Una solución en radicales o solución algebraica es una expresión en forma cerrada , y más específicamente una expresión algebraica en forma cerrada , que es la solución de una ecuación polinomial , y se basa únicamente en la suma , resta , multiplicación , división , elevación a potencias enteras y la extracción de raíces n- ésimas (raíces cuadradas, raíces cúbicas y otras raíces enteras).
Un ejemplo bien conocido es la solución
de la ecuación cuadrática
Existen soluciones algebraicas más complicadas para ecuaciones cúbicas [1] y ecuaciones cuárticas . [2] El teorema de Abel-Ruffini , [3] : 211 y, más generalmente, la teoría de Galois , establecen que algunas ecuaciones quínticas , como
no tienen ninguna solución algebraica. Lo mismo es cierto para cada grado superior. Sin embargo, para cualquier grado hay algunas ecuaciones polinómicas que tienen soluciones algebraicas; por ejemplo, la ecuación se puede resolver como Las otras ocho soluciones son números complejos no reales , que también son algebraicos y tienen la forma donde r es una quinta raíz de la unidad , que se puede expresar con dos raíces cuadradas anidadas . Véase también Función quíntica § Otras quínticas resolubles para varios otros ejemplos en grado 5.
Évariste Galois introdujo un criterio que permite decidir qué ecuaciones son resolubles mediante radicales. Véase Extensión radical para la formulación precisa de su resultado.
Las soluciones algebraicas forman un subconjunto de las expresiones de forma cerrada , porque estas últimas permiten funciones trascendentales (funciones no algebraicas) como la función exponencial , la función logarítmica y las funciones trigonométricas y sus inversas.
![{\displaystyle x=\pm {\sqrt[{10}]{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/685464ac5a9ee481b1eaea4e3077295eaa876fc2)
![{\displaystyle x=\pm r{\sqrt[{10}]{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e280ec5745504f0316e7edcf240579cb60cd9202)