Número construible

Número construible mediante compás y regla

La raíz cuadrada de 2 es igual a la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 y, por lo tanto, es un número construible.

En geometría y álgebra , un número real es construible si y solo si, dado un segmento de línea de longitud unitaria, se puede construir un segmento de línea de longitud con compás y regla en un número finito de pasos. De manera equivalente, es construible si y solo si existe una expresión en forma cerrada para usar solo números enteros y las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y raíces cuadradas. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle |r|}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$

La definición geométrica de números construibles motiva una definición correspondiente de puntos construibles , que a su vez pueden describirse geométrica o algebraicamente. Un punto es construible si puede producirse como uno de los puntos de una construcción con regla y compás (un punto final de un segmento de línea o punto de cruce de dos líneas o círculos), comenzando desde un segmento de longitud unitaria dado. De manera alternativa y equivalente, tomando los dos puntos finales del segmento dado como los puntos (0, 0) y (1, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas , un punto es construible si y solo si sus coordenadas cartesianas son ambos números construibles. ^[1] Los números y puntos construibles también se han llamado números de regla y compás y puntos de regla y compás , para distinguirlos de los números y puntos que pueden construirse utilizando otros procesos. ^[2]

El conjunto de números construibles forma un cuerpo : al aplicar cualquiera de las cuatro operaciones aritméticas básicas a los miembros de este conjunto se produce otro número construible. Este cuerpo es una extensión de cuerpo de los números racionales y a su vez está contenido en el cuerpo de los números algebraicos . ^[3] Es la clausura euclidiana de los números racionales , la extensión de cuerpo más pequeña de los racionales que incluye las raíces cuadradas de todos sus números positivos. ^[4]

La prueba de la equivalencia entre las definiciones algebraicas y geométricas de los números construibles tiene el efecto de transformar las cuestiones geométricas sobre construcciones con regla y compás en álgebra , incluidos varios problemas famosos de las matemáticas de la antigua Grecia. La formulación algebraica de estas cuestiones condujo a pruebas de que sus soluciones no son construibles, después de que la formulación geométrica de los mismos problemas desafiara siglos de ataques.

Definiciones geométricas

Puntos construibles geométricamente

Sean y dos puntos distintos dados en el plano euclidiano , y definamos como el conjunto de puntos que se pueden construir con compás y regla a partir de y . Entonces los puntos de se denominan puntos construibles . y son, por definición, elementos de . Para describir con mayor precisión los elementos restantes de , hagamos las dos definiciones siguientes: ^[5] ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

• un segmento de línea cuyos puntos finales están en se llama segmento construido , y ${\displaystyle S}$
• un círculo cuyo centro está en y que pasa por un punto de (alternativamente, cuyo radio es la distancia entre un par de puntos distintos de ) se llama círculo construido . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Entonces, los puntos de , además de y son: ^[6] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle A}$

• la intersección de dos segmentos construidos no paralelos, o líneas a través de segmentos construidos,
• los puntos de intersección de un círculo construido y un segmento construido, o una línea que pasa por un segmento construido, o
• los puntos de intersección de dos círculos construidos distintos.

Por ejemplo, el punto medio de un segmento construido es un punto construible. Una construcción para ello es construir dos círculos con un radio igual a 1 y la línea que pasa por los dos puntos de intersección de estos dos círculos. Entonces, el punto medio del segmento es el punto donde este segmento es cruzado por la línea construida. ^[7] ${\displaystyle OA}$ ${\displaystyle OA}$ ${\displaystyle OA}$

Números construibles geométricamente

La información de partida para la formulación geométrica se puede utilizar para definir un sistema de coordenadas cartesianas en el que el punto está asociado al origen que tiene coordenadas y en el que el punto está asociado con las coordenadas . Los puntos de ahora se pueden utilizar para vincular la geometría y el álgebra definiendo un número construible como una coordenada de un punto construible. ^[8] ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle S}$

Las definiciones equivalentes son que un número construible es la coordenada de un punto construible ^[9] o la longitud de un segmento de línea construible. ^[10] En una dirección de esta equivalencia, si un punto construible tiene coordenadas , entonces el punto puede construirse como su proyección perpendicular sobre el eje , y el segmento desde el origen hasta este punto tiene longitud . En la dirección inversa, si es la longitud de un segmento de línea construible, entonces la intersección del eje con un círculo centrado en con radio da el punto . De esta equivalencia se deduce que todo punto cuyas coordenadas cartesianas son números geométricamente construibles es en sí mismo un punto geométricamente construible. Porque, cuando y son números geométricamente construibles, el punto puede construirse como la intersección de líneas a través de y , perpendiculares a los ejes de coordenadas. ^[11] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x,0)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,0)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x,0)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,0)}$ ${\displaystyle (0,y)}$

Definiciones algebraicas

Números construibles algebraicamente

Los números reales construibles algebraicamente son el subconjunto de los números reales que se pueden describir mediante fórmulas que combinan números enteros utilizando las operaciones de suma, resta, multiplicación, inverso multiplicativo y raíces cuadradas de números positivos. De manera aún más sencilla, a costa de hacer que estas fórmulas sean más largas, los números enteros en estas fórmulas se pueden restringir a solo 0 y 1. ^[12] Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es construible, porque se puede describir mediante las fórmulas o . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {1+1}}}$

De manera análoga, los números complejos construibles algebraicamente son el subconjunto de números complejos que tienen fórmulas del mismo tipo, utilizando una versión más general de la raíz cuadrada que no está restringida a números positivos sino que puede tomar números complejos arbitrarios como argumento y produce la raíz cuadrada principal de su argumento. Alternativamente, el mismo sistema de números complejos puede definirse como los números complejos cuyas partes reales e imaginarias son ambas números reales construibles. ^[13] Por ejemplo, el número complejo tiene las fórmulas o , y sus partes reales e imaginarias son los números construibles 0 y 1 respectivamente. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {0-1}}}$

Estas dos definiciones de los números complejos construibles son equivalentes. ^[14] En una dirección, si es un número complejo cuya parte real y parte imaginaria son ambas números reales construibles, entonces reemplazar y por sus fórmulas dentro de la fórmula más grande produce una fórmula para como un número complejo. En la otra dirección, cualquier fórmula para un número complejo construible algebraicamente puede transformarse en fórmulas para sus partes real e imaginaria, expandiendo recursivamente cada operación en la fórmula en operaciones sobre las partes real e imaginaria de sus argumentos, usando las expansiones ^[15] ${\displaystyle q=x+iy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x+y{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle q}$

• ${\displaystyle (a+ib)\pm (c+id)=(a\pm c)+i(b\pm d)}$
• ${\displaystyle (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{a+ib}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+i{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt {a+ib}}={\frac {(a+r){\sqrt {r}}}{s}}+i{\frac {b{\sqrt {r}}}{s}}}$, donde y . ${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}{}_{\!}}}}$ ${\displaystyle s={\sqrt {(a+r)^{2}+b^{2}}}}$

Puntos algebraicamente construibles

Los puntos construibles algebraicamente pueden definirse como los puntos cuyas dos coordenadas cartesianas reales son números reales construibles algebraicamente. Alternativamente, pueden definirse como los puntos en el plano complejo dado por números complejos construibles algebraicamente. Por la equivalencia entre las dos definiciones de números complejos construibles algebraicamente, estas dos definiciones de puntos construibles algebraicamente también son equivalentes. ^[14]

Equivalencia de definiciones algebraicas y geométricas

Si y son longitudes distintas de cero de segmentos construidos geométricamente, entonces se pueden utilizar construcciones elementales con compás y regla para obtener segmentos construidos de longitudes , , y . Las dos últimas se pueden realizar con una construcción basada en el teorema de la intersección . Una construcción ligeramente menos elemental que utiliza estas herramientas se basa en el teorema de la media geométrica y construirá un segmento de longitud a partir de un segmento construido de longitud . De ello se deduce que todo número construible algebraicamente es construible geométricamente, utilizando estas técnicas para traducir una fórmula para el número en una construcción para el número. ^[16] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle |a-b|}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle a}$

Construcciones con compás y regla para números construibles

En la otra dirección, un conjunto de objetos geométricos puede especificarse mediante números reales construibles algebraicamente: coordenadas para puntos, pendiente e intersección para líneas, y centro y radio para círculos. Es posible (pero tedioso) desarrollar fórmulas en términos de estos valores, utilizando sólo aritmética y raíces cuadradas, para cada objeto adicional que pueda añadirse en un solo paso de una construcción con compás y regla. De estas fórmulas se deduce que todo número construible geométricamente es construible algebraicamente. ^[17] ${\displaystyle y}$

Propiedades algebraicas

La definición de números construibles algebraicamente incluye la suma, diferencia, producto e inverso multiplicativo de cualquiera de estos números, las mismas operaciones que definen un cuerpo en álgebra abstracta . Por lo tanto, los números construibles (definidos de cualquiera de las formas anteriores) forman un cuerpo. Más específicamente, los números reales construibles forman un cuerpo euclidiano , un cuerpo ordenado que contiene una raíz cuadrada de cada uno de sus elementos positivos. ^[18] Examinar las propiedades de este cuerpo y sus subcuerpos conduce a condiciones necesarias para que un número sea construible, que pueden usarse para mostrar que números específicos que surgen en problemas de construcción geométrica clásica no son construibles.

Es conveniente considerar, en lugar de todo el campo de números construibles, el subcampo generado por cualquier número construible dado , y usar la construcción algebraica de para descomponer este campo. Si es un número real construible, entonces los valores que aparecen dentro de una fórmula que lo construye pueden usarse para producir una secuencia finita de números reales tales que, para cada , es una extensión de de grado 2. ^[19] Usando una terminología ligeramente diferente, un número real es construible si y solo si se encuentra en un campo en la parte superior de una torre finita de extensiones cuadráticas reales , comenzando con el campo racional donde está en y para todo , . ^[20] De esta descomposición se deduce que el grado de la extensión del campo es , donde cuenta el número de pasos de extensión cuadrática. ^[21] ${\displaystyle \mathbb {Q} (\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}=\gamma }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{i})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{i-1})}$ $${\displaystyle \mathbb {Q} =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \dots \subseteq K_{n},}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle 0<j\leq n}$ ${\displaystyle [K_{j}:K_{j-1}]=2}$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle 2^{r}}$ ${\displaystyle r}$

Análogamente al caso real, un número complejo es construible si y sólo si se encuentra en un cuerpo en la parte superior de una torre finita de extensiones cuadráticas complejas. ^[22] Más precisamente, es construible si y sólo si existe una torre de cuerpos donde está en , y para todo , . La diferencia entre esta caracterización y la de los números construibles reales es sólo que los cuerpos en esta torre no están restringidos a ser reales. En consecuencia, si un número complejo es construible, entonces la caracterización anterior implica que es una potencia de dos. Sin embargo, esta condición no es suficiente - existen extensiones de cuerpo cuyo grado es una potencia de dos, pero que no pueden factorizarse en una secuencia de extensiones cuadráticas. ^[23] ${\displaystyle \gamma }$ $${\displaystyle \mathbb {Q} =F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \dots \subseteq F_{n},}$$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle 0<j\leq n}$ ${\displaystyle [F_{j}:F_{j-1}]=2}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]}$

Para obtener una condición suficiente para la constructibilidad, se debe considerar en cambio el cuerpo de división obtenido al unir todas las raíces del polinomio mínimo de . Si el grado de esta extensión es una potencia de dos, entonces su grupo de Galois es un 2-grupo , y por lo tanto admite una secuencia descendente de subgrupos con para Por el teorema fundamental de la teoría de Galois , existe una torre correspondiente de extensiones cuadráticas cuyo cuerpo superior contiene y de esto se sigue que es construible. ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\gamma ,\gamma ',\gamma '',\dots )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle G=\mathrm {Gal} (K/\mathbb {Q} )}$ $${\displaystyle G=G_{n}\supseteq G_{n-1}\supseteq \cdots \supseteq G_{0}=1,}$$ ${\displaystyle |G_{k}|=2^{k}}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n.}$ $${\displaystyle \mathbb {Q} =F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \dots \subseteq F_{n}=K,}$$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle \gamma }$

Los campos que se pueden generar a partir de torres de extensiones cuadráticas de se denominan extensiones cuadráticas iteradas de . Los campos de números reales y complejos construibles son las uniones de todas las extensiones cuadráticas iteradas reales o complejas de . ^[24] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Números trigonométricos

Los números trigonométricos son los cosenos o senos de los ángulos que son múltiplos racionales de . Estos números son siempre algebraicos, pero pueden no ser construibles. El coseno o seno del ángulo es construible solo para ciertos números especiales : ^[25] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2\pi /n}$ ${\displaystyle n}$

• Los poderes de dos
• Los primos de Fermat , números primos que son uno más una potencia de dos
• Los productos de potencias de dos y cualquier número de primos de Fermat distintos.

Así, por ejemplo, es construible porque 15 es el producto de los primos de Fermat 3 y 5; pero no es construible (al no ser el producto de primos de Fermat distintos ) y tampoco lo es (al ser un primo no-Fermat). ${\displaystyle \cos(\pi /15)}$ ${\displaystyle \cos(\pi /9)}$ ${\displaystyle \cos(\pi /7)}$

Construcciones imposibles

Los antiguos griegos pensaban que ciertos problemas de construcción con regla y compás que no podían resolver eran simplemente obstinados, no irresolubles. ^[26] Sin embargo, la no constructibilidad de ciertos números prueba que estas construcciones son lógicamente imposibles de realizar. ^[27] (Los problemas en sí mismos, sin embargo, se pueden resolver utilizando métodos que van más allá de la restricción de trabajar solo con regla y compás, y los griegos sabían cómo resolverlos de esta manera. Un ejemplo de ello es la solución de construcción de Neusis de Arquímedes del problema de la trisección del ángulo ). ^[28]

En particular, la formulación algebraica de números construibles conduce a una prueba de la imposibilidad de los siguientes problemas de construcción:

Duplicando el cubo

El problema de duplicar el cuadrado unitario se resuelve mediante la construcción de otro cuadrado en la diagonal del primero, con longitud de lado y área . Análogamente, el problema de duplicar el cubo pide la construcción de la longitud del lado de un cubo con volumen . No es construible, porque el polinomio minimal de esta longitud, , tiene grado 3 sobre . ^[29] Como polinomio cúbico cuya única raíz real es irracional, este polinomio debe ser irreducible, porque si tuviera una raíz real cuadrática entonces el conjugado cuadrático proporcionaría una segunda raíz real. ^[30] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x^{3}-2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Trisección de ángulos

En este problema, a partir de un ángulo dado , se debe construir un ángulo . Algebraicamente, los ángulos se pueden representar por sus funciones trigonométricas , como sus senos o cosenos , que dan las coordenadas cartesianas del punto final de un segmento de línea que forma el ángulo dado con el segmento inicial. Por lo tanto, un ángulo es construible cuando es un número construible, y el problema de trisecar el ángulo se puede formular como uno de construcción de . Por ejemplo, el ángulo de un triángulo equilátero se puede construir con compás y regla, con . Sin embargo, su trisección no se puede construir, porque tiene un polinomio mínimo de grado 3 sobre . Debido a que esta instancia específica del problema de la trisección no se puede resolver con compás y regla, el problema general tampoco se puede resolver. ^[31] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta /3}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x=\cos \theta }$ ${\displaystyle \cos({\tfrac {1}{3}}\arccos x)}$ ${\displaystyle \theta =\pi /3=60^{\circ }}$ ${\displaystyle x=\cos \theta ={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \theta /3=\pi /9=20^{\circ }}$ ${\displaystyle \cos \pi /9}$ ${\displaystyle 8x^{3}-6x-1}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Cuadrando el círculo

Un cuadrado con área , la misma área que un círculo unitario , tendría una longitud de lado , un número trascendental . Por lo tanto, este cuadrado y su longitud de lado no son construibles, porque no es algebraico sobre . ^[32] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Polígonos regulares

Si se construye un polígono regular con su centro en el origen, los ángulos entre los segmentos desde el centro hasta los vértices consecutivos son . El polígono se puede construir solo cuando el coseno de este ángulo es un número trigonométrico. Así, por ejemplo, un 15-gono es construible, pero el heptágono regular no es construible, porque 7 es primo pero no primo de Fermat. ^[33] Para una prueba más directa de su no construibilidad, represente los vértices de un heptágono regular como las raíces complejas del polinomio . Quitando el factor , dividiendo por y sustituyendo se obtiene el polinomio más simple , un cúbico irreducible con tres raíces reales, cada una dos veces la parte real de un vértice de número complejo. Sus raíces no son construibles, por lo que el heptágono tampoco es construible. ^[34] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2\pi /n}$ ${\displaystyle x^{7}-1}$ ${\displaystyle x-1}$ ${\displaystyle x^{3}}$ ${\displaystyle y=x+1/x}$ ${\displaystyle y^{3}+y^{2}-2y-1}$

El problema de Alhazen

Si se dan dos puntos y un espejo circular, ¿en qué parte del círculo uno de los puntos dados ve la imagen reflejada del otro? Geométricamente, las líneas desde cada punto dado hasta el punto de reflexión se encuentran con el círculo en ángulos iguales y en cuerdas de igual longitud. Sin embargo, es imposible construir un punto de reflexión utilizando un compás y una regla. En particular, para un círculo unitario con los dos puntos y dentro de él, la solución tiene coordenadas que forman raíces de un polinomio irreducible de grado cuatro . Aunque su grado es una potencia de dos, el campo de división de este polinomio tiene grado divisible por tres, por lo que no proviene de una extensión cuadrática iterada y el problema de Alhazen no tiene solución de compás y regla. ^[35] ${\displaystyle ({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}})}$ ${\displaystyle (-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$ ${\displaystyle x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+2x-1}$

Historia

El nacimiento del concepto de números construibles está inextricablemente ligado a la historia de las tres construcciones imposibles con compás y regla: duplicar el cubo, trisecar un ángulo y cuadrar el círculo. La restricción de usar solo compás y regla en construcciones geométricas a menudo se atribuye a Platón debido a un pasaje de Plutarco . Según Plutarco, Platón le dio el problema de la duplicación del cubo (deliano) a Eudoxo , Arquitas y Menecmo , quienes resolvieron el problema utilizando medios mecánicos, ganándose una reprimenda de Platón por no resolver el problema utilizando geometría pura . ^[36] Sin embargo, esta atribución es cuestionada, ^[37] debido, en parte, a la existencia de otra versión de la historia (atribuida a Eratóstenes por Eutocio de Ascalón ) que dice que los tres encontraron soluciones pero eran demasiado abstractas para tener valor práctico. ^[38] Proclo , citando a Eudemo de Rodas , atribuyó a Enópides ( c. 450 a. C.) dos construcciones con regla y compás, lo que llevó a algunos autores a plantear la hipótesis de que Enópides originó la restricción. ^[39] La restricción al compás y la regla es esencial para la imposibilidad de los problemas de construcción clásicos. La trisección de ángulos, por ejemplo, se puede hacer de muchas maneras, varias de las cuales eran conocidas por los antiguos griegos. Se han utilizado la Cuadratriz de Hipias de Elis , las cónicas de Menecmo o la construcción con regla marcada ( neusis ) de Arquímedes , al igual que un enfoque más moderno a través del plegado de papel . ^[40]

Aunque no es uno de los tres problemas clásicos de construcción, el problema de construir polígonos regulares con regla y compás a menudo se trata junto con ellos. Los griegos sabían cómo construir -gonos regulares con (para cualquier entero ), 3, 5 o el producto de dos o tres de estos números, pero otros -gonos regulares se les escapaban. En 1796 Carl Friedrich Gauss , entonces estudiante de dieciocho años, anunció en un periódico que había construido un 17-gono regular con regla y compás. ^[41] El tratamiento de Gauss fue algebraico en lugar de geométrico; de hecho, en realidad no construyó el polígono, sino que demostró que el coseno de un ángulo central era un número construible. El argumento se generalizó en su libro de 1801 Disquisitiones Arithmeticae dando la condición suficiente para la construcción de un -gono regular. Gauss afirmó, pero no demostró, que la condición también era necesaria y varios autores, en particular Felix Klein , ^[42] le atribuyeron también esta parte de la prueba. ^[43] El problema de Alhazen tampoco es uno de los tres problemas clásicos, pero a pesar de llevar el nombre de Ibn al-Haytham (Alhazen), un matemático islámico medieval , ya aparece en el trabajo de Ptolomeo sobre óptica del siglo II. ^[21] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2^{h}}$ ${\displaystyle h\geq 2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Pierre Wantzel demostró algebraicamente que los problemas de duplicar el cubo y trisecar el ángulo son imposibles de resolver utilizando solo compás y regla. En el mismo artículo, también resolvió el problema de determinar qué polígonos regulares son construibles: un polígono regular es construible si y solo si el número de sus lados es el producto de una potencia de dos y cualquier número de primos de Fermat distintos (es decir, las condiciones suficientes dadas por Gauss también son necesarias). ^[44] Un intento de prueba de la imposibilidad de cuadrar el círculo fue dado por James Gregory en Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (La verdadera cuadratura del círculo y de la hipérbola) en 1667. Aunque su prueba era defectuosa, fue el primer artículo en intentar resolver el problema utilizando propiedades algebraicas de π . No fue hasta 1882 que Ferdinand von Lindemann demostró rigurosamente su imposibilidad, extendiendo el trabajo de Charles Hermite y demostrando que π es un número trascendental . ^{[45] [46]} El problema de Alhazen no resultó imposible de resolver con compás y regla hasta el trabajo de Jack Elkin. ^[47]

El estudio de los números construibles, per se, fue iniciado por René Descartes en La Géométrie , un apéndice a su libro Discurso del método publicado en 1637. Descartes asoció números a segmentos de líneas geométricas para mostrar el poder de su método filosófico al resolver un antiguo problema de construcción con regla y compás propuesto por Pappus . ^[48]

Véase también

• Número computable
• Número real definible

Notas

1. Kazarinoff (2003), págs.10, 15; Martín (1998), pág. 41, Corolario 2.16.
2. Martin (1998), págs. 31-32.
3. Courant y Robbins (1996), págs. 133-134, Sección III.2.2: Todos los números construibles son algebraicos
4. Kazarinoff (2003), pág. 46.
5. Kazarinoff (2003), pág. 10.
6. Kazarinoff (2003), pág. 10; Martin (1998), págs. 30-31, Definición 2.1.
7. Esta construcción para el punto medio se da en el Libro I, Proposición 10 de los Elementos de Euclides .
8. Kazarinoff (2003), pág. 18.
9. Martin (1998), págs. 30-31, Definición 2.1.
10. Herstein (1986), pág. 237. Para utilizar la definición basada en la longitud, es necesario incluir el número cero como un número construible, como un caso especial.
11. Moise (1974), pág. 227; Martin (1998), pág. 33, Teorema 2.4.
12. Martin (1998), págs. 36-37.
13. Roman (1995), pág. 207.
14. Lawrence y Zorzitto (2021), pág. 440.
15. Para la fórmula de suma y multiplicación, véase Kay (2021), pág. 187, Teorema 8.1.10. Para la fórmula de división, véase Kay (2021), págs. 188, 224, Ecuaciones 8.8 y 9.2. La expansión de la raíz cuadrada se puede derivar de la fórmula del medio ángulo de la trigonometría; véase una fórmula equivalente en Lawrence & Zorzitto (2021), pág. 440.
16. Herstein (1986), págs. 236-237; Moise (1974), pág. 224; Fraleigh (1994), págs. 426–427; Courant & Robbins (1996), págs. 120-122, Sección III.1.1: Construcción de campos y extracción de raíces cuadradas.
17. Martin (1998), págs. 38-39; Courant y Robbins (1996), págs. 131-132.
18. Martin (1998), pág. 35, Teorema 2.7.
19. Fraleigh (1994), pág. 429.
20. Roman (1995), pág. 59.
21. Neumann (1998).
22. Rotman (2006), pág. 361.
23. Rotman (2006), pág. 362.
24. Martin (1998), pág. 37, Teorema 2.10.
25. Martín (1998), pág. 46.
26. Stewart (1989), pág. 51.
27. Klein (1897), pág. 3.
28. La descripción de estas soluciones alternativas constituye gran parte del contenido de Knorr (1986).
29. Klein (1897), pág. 13; Fraleigh (1994), págs. 429–430.
30. Courant y Robbins (1996), págs. 134-135, Sección III.3.1: Duplicación del cubo
31. Fraleigh (1994), págs. 429–430; Courant & Robbins (1996), págs. 137-138, Sección III.3.3: Trisección del ángulo.
32. Fraleigh (1994), págs. 429–430.
33. Fraleigh (1994), pág. 504.
34. Courant y Robbins (1996), págs. 138-139, Sección III.3.4: El heptágono regular.
35. Neumann (1998). Elkin (1965) llega a la misma conclusión utilizando diferentes puntos y un polinomio diferente.
36. Plutarco, Quaestiones convivales VIII.ii, 718ef.
37. Kazarinoff (2003), pág. 28.
38. Knorr (1986), pág. 4.
39. Knorr (1986), págs. 15-17.
40. Friedman (2018), págs. 1–3.
41. Kazarinoff (2003), pág. 29.
42. Klein (1897), pág. 16.
43. Kazarinoff (2003), pág. 30.
44. Wantzel (1837); Martín (1998), pág. 46.
45. Martín (1998), pág. 44.
46. Klein (1897), pp. 68–77, Capítulo IV: La trascendencia del número π .
47. Elkin (1965); véase también Neumann (1998) para una solución independiente con más información sobre la historia del problema.
48. Boyer (2004), págs. 83–88.

Referencias

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Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Número construible", MathWorld
• Números construibles en Cut-the-knot