Axiomas de Huzita-Hatori

Reglas relacionadas con los principios matemáticos del origami

Los axiomas de Huzita-Justin o axiomas de Huzita-Hatori son un conjunto de reglas relacionadas con los principios matemáticos del origami , que describen las operaciones que se pueden realizar al doblar una hoja de papel. Los axiomas suponen que las operaciones se completan en un plano (es decir, una hoja de papel perfecta) y que todos los pliegues son lineales. No se trata de un conjunto mínimo de axiomas, sino del conjunto completo de posibles pliegues individuales.

Los primeros siete axiomas fueron descubiertos por primera vez por el matemático y papiroflexia francés Jacques Justin en 1986. ^[1] Los axiomas 1 a 6 fueron redescubiertos por el matemático japonés - italiano Humiaki Huzita y presentados en la Primera Conferencia Internacional sobre Origami en Educación y Terapia en 1991. Los axiomas 1 a 5 fueron redescubiertos por Auckly y Cleveland en 1995. El axioma 7 fue redescubierto por Koshiro Hatori en 2001; Robert J. Lang también encontró el axioma 7.

Los siete axiomas

Los primeros 6 axiomas se conocen como axiomas de Justin o axiomas de Huzita. El axioma 7 fue descubierto por Jacques Justin. Koshiro Hatori y Robert J. Lang también descubrieron el axioma 7. Los axiomas son los siguientes:

1. Dados dos puntos distintos p ₁ y p ₂ , existe un único pliegue que pasa por ambos.
2. Dados dos puntos distintos p ₁ y p ₂ , existe un pliegue único que coloca p ₁ sobre p ₂ .
3. Dadas dos líneas l ₁ y l ₂ , hay un pliegue que coloca l ₁ sobre l ₂ .
4. Dado un punto p ₁ y una recta l ₁ , existe un único pliegue perpendicular a l ₁ que pasa por el punto p ₁ .
5. Dados dos puntos p ₁ y p ₂ y una recta l ₁ , hay un pliegue que coloca p ₁ sobre l ₁ y pasa por p ₂ .
6. Dados dos puntos p ₁ y p ₂ y dos rectas l ₁ y l ₂ , hay un pliegue que coloca p ₁ sobre l ₁ y p ₂ sobre l ₂ .
7. Dado un punto p y dos rectas l ₁ y l ₂ , hay un pliegue que coloca p sobre l ₁ y es perpendicular a l ₂ .

El axioma 5 puede tener 0, 1 o 2 soluciones, mientras que el axioma 6 puede tener 0, 1, 2 o 3 soluciones. De esta manera, las geometrías resultantes del origami son más fuertes que las geometrías del compás y la regla , donde el número máximo de soluciones que tiene un axioma es 2. Así, la geometría del compás y la regla resuelve ecuaciones de segundo grado, mientras que la geometría del origami, u origametría, puede resolver ecuaciones de tercer grado y resolver problemas como la trisección de ángulos y la duplicación del cubo . La construcción del pliegue garantizado por el axioma 6 requiere "deslizar" el papel, o neusis , lo que no está permitido en las construcciones clásicas con compás y regla. El uso de neusis junto con un compás y una regla sí permite la trisección de un ángulo arbitrario.

Detalles

Axioma 1

Dados dos puntos p ₁ y p ₂ , existe un único pliegue que pasa por ambos.

En forma paramétrica, la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos es:

${\displaystyle F(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1}).}$

Axioma 2

Dados dos puntos p ₁ y p ₂ , existe un único pliegue que coloca p ₁ sobre p ₂ .

Esto equivale a hallar la bisectriz perpendicular del segmento de recta p ₁ p ₂ . Esto se puede hacer en cuatro pasos:

• Utilice el Axioma 1 para encontrar la línea que pasa por p ₁ y p ₂ , dada por ${\displaystyle P(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1})}$
• Encuentra el punto medio de p _mid of P ( s )
• Encuentra el vector v ^perp perpendicular a P ( s )
• La ecuación paramétrica del pliegue es entonces:

${\displaystyle F(s)=p_{\mathrm {mid} }+s\cdot \mathbf {v} ^{\mathrm {perp} }.}$

Axioma 3

Dadas dos líneas l ₁ y l ₂ , hay un pliegue que coloca l ₁ sobre l ₂ .

Esto es equivalente a hallar la bisectriz del ángulo entre l ₁ y l ₂ . Sean p ₁ y p ₂ dos puntos cualesquiera sobre l ₁ , y q ₁ y q ₂ dos puntos cualesquiera sobre l ₂ . Además, sean u y v los vectores de dirección unitarios de l ₁ y l ₂ , respectivamente; es decir:

${\displaystyle \mathbf {u} =(p_{2}-p_{1})/\left|(p_{2}-p_{1})\right|}$

${\displaystyle \mathbf {v} =(q_{2}-q_{1})/\left|(q_{2}-q_{1})\right|.}$

Si las dos rectas no son paralelas, su punto de intersección es:

${\displaystyle p_{\mathrm {int} }=p_{1}+s_{\mathrm {int} }\cdot \mathbf {u} }$

dónde

${\displaystyle s_{int}=-{\frac {\mathbf {v} ^{\perp }\cdot (p_{1}-q_{1})}{\mathbf {v} ^{\perp }\cdot \mathbf {u} }}.}$

La dirección de una de las bisectrices es entonces:

${\displaystyle \mathbf {w} ={\frac {\left|\mathbf {u} \right|\mathbf {v} +\left|\mathbf {v} \right|\mathbf {u} }{\left|\mathbf {u} \right|+\left|\mathbf {v} \right|}}.}$

Y la ecuación paramétrica del pliegue es:

${\displaystyle F(s)=p_{\mathrm {int} }+s\cdot \mathbf {w} .}$

También existe una segunda bisectriz, perpendicular a la primera y que pasa por p _int . Al plegar a lo largo de esta segunda bisectriz también se logrará el resultado deseado de colocar l ₁ sobre l ₂ . Puede que no sea posible realizar uno u otro de estos pliegues, dependiendo de la ubicación del punto de intersección.

Si las dos líneas son paralelas, no tienen punto de intersección. El pliegue debe ser la línea intermedia entre l ₁ y l ₂ y paralela a ellas.

Axioma 4

Dado un punto p ₁ y una recta l ₁ , existe un único pliegue perpendicular a l ₁ que pasa por el punto p ₁ .

Esto es equivalente a encontrar una perpendicular a l ₁ que pase por p ₁ . Si encontramos algún vector v que sea perpendicular a la línea l ₁ , entonces la ecuación paramétrica del pliegue es:

${\displaystyle F(s)=p_{1}+s\cdot \mathbf {v} .}$

Axioma 5

Dados dos puntos p ₁ y p ₂ y una recta l ₁ , hay un pliegue que coloca p ₁ sobre l ₁ y pasa por p ₂ .

Este axioma es equivalente a hallar la intersección de una línea con un círculo, por lo que puede tener 0, 1 o 2 soluciones. La línea está definida por l ₁ , y el círculo tiene su centro en p ₂ , y un radio igual a la distancia de p ₂ a p ₁ . Si la línea no interseca al círculo, no hay soluciones. Si la línea es tangente al círculo, hay una solución, y si la línea interseca al círculo en dos lugares, hay dos soluciones.

Si conocemos dos puntos de la recta, ( x ₁ , y ₁ ) y ( x ₂ , y ₂ ), entonces la recta se puede expresar paramétricamente como:

${\displaystyle x=x_{1}+s(x_{2}-x_{1})}$

${\displaystyle y=y_{1}+s(y_{2}-y_{1}).}$

Sea el círculo definido por su centro en p ₂ = ( x _c , y _c ), con radio . Entonces el círculo puede expresarse como: ${\displaystyle r=\left|p_{1}-p_{2}\right|}$

${\displaystyle (x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}=r^{2}.}$

Para determinar los puntos de intersección de la línea con el círculo, sustituimos los componentes x e y de las ecuaciones de la línea en la ecuación del círculo, obteniendo:

${\displaystyle (x_{1}+s(x_{2}-x_{1})-x_{c})^{2}+(y_{1}+s(y_{2}-y_{1})-y_{c})^{2}=r^{2}.}$

O, simplificado:

${\displaystyle as^{2}+bs+c=0}$

dónde:

${\displaystyle a=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

${\displaystyle b=2(x_{2}-x_{1})(x_{1}-x_{c})+2(y_{2}-y_{1})(y_{1}-y_{c})}$

${\displaystyle c=x_{c}^{2}+y_{c}^{2}+x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-2(x_{c}x_{1}+y_{c}y_{1})-r^{2}.}$

Luego simplemente resolvemos la ecuación cuadrática:

${\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Si el discriminante b ²  − 4 ac < 0, no hay soluciones. El círculo no corta ni toca la recta. Si el discriminante es igual a 0, entonces hay una única solución, donde la recta es tangente al círculo. Y si el discriminante es mayor que 0, hay dos soluciones, que representan los dos puntos de intersección. Llamemos a las soluciones d ₁ y d ₂ , si existen. Tenemos 0, 1 o 2 segmentos de recta:

${\displaystyle m_{1}={\overline {p_{1}d_{1}}}}$

${\displaystyle m_{2}={\overline {p_{1}d_{2}}}.}$

Un pliegue F ₁ ( s ) perpendicular a m ₁ a través de su punto medio colocará a p ₁ sobre la línea en la ubicación d ₁ . De manera similar, un pliegue F ₂ ( s ) perpendicular a m ₂ a través de su punto medio colocará a p ₁ sobre la línea en la ubicación d ₂ . La aplicación del Axioma 2 logra esto fácilmente. Las ecuaciones paramétricas de los pliegues son, por lo tanto:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(s)&=p_{1}+{\frac {1}{2}}(d_{1}-p_{1})+s(d_{1}-p_{1})^{\perp }\\[8pt]F_{2}(s)&=p_{1}+{\frac {1}{2}}(d_{2}-p_{1})+s(d_{2}-p_{1})^{\perp }.\end{aligned}}}$

Axioma 6

Dados dos puntos p ₁ y p ₂ y dos rectas l ₁ y l ₂ , hay un pliegue que coloca p ₁ sobre l ₁ y p ₂ sobre l ₂ .

Este axioma es equivalente a hallar una recta tangente simultáneamente a dos parábolas, y puede considerarse equivalente a resolver una ecuación de tercer grado ya que en general hay tres soluciones. Las dos parábolas tienen focos en p ₁ y p ₂ , respectivamente, con directrices definidas por l ₁ y l ₂ , respectivamente.

Este pliegue se llama pliegue de Beloch en honor a Margharita P. Beloch , quien en 1936 demostró con él que el origami puede utilizarse para resolver ecuaciones cúbicas generales. ^[2]

Axioma 7

Dado un punto p y dos rectas l ₁ y l ₂ que no son paralelas, hay un pliegue que coloca p sobre l ₁ y es perpendicular a l ₂ .

Este axioma fue descubierto originalmente por Jacques Justin en 1989, pero fue pasado por alto y fue redescubierto por Koshiro Hatori en 2002. ^[3] Robert J. Lang ha demostrado que esta lista de axiomas completa los axiomas del origami. ^[4]

Constructibilidad

Los subconjuntos de los axiomas se pueden utilizar para construir diferentes conjuntos de números. Los tres primeros se pueden utilizar con tres puntos dados que no estén en una línea para hacer lo que Alperin llama construcciones thalianas. ^[5]

Los primeros cuatro axiomas con dos puntos dados definen un sistema más débil que las construcciones con compás y regla : toda forma que se pueda doblar con esos axiomas se puede construir con compás y regla, pero algunas cosas se pueden construir con compás y regla que no se pueden doblar con esos axiomas. ^[6] Los números que se pueden construir se llaman números de origami o pitagóricos, si la distancia entre los dos puntos dados es 1, entonces los puntos construibles son todos de la forma donde y son números pitagóricos. Los números pitagóricos están dados por el campo más pequeño que contiene los números racionales y siempre que sea un número de ese tipo. ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

Añadiendo el quinto axioma se obtienen los números euclidianos , es decir los puntos construibles mediante regla y compás .

Si se añade el axioma 6 de neusis , se pueden realizar todas las construcciones con regla y compás, y más. En particular, los polígonos regulares construibles con estos axiomas son aquellos con lados, donde es un producto de primos de Pierpont distintos . Las construcciones con regla y compás solo permiten aquellas con lados, donde es un producto de primos de Fermat distintos . (Los primos de Fermat son un subconjunto de los primos de Pierpont). ${\displaystyle 2^{a}3^{b}\rho \geq 3}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle 2^{a}\phi \geq 3}$ ${\displaystyle \phi }$

El séptimo axioma no permite la construcción de más axiomas. Los siete axiomas proporcionan todas las construcciones simples que se pueden hacer, en lugar de ser un conjunto mínimo de axiomas.

Un octavo axioma

La existencia de un octavo axioma fue afirmada por Lucero en 2017, que puede enunciarse como: hay un pliegue a lo largo de una línea dada l ₁ . ^[7] El nuevo axioma se encontró después de enumerar todas las posibles incidencias entre puntos y líneas construibles en un plano. ^[8] Aunque no crea una nueva línea, es necesario en el plegado de papel real cuando se requiere doblar una capa de papel a lo largo de una línea marcada en la capa inmediatamente inferior.

Referencias

1. Justino, Jacques (1986). "Résolution par le pliage de l'équation du troisième degré et application géométriques" (PDF) . L'Ouvert - Journal de l'APMEP d'Alsace et de l'IREM de Strasbourg (en francés). 42 : 9–19 . Consultado el 3 de marzo de 2021 .
2. Thomas C. Hull (abril de 2011). "Resolución de ecuaciones cúbicas con pliegues: el trabajo de Beloch y Lill" (PDF) . American Mathematical Monthly . 118 (4): 307–315. doi :10.4169/amer.math.monthly.118.04.307. S2CID  2540978. Archivado desde el original (PDF) el 26 de marzo de 2016 . Consultado el 25 de noviembre de 2011 .
3. Roger C. Alperin ; Robert J. Lang (2009). "Axiomas de origami de uno, dos y múltiples pliegues" (PDF) . 4OSME . AK Peters. Archivado desde el original (PDF) el 2022-02-13 . Consultado el 20 de abril de 2012 .
4. Lang, Robert J. (2010). "Origami y construcciones geométricas" (PDF) . pp. 40–45 . Consultado el 22 de septiembre de 2020 .
5. Alperin, Roger C (2000). "Una teoría matemática de construcciones y números de origami" (PDF) . New York Journal of Mathematics . 6 : 119–133.
6. D. Auckly; J. Cleveland (1995). "Origami totalmente real y plegado de papel imposible". American Mathematical Monthly . 102 (3): 215–226. arXiv : math/0407174 . doi :10.2307/2975008. JSTOR  2975008.
7. Lucero, Jorge C. (2017). "Sobre las operaciones elementales de plegado simple del origami: reflexiones y restricciones de incidencia en el plano" (PDF) . Forum Geometricorum . 17 : 207–221. arXiv : 1610.09923 . Código Bibliográfico :2016arXiv161009923L.
8. Lee, Hwa Y. (2017). Números construibles con origami (PDF) (Tesis de maestría). Universidad de Georgia. p. 64.

Enlaces externos

• Construcciones geométricas de origami de Thomas Hull
• Una teoría matemática de las construcciones de origami y los números por Roger C. Alperin