Raíz de la unidad

Número que tiene potencia entera igual a 1

La quinta raíz de la unidad (puntos azules) en el plano complejo.

En matemáticas , una raíz de la unidad , ocasionalmente llamada número de Moivre , es cualquier número complejo que produce 1 cuando se eleva a alguna potencia entera positiva n . Las raíces de la unidad se utilizan en muchas ramas de las matemáticas y son especialmente importantes en la teoría de números , la teoría de caracteres de grupo y la transformada discreta de Fourier .

Las raíces de la unidad se pueden definir en cualquier campo . Si la característica del cuerpo es cero, las raíces son números complejos que también son enteros algebraicos . Para campos con una característica positiva, las raíces pertenecen a un campo finito y, a la inversa , cada elemento distinto de cero de un campo finito es una raíz de la unidad. Cualquier campo algebraicamente cerrado contiene exactamente n n ésimas raíces de la unidad, excepto cuando n es un múltiplo de la característica (positiva) del campo.

Definición general

Representación geométrica de la raíz 2 a 6 de un número complejo general en forma polar. Para la n- ésima raíz de la unidad, establezca r  = 1 y φ  = 0. La raíz principal está en negro.

Una n- ésima raíz de la unidad , donde n es un entero positivo, es un número z que satisface la ecuación ^{[1] [2]}

$${\displaystyle z^{n}=1.}$$

números complejosnparparte imaginarian^[3]

$${\displaystyle \exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.}$$

Sin embargo, la ecuación definitoria de raíces de unidad es significativa sobre cualquier campo ( e incluso sobre cualquier anillo ) F , y esto permite considerar raíces de unidad en F. Cualquiera que sea el cuerpo F , las raíces de la unidad en F son números complejos, si la característica de F es 0, o, en caso contrario, pertenecen a un cuerpo finito . Por el contrario, todo elemento distinto de cero en un campo finito es una raíz de unidad en ese campo. Consulte Raíz de la unidad módulo n y campo finito para obtener más detalles.

Se dice que una enésima raíz de la unidad esprimitivo si no es unam-ésima de la unidad para algúnm, es decir, si^[4][5]

${\displaystyle z^{n}=1\quad {\text{and}}\quad z^{m}\neq 1{\text{ for }}m=1,2,3,\ldots ,n-1.}$

Si n es un número primo , entonces todas las n- ésimas raíces de la unidad, excepto 1, son primitivas. ^[6]

En la fórmula anterior en términos de funciones exponenciales y trigonométricas, las raíces primitivas n -ésimas de la unidad son aquellas para las cuales k y n son números enteros coprimos .

Las secciones siguientes de este artículo abordarán las complejas raíces de la unidad. Para el caso de raíces de unidad en campos de característica distinta de cero, consulte Campo finito § Raíces de unidad . Para el caso de raíces de unidad en anillos de enteros modulares , véase Raíz de unidad módulo n .

Propiedades elementales

Cada n -ésima raíz de la unidad z es una primitiva a -ésima raíz de la unidad para algunos a ≤ n , que es el entero positivo más pequeño tal que z ^a = 1 .

Cualquier potencia entera de una raíz enésima de la unidad es también una raíz enésima de la unidad, ^[7] como

${\displaystyle (z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.}$

Esto también es válido para los exponentes negativos. En particular, el recíproco de una n- ésima raíz de la unidad es su conjugado complejo , y también es una n- ésima raíz de la unidad: ^[8]

${\displaystyle {\frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.}$

Si z es una n- ésima raíz de la unidad y a ≡ b (mod n ), entonces z ^a = z ^b . De hecho, según la definición de congruencia módulo n , a = b + kn para algún entero k , y por tanto

${\displaystyle z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}(z^{n})^{k}=z^{b}1^{k}=z^{b}.}$

Por lo tanto, dada una potencia z ^a de z , se tiene z ^a = z ^r , donde 0 ≤ r < n es el resto de la división euclidiana de a por n .

Sea z una raíz nésima primitiva de la unidad. Entonces las potencias z , z ² , ...,  z ^{n −1} , z ⁿ = z ⁰ = 1 son raíces n- ésimas de la unidad y todas son distintas. (Si z ^a = z ^b donde 1 ≤ a < b ≤ n , entonces z ^{b − a} = 1 , lo que implicaría que z no sería primitivo.) Esto implica que z , z ² , ...,  z ^{n − 1} , z ⁿ = z ⁰ = 1 son todas las n- ésimas raíces de la unidad, ya que una ecuación polinómica de n -ésimo grado sobre un campo (en este caso el campo de números complejos) tiene como máximo n soluciones.

De lo anterior se deduce que, si z es una primitiva n- ésima raíz de la unidad, entonces si y solo si Si z no es primitiva entonces implica , pero lo contrario puede ser falso, como se muestra en el siguiente ejemplo. Si n = 4 , una n- ésima raíz de la unidad no primitiva es z = –1 , y se tiene , aunque ${\displaystyle z^{a}=z^{b}}$ ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}.}$ ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$ ${\displaystyle z^{a}=z^{b},}$ ${\displaystyle z^{2}=z^{4}=1}$ ${\displaystyle 2\not \equiv 4{\pmod {4}}.}$

Sea z una raíz nésima primitiva de la unidad. Una potencia w = z ^k de z es una raíz aésima primitiva de la unidad para

${\displaystyle a={\frac {n}{\gcd(k,n)}},}$

donde es el máximo común divisor de n y k . Esto resulta del hecho de que ka es el múltiplo más pequeño de k que también es múltiplo de n . En otras palabras, ka es el mínimo común múltiplo de k y n . De este modo ${\displaystyle \gcd(k,n)}$

${\displaystyle a={\frac {\operatorname {lcm} (k,n)}{k}}={\frac {kn}{k\gcd(k,n)}}={\frac {n}{\gcd(k,n)}}.}$

Por lo tanto, si k y n son coprimos , z ^k también es una raíz n -ésima de la unidad primitiva y, por lo tanto, hay φ ( n ) raíces n- ésimas primitivas distintas de la unidad (donde φ es la función totiente de Euler ). Esto implica que si n es un número primo, todas las raíces excepto +1 son primitivas.

En otras palabras, si R( n ) es el conjunto de todas las n- ésimas raíces de la unidad y P( n ) es el conjunto de las primitivas, R( n ) es una unión disjunta de P( n ) :

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),}$

donde la notación significa que d pasa por todos los divisores positivos de n , incluidos 1 y n .

Dado que la cardinalidad de R( n ) es n , y la de P( n ) es φ ( n ) , esto demuestra la fórmula clásica

${\displaystyle \sum _{d\,|\,n}\varphi (d)=n.}$

Propiedades del grupo

Grupo de todas las raíces de la unidad.

El producto y el inverso multiplicativo de dos raíces de la unidad también son raíces de la unidad. De hecho, si x ^m = 1 y y ⁿ = 1 , entonces ( x ⁻¹ ) ^m = 1 y ( xy ) k ⁼ 1 , donde k es el mínimo común múltiplo de my n .

Por tanto, las raíces de la unidad forman un grupo abeliano bajo multiplicación. Este grupo es el subgrupo de torsión del grupo circular .

Grupo de n- ésimas raíces de la unidad

Para un número entero n , el producto y el inverso multiplicativo de dos n- ésimas raíces de la unidad también son n- ésimas raíces de la unidad. Por lo tanto, las n- ésimas raíces de la unidad forman un grupo abeliano bajo multiplicación.

Dada una raíz n -ésima primitiva de la unidad ω , las otras raíces n- ésimas son potencias de ω . Esto significa que el grupo de las n- ésimas raíces de la unidad es un grupo cíclico . Vale la pena señalar que el término de grupo cíclico se originó por el hecho de que este grupo es un subgrupo del grupo circular .

Grupo Galois de las raíces primitivas n- ésimas de la unidad.

Sea la extensión de campo de los números racionales generados por una primitiva n- ésima raíz de la unidad ω . Como cada n- ésima raíz de la unidad es una potencia de ω , el campo contiene todas las n- ésimas raíces de la unidad y es una extensión de Galois de ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Si k es un número entero, ω ^k es una raíz nésima primitiva de la unidad si y solo si k y n son coprimos . En este caso, el mapa

${\displaystyle \omega \mapsto \omega ^{k}}$

induce un automorfismo de , que asigna cada n- ésima raíz de la unidad a su k- ésima potencia. Todo automorfismo de se obtiene de esta manera, y estos automorfismos forman el grupo de Galois de sobre el campo de los racionales. ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$

Las reglas de exponenciación implican que la composición de dos de estos automorfismos se obtiene multiplicando los exponentes. De ello se deduce que el mapa

${\displaystyle k\mapsto \left(\omega \mapsto \omega ^{k}\right)}$

define un isomorfismo de grupo entre las unidades del anillo de números enteros módulo n y el grupo de Galois de ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega ).}$

Esto muestra que este grupo de Galois es abeliano e implica, por tanto, que las raíces primitivas de la unidad pueden expresarse en términos de radicales .

Grupo Galois de la parte real de las raíces primitivas de la unidad.

La parte real de las raíces primitivas de la unidad están relacionadas entre sí como raíces del polinomio mínimo de Las raíces del polinomio mínimo son solo el doble de la parte real; estas raíces forman un grupo de Galois cíclico. ${\displaystyle 2\cos(2\pi /n).}$

expresión trigonométrica

La tercera raíz de la unidad.

La fórmula de De Moivre , que es válida para todo x real y entero n , es

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}$

Ajuste x =2π/norteda una primitiva n- ésima raíz de la unidad – se obtiene

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,}$

pero

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1}$

para k = 1, 2,…, norte − 1 . En otras palabras,

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

es una raíz enésima primitiva de la unidad.

Esta fórmula muestra que en el plano complejo las n- ésimas raíces de la unidad están en los vértices de un polígono regular de n lados inscrito en el círculo unitario , con un vértice en 1 (ver los gráficos para n = 3 y n = 5 en la bien). Este hecho geométrico explica el término "ciclotómico" en frases como campo ciclotómico y polinomio ciclotómico ; Proviene de las raíces griegas "ciclo" (círculo) más "tomos" (cortar, dividir).

la fórmula de euler

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

que es válido para todo x real , se puede usar para poner la fórmula para las n- ésimas raíces de la unidad en la forma

${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k<n.}$

De la discusión en la sección anterior se deduce que ésta es una raíz n -ésima primitiva si y sólo si la fracciónk/norteestá en los términos más bajos; es decir, que k y n son coprimos. Un número irracional que puede expresarse como la parte real de la raíz de la unidad; es decir, como , se llama número trigonométrico . ${\displaystyle \cos(2\pi k/n)}$

Expresión algebraica

Las n- ésimas raíces de la unidad son, por definición, las raíces del polinomio x ⁿ − 1 y, por tanto, son números algebraicos . Como este polinomio no es irreducible (excepto n = 1 ), las n -ésimas raíces de la unidad primitivas son raíces de un polinomio irreducible (sobre los números enteros) de menor grado, llamado n -ésimo polinomio ciclotómico , y a menudo denotado _como Φn . El grado de Φ _n está dado por la función totiente de Euler , que cuenta (entre otras cosas) el número de raíces primitivas n -ésimas de la unidad. ^[9] Las raíces de Φ _n son exactamente las raíces primitivas n -ésimas de la unidad.

La teoría de Galois se puede utilizar para demostrar que los polinomios ciclotómicos pueden resolverse convenientemente en términos de radicales. (La forma trivial no es conveniente porque contiene raíces no primitivas, como 1, que no son raíces del polinomio ciclotómico, y porque no proporciona las partes real e imaginaria por separado). Esto significa que, para cada positivo entero n , existe una expresión construida a partir de números enteros mediante extracciones de raíces, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones (y nada más), tal que las raíces primitivas n -ésimas de la unidad son exactamente el conjunto de valores que se pueden obtener eligiendo valores para las extracciones de raíces ( k valores posibles para una késima raíz). (Para obtener más detalles, consulte § Campos ciclotómicos, a continuación). ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{1}}}$

Gauss demostró que una raíz n- ésima primitiva de la unidad se puede expresar usando solo raíces cuadradas , suma, resta, multiplicación y división si y solo si es posible construir con compás y regla el n -gon regular . Este es el caso si y sólo si n es una potencia de dos o el producto de una potencia de dos y primos de Fermat que son todos diferentes.

Si z es una raíz n- ésima primitiva de la unidad, lo mismo ocurre con 1/ z y es el doble de la parte real de z . En otras palabras, Φ _n es un polinomio recíproco , el polinomio que tiene r como raíz se puede deducir de Φ _n mediante la manipulación estándar de polinomios recíprocos, y las raíces primitivas n -ésimas de la unidad se pueden deducir de las raíces de resolviendo la ecuación cuadrática Es decir, la parte real de la raíz primitiva es y su parte imaginaria es ${\displaystyle r=z+{\frac {1}{z}}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle z^{2}-rz+1=0.}$ ${\displaystyle {\frac {r}{2}},}$ ${\displaystyle \pm i{\sqrt {1-\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}}}.}$

El polinomio es un polinomio irreducible cuyas raíces son todas reales. Su grado es una potencia de dos, si y sólo si n es un producto de una potencia de dos por un producto (posiblemente vacío ) de números primos de Fermat distintos, y el n -gon regular se puede construir con compás y regla. De lo contrario, es solucionable en radicales, pero estamos en el casus irreducibilis , es decir, toda expresión de las raíces en términos de radicales involucra radicales no reales . ${\displaystyle R_{n}}$

Expresiones explícitas en grados bajos.

• Para n = 1 , el polinomio ciclotómico es Φ ₁ ( x ) = x − 1 Por lo tanto, la única primera raíz primitiva de la unidad es 1, que es una n - ésima raíz de la unidad no primitiva para cada n > 1.
• Como Φ ₂ ( x ) = x + 1 , la única segunda raíz (cuadrada) de la unidad primitiva es −1, que también es una n -ésima raíz de la unidad no primitiva para cada n > 2 par . Con el caso anterior, se completa la lista de raíces reales de la unidad.
• Como Φ ₃ ( x ) = x ² + x + 1 , las raíces terceras ( cúbicas ) primitivas de la unidad, que son las raíces de este polinomio cuadrático , son
  $${\displaystyle {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\ {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}$$
• Como Φ ₄ ( x ) = x ² + 1 , las dos raíces cuartas primitivas de la unidad son i y − i .
• Como Φ ₅ ( x ) = x ⁴ + x ³ + x ² + x + 1 , las cuatro raíces quintas primitivas de la unidad son las raíces de este polinomio cuártico , que puede resolverse explícitamente en términos de radicales, dando las raíces
  $${\displaystyle {\frac {\varepsilon {\sqrt {5}}-1}{4}}\pm i{\frac {\sqrt {10+2\varepsilon {\sqrt {5}}}}{4}},}$$
  donde puede tomar los dos valores 1 y −1 (el mismo valor en las dos apariciones). ${\displaystyle \varepsilon }$
• Como Φ ₆ ( x ) = x ² − x + 1 , hay dos sextas raíces unitarias primitivas, que son los negativos (y también las raíces cuadradas) de las dos raíces cúbicas primitivas:
  $${\displaystyle {\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},\ {\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}$$
• Como 7 no es un primo de Fermat, las raíces séptimas de la unidad son las primeras que requieren raíces cúbicas . Hay 6 raíces séptimas primitivas de la unidad, que son conjugadas complejas por pares . La suma de una raíz y su conjugado es el doble de su parte real. Estas tres sumas son las tres raíces reales del polinomio cúbico y las raíces séptimas primitivas de la unidad son ${\displaystyle r^{3}+r^{2}-2r-1,}$
  $${\displaystyle {\frac {r}{2}}\pm i{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{4}}}},}$$
  donde r pasa por las raíces del polinomio anterior. Como ocurre con todo polinomio cúbico, estas raíces se pueden expresar en términos de raíces cuadradas y cúbicas. Sin embargo, como estas tres raíces son todas reales, esto es casus irreducibilis , y cualquier expresión de este tipo implica raíces cúbicas no reales.
• Como Φ ₈ ( x ) = x ⁴ + 1 , las cuatro raíces octavas primitivas de la unidad son las raíces cuadradas de las raíces cuartas primitivas, ±  i . son asi
  $${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\pm i{\frac {\sqrt {2}}{2}}.}$$
• Véase Heptadecágono para conocer la parte real de una raíz 17 de unidad.

Periodicidad

Si z es una raíz n- ésima primitiva de la unidad, entonces la secuencia de potencias

… ,  z ⁻¹ ,  z ⁰ ,  z ¹ , …

es n -periódico (porque z ^{j  +  n} = z ^j z ⁿ = z ^j para todos los valores de j ), y las n secuencias de potencias

s _k : ... ,  z ^{k ⋅(-1)} ,  z ^{k ⋅0} ,  z ^{k ⋅1} , ...

para k = 1,…,  n son todos n -periódicos (porque z ^{k ⋅( j  +  n )} = z ^{k ⋅ j} ). Además, el conjunto { s ₁ ,… ,  s _n } de estas secuencias es una base del espacio lineal de todas las n -secuencias periódicas. Esto significa que cualquier n -secuencia periódica de números complejos

… ,  x ₋₁  ,  x ₀  ,  x ₁ ,…

se puede expresar como una combinación lineal de potencias de una primitiva n- ésima raíz de la unidad:

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}X_{k}\cdot z^{k\cdot j}=X_{1}z^{1\cdot j}+\cdots +X_{n}\cdot z^{n\cdot j}}$

para algunos números complejos X ₁ ,… ,  X _n y cada número entero j .

Esta es una forma de análisis de Fourier . Si j es una variable de tiempo (discreta), entonces k es una frecuencia y X _k es una amplitud compleja .

Elegir la raíz n- ésima primitiva de la unidad

${\displaystyle z=e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

permite expresar x _j como una combinación lineal de cos y sen :

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}A_{k}\cos {\frac {2\pi jk}{n}}+\sum _{k}B_{k}\sin {\frac {2\pi jk}{n}}.}$

Esta es una transformada discreta de Fourier .

Suma

Sea SR( n ) la suma de todas las enésimas raíces de la unidad, primitivas o no. Entonces

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1.\end{cases}}}$

Esta es una consecuencia inmediata de las fórmulas de Vieta . De hecho, siendo las n -ésimas raíces de la unidad las raíces del polinomio X ⁿ – 1 , su suma es el coeficiente de grado n – 1 , que es 1 o 0 según si n = 1 o n > 1 .

Alternativamente, para n = 1 no hay nada que probar, y para n > 1 existe una raíz z ≠ 1 – dado que el conjunto S de todas las n -ésimas raíces de la unidad es un grupo , z  S = S , entonces la suma satisface z SR( n ) = SR( n ) , de donde SR( n ) = 0 .

Sea SP( n ) la suma de todas las nésimas raíces primitivas de la unidad. Entonces

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\mu (n),}$

donde μ ( n ) es la función de Möbius .

En la sección Propiedades elementales, se demostró que si R( n ) es el conjunto de todas las n- ésimas raíces de la unidad y P( n ) es el conjunto de las primitivas, R( n ) es una unión disjunta de P( n ) ) :

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d\,|\,n}\operatorname {P} (d),}$

Esto implica

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)=\sum _{d\,|\,n}\operatorname {SP} (d).}$

Aplicando la fórmula de inversión de Möbius se obtiene

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\sum _{d\,|\,n}\mu (d)\operatorname {SR} \left({\frac {n}{d}}\right).}$

En esta fórmula, si d < n , entonces SR(norte/d) = 0 , y para d = n : SR(norte/d) = 1 . Por lo tanto, SP( n ) = μ ( n ) .

Este es el caso especial c _n (1) de la suma c _n ( s ) de Ramanujan , ^[10] definida como la suma de las potencias s -ésimas de las raíces primitivas n -ésimas de la unidad:

${\displaystyle c_{n}(s)=\sum _{a=1 \atop \gcd(a,n)=1}^{n}e^{2\pi i{\frac {a}{n}}s}.}$

Ortogonalidad

De la fórmula de suma se desprende una relación de ortogonalidad : para j  = 1,…,  n y j′  = 1,…,  n

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {z^{j\cdot k}}}\cdot z^{j'\cdot k}=n\cdot \delta _{j,j'}}$

donde δ es el delta de Kronecker y z es cualquier raíz n- ésima primitiva de la unidad.

La matriz U n  ×  n cuya ( j ,  k ) ésima entrada es

${\displaystyle U_{j,k}=n^{-{\frac {1}{2}}}\cdot z^{j\cdot k}}$

define una transformada de Fourier discreta . Calcular la transformación inversa utilizando la eliminación gaussiana requiere operaciones O ( n ³ ) . Sin embargo, de la ortogonalidad se deduce que U es unitario . Eso es,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {U_{j,k}}}\cdot U_{k,j'}=\delta _{j,j'},}$

y por tanto la inversa de U es simplemente el conjugado complejo. (Este hecho fue observado por primera vez por Gauss al resolver el problema de interpolación trigonométrica .) La aplicación directa de U o su inverso a un vector dado requiere operaciones O ( n ² ) . Los algoritmos de transformada rápida de Fourier reducen aún más el número de operaciones a O ( n  log  n ) .

Polinomios ciclotómicos

Los ceros del polinomio.

${\displaystyle p(z)=z^{n}-1}$

son precisamente las n -ésimas raíces de la unidad, cada una con multiplicidad 1. El n -ésimo polinomio ciclotómico se define por el hecho de que sus ceros son precisamente las n- ésimas raíces primitivas de la unidad, cada una con multiplicidad 1.

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{k=1}^{\varphi (n)}(z-z_{k})}$

donde z ₁ ,  z ₂ ,  z ₃ ,…, z _{φ ( n )} son las n- ésimas raíces primitivas de la unidad, y φ ( n ) es la función totiente de Euler . El polinomio Φ _n ( z ) tiene coeficientes enteros y es un polinomio irreducible sobre los números racionales (es decir, no puede escribirse como el producto de dos polinomios de grado positivo con coeficientes racionales). ^[9] El caso del primo n , que es más fácil que la afirmación general, se sigue aplicando el criterio de Eisenstein al polinomio.

${\displaystyle {\frac {(z+1)^{n}-1}{(z+1)-1}},}$

y expandiendo mediante el teorema del binomio .

Cada n- ésima raíz de la unidad es una d- ésima raíz de la unidad primitiva para exactamente un divisor positivo d de n . Esto implica que ^[9]

${\displaystyle z^{n}-1=\prod _{d\,|\,n}\Phi _{d}(z).}$

Esta fórmula representa la factorización del polinomio z ⁿ − 1 en factores irreducibles:

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{1}-1&=z-1\\z^{2}-1&=(z-1)(z+1)\\z^{3}-1&=(z-1)(z^{2}+z+1)\\z^{4}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)\\z^{5}-1&=(z-1)(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{6}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+z+1)(z^{2}-z+1)\\z^{7}-1&=(z-1)(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\z^{8}-1&=(z-1)(z+1)(z^{2}+1)(z^{4}+1)\\\end{aligned}}}$

Aplicando la inversión de Möbius a la fórmula se obtiene

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{\frac {n}{d}}-1\right)^{\mu (d)}=\prod _{d\,|\,n}\left(z^{d}-1\right)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},}$

donde μ es la función de Möbius . Entonces los primeros polinomios ciclotómicos son

Φ ₁ ( z ) = z - 1

Φ ₂ ( z ) = ( z ² − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z + 1

Φ ₃ ( z ) = ( z ³ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ² + z + 1

Φ ₄ ( z ) = ( z ⁴ − 1)⋅( z ² − 1) ⁻¹ = z ² + 1

Φ ₅ ( z ) = ( z ⁵ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1

Φ ₆ ( z ) = ( z ⁶ − 1)⋅( z ³ − 1) ⁻¹ ⋅( z ² − 1) ⁻¹ ⋅( z − 1) = z ² − z + 1

Φ ₇ ( z ) = ( z ⁷ − 1)⋅( z − 1) ⁻¹ = z ⁶ + z ⁵ + z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1

Φ ₈ ( z ) = ( z ⁸ − 1)⋅( z ⁴ − 1) ⁻¹ = z ⁴ + 1

Si p es un número primo , entonces todas las p -ésimas raíces de la unidad excepto 1 son p -ésimas raíces primitivas. Por lo tanto, ^[6]

$${\displaystyle \Phi _{p}(z)={\frac {z^{p}-1}{z-1}}=\sum _{k=0}^{p-1}z^{k}.}$$

zbase z repunit

Tenga en cuenta que, contrariamente a lo que parece, no todos los coeficientes de todos los polinomios ciclotómicos son 0, 1 o −1. La primera excepción es Φ ₁₀₅ . No sorprende que se tarde tanto en obtener un ejemplo, porque el comportamiento de los coeficientes depende no tanto de n sino de cuántos factores primos impares aparecen en n . Más precisamente, se puede demostrar que si n tiene 1 o 2 factores primos impares (por ejemplo, n  = 150 ), entonces el n.ésimo polinomio ciclotómico solo tiene coeficientes 0, 1 o −1. Así, el primer n concebible para el que podría haber un coeficiente además de 0, 1 o −1 es un producto de los tres primos impares más pequeños, y es 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105 . Esto por sí solo no prueba que el polinomio 105 tenga otro coeficiente, pero sí muestra que es el primero que incluso tiene posibilidades de funcionar (y luego un cálculo de los coeficientes muestra que sí). Un teorema de Schur dice que existen polinomios ciclotómicos con coeficientes arbitrariamente grandes en valor absoluto . En particular, si donde hay números primos impares y t es impar, entonces 1 − t ocurre como un coeficiente en el n.ésimo polinomio ciclotómico. ^[11] ${\displaystyle n=p_{1}p_{2}\cdots p_{t},}$ ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{t}}$ ${\displaystyle p_{1}+p_{2}>p_{t},}$

Se conocen muchas restricciones sobre los valores que pueden asumir los polinomios ciclotómicos en valores enteros. Por ejemplo, si p es primo, entonces d  ∣ Φ _p ( d ) si y solo si d ≡ 1 (mod p ) .

Los polinomios ciclotómicos se pueden resolver en radicales , ya que las raíces de la unidad son en sí mismas radicales. Además, existen expresiones radicales más informativas para n -ésimas raíces de la unidad con la propiedad adicional ^[12] de que cada valor de la expresión obtenida eligiendo valores de los radicales (por ejemplo, signos de raíces cuadradas) es una n- ésima raíz primitiva de unidad. Esto ya lo demostró Gauss en 1797. ^{[13] Existen} algoritmos eficientes para calcular tales expresiones. ^[14]

Grupos cíclicos

Las n- ésimas raíces de la unidad forman bajo multiplicación un grupo cíclico de orden n y, de hecho, estos grupos comprenden todos los subgrupos finitos del grupo multiplicativo del campo de números complejos. Un generador para este grupo cíclico es una primitiva n- ésima raíz de la unidad.

Las n- ésimas raíces de la unidad forman una representación irreducible de cualquier grupo cíclico de orden n . La relación de ortogonalidad también se deriva de los principios de la teoría de grupos como se describe en Grupo de caracteres .

Las raíces de la unidad aparecen como entradas de los vectores propios de cualquier matriz circulante ; es decir, matrices que son invariantes ante cambios cíclicos, hecho que también se desprende de la teoría de la representación de grupos como una variante del teorema de Bloch . ^{[15] [ página necesaria ]} En particular, si se considera una matriz hermitiana circulante (por ejemplo, una laplaciana unidimensional discretizada con límites periódicos ^[16] ), la propiedad de ortogonalidad se deriva inmediatamente de la ortogonalidad habitual de los vectores propios de matrices hermitianas.

Campos ciclotómicos

Al unir una n- ésima raíz de la unidad primitiva a uno se obtiene el n -ésimo campo ciclotómico . Este campo contiene todas las n- ésimas raíces de la unidad y es el campo de división del n -ésimo polinomio ciclotómico sobre La extensión del campo tiene grado φ( n ) y su Galois El grupo es naturalmente isomorfo al grupo multiplicativo de unidades del anillo. ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n)).}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$

Como el grupo de Galois es abeliano, esta es una extensión abeliana . Cada subcampo de un campo ciclotómico es una extensión abeliana de los racionales. De ello se deduce que cada n- ésima raíz de la unidad puede expresarse en términos de k -raíces, y varias k no exceden φ( n ). En estos casos, la teoría de Galois puede escribirse explícitamente en términos de períodos gaussianos : esta teoría de las Disquisitiones Arithmeticae de Gauss se publicó muchos años antes que Galois. ^[17] ${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$

Por el contrario, cada extensión abeliana de los racionales es un subcampo de un campo ciclotómico; este es el contenido de un teorema de Kronecker , generalmente llamado teorema de Kronecker-Weber porque Weber completó la demostración.

Relación con números enteros cuadráticos

En el plano complejo , los puntos rojos son las raíces quintas de la unidad y los puntos negros son las sumas de una raíz quinta de la unidad y su conjugado complejo.

En el plano complejo, las esquinas de los dos cuadrados son las raíces octavas de la unidad.

Para n = 1, 2 , ambas raíces de la unidad 1 y −1 son números enteros .

Para tres valores de n , las raíces de la unidad son números enteros cuadráticos :

• Para n = 3, 6 son enteros de Eisenstein ( D = −3 ).
• Para n = 4 son enteros gaussianos ( D = −1 ): ver Unidad imaginaria .

Para otros cuatro valores de n , las raíces primitivas de la unidad no son números enteros cuadráticos, pero la suma de cualquier raíz de unidad con su conjugado complejo (también una n- ésima raíz de unidad) es un número entero cuadrático.

Para n = 5, 10 , ninguna de las raíces no reales de la unidad (que satisfacen una ecuación de cuarto grado ) es un entero cuadrático, pero la suma z + z = 2  Re z de cada raíz con su conjugado complejo (también una quinta raíz de la unidad) es un elemento del anillo Z [1 +  √ 5/2] ( D = 5 ). Para dos pares de raíces quintas de la unidad no reales, estas sumas son la proporción áurea inversa y la proporción áurea menos .

Para n = 8 , para cualquier raíz de la unidad z + z es igual a 0, ±2 o ± √ 2 ( D = 2 ).

Para n = 12 , para cualquier raíz de la unidad, z + z es igual a 0, ±1, ±2 o ± √ 3 ( D = 3 ).

Ver también

• sistema argand
• Grupo circular , la unidad de números complejos.
• campo ciclotómico
• Esquema grupal de raíces de unidad.
• personaje dirichlet
• La suma de Ramanujan
• vector de ingenio
• personaje de teichmüller

Notas

1. Hadlock, Charles R. (2000). Teoría de campos y sus problemas clásicos, volumen 14. Cambridge University Press. págs. 84–86. ISBN 978-0-88385-032-9.
2. Lang, Serge (2002). "Raíces de la unidad". Álgebra . Saltador. págs. 276-277. ISBN 978-0-387-95385-4.
3. Meserve, Bruce E. (1982). Conceptos Fundamentales de Álgebra . Publicaciones de Dover. pag. 52.
4. Moskowitz, Martín A. (2003). Aventura en Matemáticas. Científico mundial. pag. 36.ISBN​ 9789812794949.
5. Lidl, Rudolf; Pilz, Gunter (1984). Álgebra abstracta aplicada. Textos de Pregrado en Matemáticas. Saltador. pag. 149.doi : 10.1007 /978-1-4615-6465-2. ISBN 978-0-387-96166-8.
6. Morandi, Patrick (1996). Teoría de campos y de Galois. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 167. Saltador. pag. 74.doi : 10.1007 /978-1-4612-4040-2. ISBN 978-0-387-94753-2.
7. Reilly, Norman R. (2009). Introducción a los Sistemas Algebraicos Aplicados. Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 137.ISBN​ 978-0-19-536787-4.
8. Rotman, Joseph J. (2015). Álgebra moderna avanzada. vol. 1 (3ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 129.ISBN​ 9781470415549.
9. Riesel, Hans (1994). Factorización prima y métodos informáticos de factorización. Saltador. pag. 306.ISBN​ 0-8176-3743-5.
10. Apóstol, Tom M. (1976). Introducción a la teoría analítica de números. Textos de Pregrado en Matemáticas. Saltador. pag. 160. doi :10.1007/978-1-4757-5579-4. ISBN 978-1-4419-2805-4.
11. Lehmer, Emma (1936). "Sobre la magnitud de los coeficientes del polinomio ciclotómico". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 42 (6): 389–392. doi : 10.1090/S0002-9904-1936-06309-3 .
12. Landau, Susan ; Molinero, Gary L. (1985). "La solubilidad por radicales está en tiempo polinomial". Revista de Ciencias de la Computación y de Sistemas . 30 (2): 179–208. doi :10.1016/0022-0000(85)90013-3.
13. Gauss, Carl F. (1965). Disquisiciones Arithmeticae . Prensa de la Universidad de Yale. págs. §§359–360. ISBN 0-300-09473-6.
14. Weber, Andrés; Keckeisen, Michael. "Resolución de polinomios ciclotómicos mediante expresiones radicales" (PDF) . Consultado el 22 de junio de 2007 .
15. Inui, Teturo; Tanabe, Yukito; Onodera, Yoshitaka (1996). Teoría de grupos y sus aplicaciones en física . Saltador.
16. Strang, Gilbert (1999). "La transformada del coseno discreto". Revisión SIAM . 41 (1): 135-147. Código Bib : 1999SIAMR..41..135S. doi :10.1137/S0036144598336745.
17. Las Disquisitiones se publicaron en 1801, Galois nació en 1811, murió en 1832, pero no se publicó hasta 1846.

Referencias

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, SEÑOR  1878556, Zbl  0984.00001
• Milne, James S. (1998). "Teoría algebraica de números". Notas del curso .
• Milne, James S. (1997). "Teoría del campo de clases". Notas del curso .
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol. 322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. SEÑOR  1697859. Zbl  0956.11021.
• Neukirch, Jürgen (1986). Teoría de campos de clases . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-15251-2.
• Washington, Lawrence C. (1997). Introducción a los campos ciclotómicos (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94762-0.
• Derbyshire, John (2006). "Raíces de la unidad". Cantidad desconocida . Washington, DC: Joseph Henry Press . ISBN 0-309-09657-X.