El hacha de guerra es una herramienta en geometría para la trisección de ángulos , el problema de dividir un ángulo en tres partes iguales. Los límites de su forma incluyen un semicírculo y dos segmentos de línea , dispuestos de manera que se asemeja a un hacha de guerra , un hacha de los nativos americanos. [1] [2] La misma herramienta también ha sido llamada cuchillo del zapatero , [3] pero ese nombre se usa más comúnmente en geometría para referirse a una forma diferente, el arbelos (un triángulo curvilíneo delimitado por tres semicírculos mutuamente tangentes). [4]
La forma básica de un hacha de guerra consiste en un semicírculo (la "hoja" del hacha de guerra), con un segmento de línea cuya longitud del radio se extiende a lo largo de la misma línea que el diámetro del semicírculo (cuya punta es la "punta" del hacha de guerra), y con otro segmento de línea de longitud arbitraria (el "mango" del hacha de guerra) perpendicular al diámetro. Para convertirlo en una herramienta física, su mango y púa pueden engrosarse, siempre y cuando el segmento de línea a lo largo del mango continúe siendo parte del límite de la forma. A diferencia de una trisección relacionada con una escuadra de carpintero , no es necesario hacer que el otro lado del mango engrosado sea paralelo a este segmento de línea. [1]
En algunas fuentes se utiliza un círculo completo en lugar de un semicírculo, [5] o el hacha de guerra también está engrosado a lo largo del diámetro de su semicírculo, [6] pero estas modificaciones no afectan la acción del hacha de guerra como trisector.
Para usar el hacha de guerra para trisecar un ángulo , se coloca con la línea del mango tocando el vértice del ángulo, con la hoja dentro del ángulo, tangente a uno de los dos rayos que forman el ángulo, y con la punta tocando el otro rayo de el ángulo. Una de las dos líneas de trisección se encuentra entonces en el segmento del mango y la otra pasa por el punto central del semicírculo. [1] [6] Si el ángulo que se va a trisecar es demasiado agudo en relación con la longitud del mango del hacha de guerra, es posible que no sea posible colocar el hacha de guerra en el ángulo de esta manera, pero esta dificultad se puede solucionar duplicando repetidamente el ángulo hasta que sea lo suficientemente grande como para que el hacha de guerra lo triseque, y luego biseque repetidamente el ángulo trisecado la misma cantidad de veces que se duplicó el ángulo original. [2]
Si el vértice del ángulo está etiquetado como A , el punto de tangencia de la hoja es B , el centro del semicírculo es C , la parte superior del mango es D y la punta es E , entonces los triángulos △ ACD y △ ADE son ambos triángulos rectángulos con base compartida e igual altura, por lo que son triángulos congruentes . Debido a que los lados AB y BC del triángulo △ ABC son respectivamente una tangente y un radio del semicírculo, forman ángulos rectos entre sí y △ ABC también es un triángulo rectángulo; tiene la misma hipotenusa que △ ACD y las mismas longitudes de lados BC = CD , por lo que nuevamente es congruente con los otros dos triángulos, lo que demuestra que los tres ángulos formados en el vértice son iguales. [5] [6]
Aunque el hacha de guerra puede construirse usando un compás y una regla , [7] y puede usarse para trisecar un ángulo, no contradice el teorema de Pierre Wantzel de 1837 de que ángulos arbitrarios no pueden ser trisecados solo con un compás y una regla sin marcar. [8] La razón de esto es que colocar el hacha de guerra construida en la posición requerida es una forma de neusis que no está permitida en construcciones con compás y regla. [9]
Se desconoce el inventor del tomahawk, [1] [10] pero las primeras referencias al mismo provienen de la Francia del siglo XIX. Se remonta al menos a 1835, cuando apareció en un libro de Claude Lucien Bergery , Géométrie appliquée à l'industrie, à l'usage des Artistes et des ouvriers (3.ª edición). [1] Henri Brocard realizó otra publicación temprana de la misma trisección en 1877; [11] Brocard, a su vez, atribuye su invención a una memoria de 1863 del oficial naval francés Pierre-Joseph Glotin . [12] [13] [14]