En geometría , la neusis ( νεῦσις ; del griego antiguo νεύειν (neuein) 'inclinarse hacia'; plural: νεύσεις , neuseis ) es un método de construcción geométrica que fue utilizado en la antigüedad por los matemáticos griegos .
La construcción neusis consiste en encajar un elemento de línea de longitud dada ( a ) entre dos líneas dadas ( l y m ), de tal manera que el elemento de línea, o su prolongación, pase por un punto dado P . Es decir, un extremo del elemento de línea tiene que estar sobre l , el otro extremo sobre m , mientras que el elemento de línea está "inclinado" hacia P .
El punto P se denomina polo de la neusis, la línea l se denomina directriz o línea guía y la línea m se denomina línea de captura. La longitud a se denomina diastema ( del griego διάστημα , lit. 'distancia').
Una construcción de neusis se puede realizar por medio de una regla marcada que pueda girar alrededor del punto P (esto se puede hacer colocando un alfiler en el punto P y luego presionando la regla contra el alfiler). En la figura, un extremo de la regla está marcado con un ojo amarillo con una cruz: este es el origen de la división de escala en la regla. Una segunda marca en la regla (el ojo azul) indica la distancia a desde el origen. El ojo amarillo se mueve a lo largo de la línea l , hasta que el ojo azul coincide con la línea m . La posición del elemento de línea así encontrado se muestra en la figura como una barra azul oscuro.
Sea l la línea horizontal en el diagrama adyacente. El ángulo a (a la izquierda del punto B ) es el sujeto de la trisección. Primero, se dibuja un punto A en el rayo de un ángulo, a una unidad de distancia de B . Se dibuja un círculo de radio AB . Luego, entra en juego la marca de la regla: una marca de la regla se coloca en A y la otra en B . Mientras se mantiene la regla (pero no la marca) tocando A , se desliza y gira la regla hasta que una marca esté en el círculo y la otra en la línea l . La marca en el círculo está etiquetada como C y la marca en la línea está etiquetada como D . El ángulo b = CDB es igual a un tercio del ángulo a .
Las neuseis han sido importantes porque a veces proporcionan un medio para resolver problemas geométricos que no se pueden resolver solo con compás y regla . Algunos ejemplos son la trisección de cualquier ángulo en tres partes iguales y la duplicación del cubo . [1] [2] Matemáticos como Arquímedes de Siracusa (287-212 a. C.) y Pappus de Alejandría (290-350 d. C.) utilizaron libremente las neuseis ; Sir Isaac Newton (1642-1726) siguió su línea de pensamiento y también utilizó construcciones de neusis. [3] Sin embargo, gradualmente la técnica cayó en desuso.
En 2002, A. Baragar demostró que cada punto construible con regla marcada y compás se encuentra en una torre de campos sobre , , tal que el grado de la extensión en cada paso no es mayor que 6. De todos los polígonos de potencias primas por debajo del 128-gono, esto es suficiente para mostrar que los 23- , 29-, 43-, 47-, 49-, 53-, 59-, 67-, 71-, 79-, 83-, 89-, 103-, 107-, 113-, 121- y 127-gonos regulares no se pueden construir con neusis. (Si un p -gono regular es construible, entonces es construible, y en estos casos p − 1 tiene un factor primo mayor que 5.) Los 3- , 4- , 5- , 6- , 8- , 10- , 12- , 15- , 16- , 17- , 20- , 24- , 30- , 32-, 34-, 40-, 48-, 51-, 60-, 64-, 68-, 80-, 85-, 96-, 102-, 120- y 128-gonos se pueden construir solo con una regla y un compás, y los 7- , 9- , 13- , 14- , 18- , 19-, 21-, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 91, 95, 97, 104, 105, 108, 109, 111, 112, 114, 117, 119 y 126-gonos con trisección de ángulos. Sin embargo, no se sabe en general si todos los quinticos (polinomios de quinto orden) tienen raíces neusis-construibles, lo que es relevante para los 11-gonos , 25-, 31-, 41-, 61-, 101- y 125-gonos. [4] Benjamin y Snyder demostraron en 2014 que el 11-gono regular es neusis-construible; [1] los 25-, 31-, 41-, 61-, 101- y 125-gonos siguen siendo problemas abiertos. De manera más general, la construibilidad de todas las potencias de 5 mayores que 5 mediante regla y compás marcados es un problema abierto, junto con todos los primos mayores que 11 de la forma p = 2 r 3 s 5 t + 1 donde t > 0 (todos los números primos que son mayores que 11 e iguales a uno más que un número regular que es divisible por 10). [4]
TL Heath , el historiador de las matemáticas, ha sugerido que el matemático griego Enópides ( c. 440 a. C. ) fue el primero en poner las construcciones con regla y compás por encima de la neuseis . El principio de evitar la neuseis siempre que sea posible puede haber sido difundido por Hipócrates de Quíos ( c. 430 a. C. ), que se originó en la misma isla que Enópides y que fue, hasta donde sabemos, el primero en escribir un libro de texto de geometría sistemáticamente ordenada. Cien años después de él, Euclides también evitó la neuseis en su muy influyente libro de texto, Los elementos .
El siguiente ataque a la neusis se produjo cuando, a partir del siglo IV a. C., ganó terreno el idealismo de Platón . Bajo su influencia se desarrolló una jerarquía de tres clases de construcciones geométricas. Descendiendo de lo "abstracto y noble" a lo "mecánico y terrenal", las tres clases eran:
Al final, el uso de la neusis se consideró aceptable sólo cuando las otras dos categorías de construcción, más elevadas, no ofrecían una solución. La neusis se convirtió en una especie de último recurso al que se recurría sólo cuando todos los demás métodos, más respetables, habían fallado. El uso de la neusis donde se podrían haber empleado otros métodos de construcción fue calificado por el difunto matemático griego Pappus de Alejandría ( c. 325 d. C. ) como "un error nada desdeñable".
