida θ . Hay ángulos que no son construibles pero sí trisecibles (a pesar de que el ángulo de un tercio en sí no es construible). Por ejemplo,3 π/7es tal ángulo: cinco ángulos de medida3 π/7combinar para hacer un ángulo de medida15 π/7, que es un círculo completo más el deseadoπ/7.
Para un entero positivo N , un ángulo de medida2 π/nortees trisectible si y solo si 3 no divide a N . [4] [5] Por el contrario,2 π/nortees construible si y sólo si N es una potencia de 2 o el producto de una potencia de 2 con el producto de uno o más primos de Fermat distintos .
Nuevamente, denotamos el conjunto de números racionales por Q.
Teorema : Un ángulo de medida θ puede trisecarse si y sólo si q ( t ) = 4 t 3 − 3 t − cos( θ ) es reducible sobre la extensión de campo Q (cos( θ )) .
La prueba es una generalización relativamente sencilla de la prueba dada anteriormente de que un ángulo de 60° no es trisectible. [6]
Para cualquier número entero N distinto de cero , un ángulo de medida 2 π ⁄ N radianes se puede dividir en n partes iguales con regla y compás si y solo si n es una potencia de 2 o es una potencia de 2 multiplicada por el producto de uno o primos de Fermat más distintos, ninguno de los cuales divide a N . En el caso de la trisección ( n = 3 , que es un primo de Fermat), esta condición se convierte en el requisito antes mencionado de que N no sea divisible por 3 . [5]
El problema general de la trisección de ángulos se puede resolver utilizando herramientas adicionales y, por lo tanto, saliendo del marco griego original de compás y regla.
Se han propuesto muchos métodos incorrectos para trisecar el ángulo general. Algunos de estos métodos proporcionan aproximaciones razonables; otros (algunos de los cuales se mencionan a continuación) involucran herramientas no permitidas en el problema clásico. El matemático Underwood Dudley ha detallado algunos de estos intentos fallidos en su libro The Trisectors . [1]
La trisección se puede aproximar repitiendo el método de compás y regla para bisectar un ángulo. la serie geométrica1/3=1/4+1/dieciséis+1/64+1/256+ ⋯ o1/3=1/2−1/4+1/8−1/dieciséis+ ⋯ se puede utilizar como base para las bisecciones. Se puede obtener una aproximación a cualquier grado de precisión en un número finito de pasos. [7]
La trisección, como muchas construcciones imposibles con regla y compás, se puede lograr fácilmente mediante las operaciones de plegado de papel u origami . Los axiomas de Huzita (tipos de operaciones de plegado) pueden construir extensiones cúbicas (raíces cúbicas) de longitudes dadas, mientras que la regla y el compás sólo pueden construir extensiones cuadráticas (raíces cuadradas).
Hay varios enlaces simples que se pueden usar para fabricar un instrumento para trisecar ángulos, incluido el Trisector de Kempe y el Link Fan o Isoklinostat de Sylvester. [8]
En 1932, Ludwig Bieberbach publicó en el Journal für die reine und angewandte Mathematik su obra Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen . [9] En él afirma (traducción libre):
La construcción comienza dibujando un círculo que pasa por el vértice P del ángulo a trisecar, centrado en A en un borde de este ángulo y que tiene B como su segunda intersección con el borde. Un círculo con centro en P y del mismo radio corta la línea que sostiene el borde en A y O.
Ahora la regla triangular recta se coloca sobre el dibujo de la siguiente manera: un cateto de su ángulo recto pasa por O ; el vértice de su ángulo recto se coloca en un punto S de la recta PC de tal manera que el segundo cateto de la regla es tangente en E al círculo centrado en A. Se deduce que el ángulo original es trisectado por la recta PE , y la recta PD perpendicular al SE y que pasa por P. Esta línea se puede trazar usando nuevamente la regla triangular recta o usando una regla tradicional y un compás . Con una construcción similar se puede mejorar la ubicación de E , utilizando que es la intersección de la recta SE y su perpendicular que pasa por A .
Prueba: Hay que demostrar la igualdad de los ángulos y las tres rectas OS , PD y AE son paralelas. Como los segmentos OP y PA son iguales, estas tres rectas paralelas delimitan dos segmentos iguales cada dos secantes, y en particular en su perpendicular común SE . Así SD ' = D ' E , donde D' es la intersección de las líneas PD y SE . De ello se deduce que los triángulos rectángulos PD ' S y PD ' E son congruentes, y por tanto que la primera igualdad deseada. Por otro lado, el triángulo PAE es isósceles , ya que todos los radios de una circunferencia son iguales; esto implica que se tiene también ya que estos dos ángulos son ángulos alternos de una transversal a dos rectas paralelas. Esto demuestra la segunda igualdad deseada y, por tanto, la corrección de la construcción.
Hay ciertas curvas llamadas trisectrices que, si se dibujan en el plano utilizando otros métodos, pueden usarse para trisecar ángulos arbitrarios. [10] Los ejemplos incluyen la trisectriz de Colin Maclaurin , dada en coordenadas cartesianas por la ecuación implícita
y la espiral de Arquímedes . De hecho, la espiral se puede utilizar para dividir un ángulo en cualquier número de partes iguales. Arquímedes describió cómo trisecar un ángulo usando la espiral de Arquímedes en Sobre espirales alrededor del 225 a.C.
Otro medio para trisecar un ángulo arbitrario mediante un "pequeño" paso fuera del marco griego es mediante una regla con dos marcas a una distancia determinada. La siguiente construcción se debe originalmente a Arquímedes , llamada construcción de Neusis , es decir, que utiliza herramientas distintas a una regla sin marcar . Los diagramas que utilizamos muestran esta construcción para un ángulo agudo, pero de hecho funciona para cualquier ángulo hasta 180 grados.
Esto requiere tres hechos de la geometría (a la derecha):
Sea l la línea horizontal en el diagrama adyacente. El ángulo a (a la izquierda del punto B ) es objeto de trisección. Primero, se dibuja un punto A en el rayo de un ángulo , a una unidad de distancia de B. Se dibuja una circunferencia de radio AB . Entonces, entra en juego la marca de la regla: una marca de la regla se coloca en A y la otra en B. Mientras se mantiene la regla (pero no la marca) tocando A , la regla se desliza y se gira hasta que una marca esté en el círculo y la otra en la línea l . La marca en el círculo está etiquetada como C y la marca en la línea está etiquetada como D. Esto asegura que CD = AB . Se dibuja un radio BC para que quede claro que los segmentos AB , BC y CD tienen todos la misma longitud. Ahora, los triángulos ABC y BCD son isósceles , por lo tanto (según el hecho 3 anterior) cada uno tiene dos ángulos iguales.
Hipótesis : Dado que AD es una línea recta y AB , BC y CD tienen la misma longitud,
Conclusión : ángulo b =a/3.
Prueba :
Despejando, a − 3 b = 0 , o a = 3 b , y el teorema queda demostrado .
Nuevamente, esta construcción salió del marco de construcciones permitidas al utilizar una regla marcada.
Thomas Hutcheson publicó un artículo en Mathematics Teacher [11] que utilizaba una cuerda en lugar de un compás y una regla. Una cuerda se puede utilizar como regla (estirándola) o como compás (fijando un punto e identificando otro), pero también se puede enrollar alrededor de un cilindro, la clave de la solución de Hutcheson.
Hutcheson construyó un cilindro a partir del ángulo que iba a ser trisecado dibujando un arco a través del ángulo, completándolo como un círculo y construyendo a partir de ese círculo un cilindro en el que se inscribía, por ejemplo, un triángulo equilátero (un ángulo de 360 grados dividido en tres). ). Luego esto se "mapeó" en el ángulo que se iba a trisecar, con una prueba simple de triángulos similares.
Un " hacha de guerra " es una forma geométrica que consta de un semicírculo y dos segmentos de línea ortogonales, de modo que la longitud del segmento más corto es igual al radio del círculo. La trisección se ejecuta apoyando el extremo del segmento más corto del tomahawk en un rayo y el borde del círculo en el otro, de modo que el "mango" (segmento más largo) cruce el vértice del ángulo; la línea de trisección corre entre el vértice y el centro del semicírculo.
Si bien un hacha de guerra se puede construir con compás y regla, generalmente no es posible construir un hacha de guerra en la posición deseada. Por tanto, la construcción anterior no contradice la no trisectibilidad de los ángulos sólo con regla y compás.
Como un hacha de guerra se puede utilizar como escuadra , también se puede utilizar para ángulos de trisección mediante el método descrito en § Con una regla triangular recta.
El hacha de guerra produce el mismo efecto geométrico que el método de plegado de papel: la distancia entre el centro del círculo y la punta del segmento más corto es el doble de la distancia del radio, que garantiza el contacto con el ángulo. También equivale al uso de la regla L de arquitecto ( escuadra del carpintero ).
Un ángulo se puede trisecar con un dispositivo que es esencialmente una versión de una brújula de cuatro puntas, con vínculos entre las puntas diseñados para mantener iguales los tres ángulos entre las puntas adyacentes. [12]
Una ecuación cúbica con coeficientes reales se puede resolver geométricamente con compás, regla y trisector de ángulos si y sólo si tiene tres raíces reales . [13] : Thm. 1
Un polígono regular con n lados se puede construir con regla, compás y trisector de ángulos si y sólo si donde r, s, k ≥ 0 y donde p i son primos distintos mayores que 3 de la forma (es decir, primos de Pierpont mayores que 3 ). [13] : Thm. 2
Consulte también Comentarios sobre este artículo en el vol.
93, marzo de 2009, pág.
156.
